日志
昨日罗尔定理应用的一个推广
已知：
一下函数若未提及均默认为C^r, r>=1
u(x,y)是微分方方程
X(x,y)dx+Y(x,y)dy==0
的一个非零的积分因子，且
u(X dx + Y dy) == dH(x,y).
若函数y:=f(x)满足:
H(a,f(a))=H(b,f(b)), 某a<b
则存在c, a<c<b 使得
X(c,f(c))+Y(c,f(c))f'(c)=0.
证明:
构造g(x):=H(x,f(x)),
显然，函数仍然为C^(min r)类，即，C^1类函数，且
g(a)=H(a,f(a))=H(b,f(b))=g(b).
于是，使用罗尔定理，存在实数c, a<c<b
g'(c)=0.
另一方面
dg=dH=u(Xdx+Ydy)|y=f(x)
将上式两边同除以dx即有
g'(x)=dg/dx=uX(x,f(x))+uY(x,f(x))f'(x)
由于u(x,y)对任意x,y非零,g'(c)意味着
X(c,f(c))+Y(c,f(c))f'(c)=0.
Q.E.D.
