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【大家来评议】奇数A的分解通式
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【大家来评议】奇数A的分解通式
海南省乐东县保显学校 陈泽辉
在正整数范围， P、T为两个相邻自然数，若有奇数A满足：P2＜A＜T2且T2－A=D，存在且必存在m=(n^2-D)/2(T-n) ，那么A=（T+2m+n）×（T－n）。（T+2m+n与T－n分别为数A的大小两个因数）如11^2＜133＜12^2、12^2－133=11（这里T=12 、D=11），代入关系式 m=(n^2-D)/2(T-n) 即有m=(n^2-11)/2(12-n) ，通过实验法（代入法），在正整数范围内很快地得出n与 m的两组解：分别为最小值（5，1）与最大值（11，55），此时数A=133=（12+2×1+5）×（12-5）=19×7。
特别说明：
1、若n与 m有最小值与最大值两组解，则数A为合数；若n与 m有且仅有一组解，并且此时n+1=T，则数A为奇素数。
2、若D为一个完全平方数，此时n最小值为√D，m最小值为0。如A=91，9^2＜91＜10^2，则D=9是一个完全平方数，m=(n^2-D)/2(T-n) , n与 m的最小值为（3，0），因此A=91=（10+2×0+3）×（10-3）=13×7。也就是说，当D是一个完全平方数时，我们能够比较快捷地去分解出一些足够大的特殊合数的因数。这里所指特殊合数A，是指在P^2＜A＜T^2区间里， T^2－A=D是完全平方数（且D＜T）的特殊奇数。如在88^2＜A＜89^2区间里，小于89的完全平方数有：1、4、9、16、25、36、49、64、81，因为89的平方数为奇数值，所以在T^2－A=D中，D不为奇数值，在这个区间内满足数A为特殊奇合数的D值只有4、16、36、64四组，也就是说在88^2＜A＜89^2区间里，特殊的奇数A有四个：89^2-4、89^2-16、89^2-36、89^2-64。这时我们能够比较快捷的分解出这四个特殊奇合数的其中的一个因数：89^2-4=7917其一因数为89-2=87、89^2-16=7905其一因数为89-4=85、89^2-36=7885其一因数为89-6=83、89^2-64=7857其一因数为89-8=81。依此类推，在P^2＜A＜T^2区间里，若T的值越大，数A的特殊情况就越多，因此完全可以说明数A若是越大，简单地分解它的可能性同样存在。如：数A=99999999999999999999999……×99999999999999999999999……—x^2（这时T =99999999999999999999999……、D= x^2），那么数A的一个因数为99999999999999999999999……—x。
当D不是完全平方数时，数A的分解稍为复杂，在此笔者就不例举说明。
3、当D为偶数时，则n为偶数；当D为奇数时，则n为奇数。
4、有T+ m为数A的两个质因数的中位数，且（n+m）^2+A=（T+ m）^2。
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海南省乐东保显学校 陈泽辉
上篇：
合数分解通式：在正整数范围， S、T为两个相邻自然数，若有奇合数A满足：S^2＜A＜T^2且T^2－A=D，存在且必存在通式：m=(n^2-D)/2(T-n) ，那么A=PQ=（T－n）×（T+n+2m）。（把T－n称为数A的较小因子用P表示；把T+2m+n称为数A的较大因子用Q表示。这里的A、T、D为已知数）这时把T^2称为数A的临点完全平方数，T称为数A的临点平方根数，简称为根数；D称为分解数A的黄金数，n、m称为分解数A的分子数。如合数133=12^2-11，可知数133的根数是12，黄金数是11，根据通式m=(n^2-D)/2(T-n)求得分子数n=5、m=1，则数133的分解式为133=（12-5）×（12+5+2×1）=7×19。
笔者通过深入的研究发现：
1、数A两个因子P与Q的中位数是T+ m。如133两个因子是7与19，它们的中位数是12+1。
2、假若分解数A的黄金数D是一个完全平方数，则数A的分解式为A=(T-√D) (T+√D).如数91=10^2-9(这时黄金数9是个完全平方数)所以数99=（10-3）（10+3）=7×13。
