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另一个最近自己证明的李群与拉格朗日方程之结论（物理教科书上只是用物理直觉找到的， ...

热度 1已有 89 次阅读2019-10-31 18:12

一个底拓扑为R^n+1空间的微分流形，容许连续无限小对称群（a为无限小参数）：

t'==t+a; 时间平移对称群(t亦为x^0)

x'^i==x^i+a; 空间平移对称群

x'^i==x^i-a x^j , x'^j==x^j-a x^i 空间旋转对称群(任意二x^i, x^j)

x'^i==x^i-a t. 伽利略变换群

的x=x[t]的能够服从的唯一的二阶微分方程的运动定律是

d^2 x^i [t] / dt^2 == f^i/m

f^i, i=1,2,..n, 为n个常矢量. (m>0物理上的准备)

其对应的拉格朗日量，即，可以写下相同运动定律的某个拉格朗日量为

L=1/2 m v^2+f.x, 其中v=dx/dt.

一个底拓扑为R^n+1空间的微分流形，容许连续无限小对称群（a为无限小参数，记t=x^0）：

x'^i==x^i+a, i=0,1,2... ; 时间、空间的平移不变性

x'^i==x^i-a x^j , x'^j==x^j-a x^i 空间旋转对称群(任意i不等于j，且i，j=1,2,...)

x'^i==x^i- ut, t == t - u x^i

时空（伪转动）对称不变性，亦，洛伦兹群变换的无穷小对称性式（为方便物理直观，这里用u表征无穷小参数且光速c=1）

的x=x[t]的唯一二阶微分方程是

d^2 x^i [tau] / (d tau)^2 == A^i, i=1,2,... 其中 tau = t/γ， γ=1/√(1-v^2), 这里 v=dx/dt

A=(A^i), i=1,2,..n, 为n个常矢量,为4维加速度的空间分量。

特别地A=0时，其对应的拉格朗日量，即，可以写下相同运动定律的某个个拉格朗日量为

L = - m√(1-v^2)， m为确保变分极值，必须为恒正。

即，相对论性粒子的拉格朗日量。

结合Noether 定律，我们可以借助拉格朗日量容许的对称性进一步探讨力学体系的守恒流会守恒律。

总结，并不是说先有拉格朗日量后有对称性；我们可以完全从给定的时空对称性出发，寻找容许的可能的运动定律。（因为我们如此的深信最基础的微观定律满足至高的对称性），然后寻找可以构造出容许这些运动定律的拉格朗日量。最后，我们用这些Law of motion结合Noether's theorem，给出相应力学的守恒定律。

简而言之，我们可以承认牛顿三定律给出一套完备的力学体系。但反之，我们其实可以给出牛顿绝对时空的构造（即其上的几何群）便可以确定牛顿力学。Further more, 量子场论便一开始就用了闽可夫斯基的时空对称性，写出了波函数演化的薛定谔方程: ih dψ/dt=[ψ,H](海森伯汇景)。换句话说，理论的演化可以被吸收进时空对称性，即对演化时空的假设的一部分。

本来只想列结论得体力，写激动了。。。