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关于使用罗尔定理证明涉及导数的数值方程成立一事之极限
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（设以下涉及函数均光滑）
记f(x)在x0处的k阶导函数为D[f(x0),k]
[a]:={a,f(a),f'(a),...,D[f(a),n-1]},
[b]:={b,f(b),f'(b),...,D[f(b),n-1]}.
由[a], [b]出发所能用罗尔定理证明的，存在常数c, a<c<b使得
A(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) D[f(c),n] + B(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) = 0
如此等式
的充要条件是
函数A=A(x,y,y',y''...,D[y,n-1]), B=B(x,y,y',y''...,D[y,n-1])能保证
对y的变分有u=u(x,y,y',y''...,D[y,n-1])的变分方程，即
δ(A D[y,n] u+B u) = 0
的非零解.
其中
δ/δy算子可以写作
δ/δy=∂/∂y - d/dx ∂/∂y' + d2/dx2 ∂/∂y' - d3/dx3 ∂/∂y'' +......,
d/dx 是给定轨道y=y(x)后，函数H(x,y,y',y'',y'''...)沿轨道y=y(x)对x的全微分.
引理：
先证必要性
由N.H.Ibragimov关于高阶微分方程可积性的探讨(N.H.Ibragimov, 2006)，可知
高阶微分方程
A D[y,n]+B==0
亦，存在u=u(x,y,y',y''...,D[y,n-1])，使得
A D[y,n] u+B u = (d/dx) H(x,y,y',y'',...,D[y,n-1])
成立的充要条件为, 变分导数
δ(A D[y,n] u+B u)/δy = 0.
(证略，有兴趣可以参见Ibragimov, N.H. Elementary Lie group analysis of differential equations )
显然,若要使用罗尔定理去证明
存在常数c, a<c<b s.t.
A(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) D[f(c),n] + B(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) = 0
我们就必须构建出一个函数H=H(x,y,y',y'',...,D[y,n-1])，使得
在给定边值条件[a]:={a,f(a),f'(a),...,D[f(a),n-1]}, [b]:={b,f(b),f'(b),...,D[f(b),n-1]} 下使得
H([a])=H([b])
成立，然后利用罗尔定理 去用实数的连续性，叙述，存在介于a，b间的实数c使得：
dH(x,y,...,D[y,n-1])/dx|(先给定y=f(x),再令x=c) == 0
然后，我们将这个等式两边同除以∂H/∂D[y,n-1]便可凑成形式
A(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) D[f(c),n] + B(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) = 0
而之前论述，若想让A D[y,n]+B==0 有一个H函数的全微分生成，则必有条件
u=u(x,y,y',y''...,D[y,n-1])的变分方程，δ(A D[y,n] u+B u) δ(A D[y,n] u+B u)/δy = 0
成立。
至此，必要性得证。
充分性略, 这是显然的。
Q.E.D
总而言之，如果知晓y=f(x)的二边值条件[a]，[b], 可以构造函数然后去用罗尔定理证明的含导数的等式，
即存在c, a<c<b，满足
A(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) D[f(c),n] + B(c,f(c),...,D[f(c),n-1]) = 0.
我们如上对应的高阶微分方程
A D[y,n]+B==0
的可积性提出了严格的要求。
如果高阶微分方程A D[y,n]+B==0不可积，基于罗尔定理的证明是不可做到的。
例如，Mathieu方程（马丢方程），或，傅科摆动力系统衍生出的微分方程。
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