诚然利用通式m=(n^2-D)/2(T-n)来达到分解数A的目的并不是一种快挗实用的方法，因为并不是所有数A的黄金数D都是一个完全平方数，而且某些数A比较复杂，其分解过程中的分子数n或m往往会很大，不利于采用试验法。比如数13167951871=114752^-69633=31×424772641, 该数的分子n=114721、 m=212271584。
笔者通过大量的检验发现，分解数A的分子数n具有相对的稳定性，而分子数m具有不稳定性，它往往随着数A的两个因子P与Q的差数增大而增大。因此虽然我们有了分解数A的通用表达式，但是运用它对一个合数进行分解相对来说还是有局限性。
下篇：
在这里笔者介绍一种较为实用与快挗的分解方法。
首先，我把所有的奇合数A分为两大部分：1、若数A与1的差能被4整除，把这一类奇合数称为B型合数。如85：(85-1)÷4=26则称数85为B型合数。2、若数A与1的差能被2整除，把这一类奇合数称为C型合数。如95：(95-1)÷2=47则称数95为C型合数。
B型奇合数与C型奇合数的分解之法有根本上的区别，所以笔者暂只是先介绍B型奇合数的分解方法。
B型奇合数有一个共同的特性：凡属B型的奇合数A，其与1的差除以4的商加上一个正整数平方的和必等于两个相邻自然数的积。如数85：（85-1）÷4+3^2=5×6；如数133：（133-1）÷4+3^2=6×7……
而B型奇合数又分为两大属性的数型：
即B1型数A: 若数A(两个因子P与Q)较大因子Q满足Q=P+12c或Q=P+4+12c,其中c为自然数。（或其与1的差除以4的商加上一个正整数平方的和必是6的倍数。）如121=11×11而11=11+12×0；133=7×19而19=7+12×1；165=5×33而33=5+4+12×2……所以说121、133、165……都是B1型合数。[或165=（165-1）÷4+5^2=6×11……]
B2型数A：若数A(两个因子P与Q)较大因子Q满足Q=P+8c,其中c为自然数。（其与1的差除以4的商再减去2的差，此差加上一个正整数平方的和必是6的倍数），则称其为B2型奇合数。如65=5×13而13=5+8×1；145=5×29而29=5+8×3；161=7×23而23=7+8×2……所以说65、145、161……都是B2型合数。【161=[（189-1）÷4-2]+3^2=54=6×9，则数161为B2型合数。】
我把B型数与1的差除以4的商称为极数，比如说85的极数是21；121的极数是30；133的极数是33；165的极数是41……极数用字母U表示。那么①不是完全平方数的B1型数存在以下特征：B1型数的极数与一个自然数的平方的和是6的倍数，用式子表示为U+ Z^2 =6y（y为字符数）。②不是完全平方数的B2型数存在以下特征：B2型数的极数减去2的差与一个自然数的平方的和是6的倍数，用式子表示为（U-2）+ Z^2 =6y（y为字符数）。
（当有B型数A能满足满足Q=P+12c、Q=P+4+12c或 Q=P+8c时，则数A以B1型数为准。如145=5×29，其较大因子29=5+12×2或29=5+8×3，所以145是B1型合数。）
也就是说，把奇合数分为两大类型，每个类型里又分为两个小板块。同样很简单，B1型与B2型合数的分解过程又有着本质的不同。
这里笔者还是先说说B1型合数的分解：通过对奇合数的分类后，不难发现大部分奇数的平方数其原型就是B1型合数，为了便于下面对该类型合数的分解，我们先来研读不小于3的B1型奇数的平方数的字符通式（ 相应的一个字符表示一个对应的奇数的平方）：5^2=(25-1)÷4÷6=1就是说5的平方用一个简单的字符“1”表示；7^2=(49-1)÷4÷6=2就是说7的平方用一个简单的字符“2”表示；11^2=(121-1)÷4÷6=5就是说11的平方用一个简单的字符“5”表示；13^2=(169-1)÷4÷6=7就是说13的平方用一个简单的字符“7”表示；17^2=(289-1)÷4÷6=12就是说17的平方用一个简单的字符“12”表示；19^2=(361-1)÷4÷6=15就是说19的平方用一个简单的字符“15”表示；……不难发现：每个字符数的24倍加上1的和是一个完全平方数。反过来我就把一个完全平方数与1的差再除以24所得的商称为这个完全平方数的“字符数”。如169 是一个完全平方数，它与1的差再除以24得到的数是“7”，便称169的“字符数是7”或说字符7表示13的平方数。
梳理上面各奇数平方数的字符“1、2、5、7、12、15……”此类型奇数的平方数可用两条“字符链”来表示：
1、“1、5、12……”得到第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+x，该字符链上所表示完全平方数的根数是：6x-1(完全平方数可表示为24y+1)。如在该链上有链数x=3时，那么就有字符数y=12对应的完全平方数是12×24+1=289，根数是：6×3-1=17。
2、“2、7、15……”得到第二字符链（y）通式(3/2)×x(x-1)+2x,该字符链上所表示完全平方数的根数是：6x+1(完全平方数可表示为24y+1)。如在该链上有链数x=3时，那么就有字符数y=12对应的完全平方数是12×24+1=361，根数是：6×3+1=19。
如:给出一个字符y= 26，代入上面两条字符链通式，得第二字符链有整数解，(3/2)×x(x-1)+2x=26解得x=4,所以字符“26”表示的是“4×6+1”（25）的平方数。换句话说25的平方数用“字符26”表示。
上面所介绍是B1型的完全平方数的分解，当数A属于B1型且不是完全平方数时，其分解如下：我们知道这类数它与1的差除以4的商加上一个正整数平方的和正好是6的倍数。由于本人专业水平不限，在这里有一些专业术语表达不清或不能用一些专业术语来表达一些现象，只能通过逐一举例的方法来体现对B1型数的分解过程，望见谅。
如85:极数为（85-1）÷4=21，极数与字符y的关系式为21+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-3.5）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0必须为0.5、1.5、2.5、3.5……，这时“字符y”可能是5、17、41、77……通式为y=6(x1+1)(x1+2)+5，该通式与第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有一个交点，即当有第一项字符y=5时第一链数x=2，所以85的中位数是2×6-1=11，这时T+m=10+ m=11得m=1；又因为有n+m=12(Z0)（有证明在此不提）又得n=5，所以85=（10-5）（10+5+2×1）=5×17。
如105:极数为（105-1）÷4=26，极数与字符y的关系式为26+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-13/3）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1/3、2/3、5/3、8/3……，这时“字符y”可能是5、7、21、47……在这些字符链中当y取最小值5，便能滿足第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有整数解，即当有第一项字符y=5时第一链数x=2，所以105的中位数就是2×6-1=11（亦可以这么求中位数：因为5×24+1是11的平方数，所以中位数就是11），这时T+m=11+ m=11得m=0；又因为有n+m=12(Z0)【y=5时对应(Z0)= 1/3】所以n+0=12×1/3，又得n=4，所以105=（11-4）（11+4+2×0）=7×15。
如145（125不是B1型合数）:极数为（145-1）÷4=36，极数与字符y的关系式为31+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-6）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1、2、3、4……，这时“字符y”可能是12、30、60、102……在这些字符链中当y取最小值12，便能滿足第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有整数解，即当有第一项字符y=12时第一链数x=3，所以145的中位数就是3×6-1=17（亦可以这么求中位数：因为12×24+1是17的平方数，所以中位数就是17），这时T+m=13+ m=17得m=4；又因为有n+m=12(Z0)【y=12时对应(Z0)=1】所以n+4=12×1，又得n=8，所以145=（13-8）（13+8+2×4）=5×29。
如165:极数为（165-1）÷4=41，极数与字符y的关系式为41+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-41/6）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1/6、7/6、13/6、19/6……，这时“字符y”可能是7、15、35、67……在这些字符链中当y取最小值7，便能滿足第二字符链通式(3/2)×x(x-1)+ 2x有整数解，即当有第一项字符y=7时第二链数x=2，所以165的中位数就是2×6+1=13（亦可以这么求中位数：因为7×24+1是13的平方数，所以中位数就是13），这时T+m=13+ m=13得m=0；又因为有n+m=12(Z0)【y=7时对应(Z0)= 1/6】所以n+0=12×1/6，又得n=2，所以165=（13-2）（13+2+2×0）=11×15。
如205（185不是B1型合数）:极数为（205-1）÷4=51，极数与字符y的关系式为51+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-17/2）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1/2、3/2、5/2、7/2……，这时“字符y”可能是10、22、46、82……在这些字符链中当y取第二项值22时，便能滿足第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有整数解，即当字符y=22时第一链数x=4，所以205的中位数就是4×6-1=23（亦可以这么求中位数：因为22×24+1是23的平方数，所以中位数就是23），这时T+m=15+ m=23得m=8；又因为有n+m=12(Z0)【y=22时对应(Z0)= 3/2】所以n+8=12×3/2，又得n=10，所以205=（15-10）（15+10+2×8）=5×41。
再如例举更大的数25150161（根数T=5015）：极数为（25150161-1）÷4=6287540，极数与字符y的关系式为6287540+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-3143770/3）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1/3、2/3、4/3、5/3……，这时“字符y”可能是1047924、1047926、1047934、1047940、……在这些字符链中当y取第二项值1047926时，便能滿足第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有整数解，即当字符y=1047926时第一链数x=836，所以25150161的中位数就是836×6-1=5015（亦可以这么求中位数：因为1047926×24+1是5015的平方数，所以中位数就是5015），这时T+m=5015+ m=5015得m=0；又因为有n+m=12(Z0)【y=1047926时对应(Z0)= 2/3】所以n+0=12×2/3，又得n=8，所以25150161=（5015-8）（5015+8+2×0）=5007×5023。
再如例举更大的数29237533（根数T=5408）：极数为（29237533-1）÷4=7309383，极数与字符y的关系式为7309383+ Z^2 =6y，该关系式简化为：6（y-2436461/2）=(6Z0)^2,可知要使“字符y”有整数解，Z0从最小依次为1/2、3/2、5/2、7/2…69/2…，这时“字符y”可能是1218232、1218244、1218268、1218304、…1225372…在这些字符链中当y取第35项值1225372时，便能滿足第一字符链通式(3/2)×x(x-1)+ x有整数解，即当字符y=1225372时第一链数x=904，所以29237533的中位数就是904×6-1=5423（亦可以这么求中位数：因为1225372×24+1是5423的平方数，所以中位数就是5423），这时T+m=5408+ m=5423得m=15；又因为有n+m=12(Z0)【y=1225372时对应(Z0)= 69/2】所以n+15=12×69/2，又得n=399，所以29237533=（5408-399）（5408+399+2×15）=5009×5837。
诚然，运用该法对数A进行分解，比起利用合数A的分解通式m=(n^2-D)/2(T-n)更简捷快速了。这种分解方法不论数A两个因子P或Q有多大，都转化成从求一个较小“字符”开始，进一步求得数A两个因子的中位数，找到分解数A的两个分子数n和m，从而分解数A。该法就算是数A两个因子P与Q相差特别大，而所要找的“字符”并不会很大。
以上个人观点，如有不当之处恳请指正！！
2014-2-19草
