测度论学习体会 - 数学建模社区-数学中国

测度论不仅是概率统计专业的基础，也是很多现代数学分支的基础，我学习测度论有一段时间了，写这个心得体会和大家交流。
现在市面上流行的测度论书有不少，但我认为适合学习的有以下几本：

1.首推Halmos的 Measure Theory。这本书内容写的极丰富，特别是其纯分析的处理方法引人入胜，一些测度论常用的技巧和测度论中经典的例子也在书中得到了充分的体现。除几何测度论外，该书对基本的测度论知识介绍得很全面。该书习题也是一大特色。此书的习题有易有难，想试下伸手的不妨一试。当然该书也有一些缺点，最显著的就是测度论中重要的方法-单调类方法涉及的比较少，这不能不说是一个遗憾。
2.夏道行的《实变函数函数论与泛函分析》上册。这本书虽然名为实变函数，但实际上是测度论最基本的内容，这些内容虽然在Lebesgue意义下和实变函数论课程的内容多少有些重复，但是就其实质而言，不失为一本很好的测度论与实分析教材。

3.严士健的《测度与概率》。这本书虽然是对概率专业写的一本书，但其对测度论介绍很详细，特别适合自学。特别是其书上的习题，很能锻炼基础。

4.严加安的《测度论讲义》。这本书的特点就是单调类方法介绍得很灵活，但其显著缺点就是书读起来不清晰。是一本很涩的书。

5.陈杰诚，王斯雷《现代实分析》。这是一本在一般书店买不到的书，其原因就是该书错误很多，包括证明错误，打印错误在内的错误不下百处。但其特点也很显著，内容翔实，是一本全面掌握测度论方法和测度论内容不可多得的好处。陈老师透露，这本书即将再版。相信会得到读者的喜爱。

下面就测度论最基本的内容进行介绍：

1.集类知识与单调类定理。

这是测度论中的基础，特别是单调类定理。这个定理是一个很要紧的定理。在后面证明测度唯一性定理，乘积测度存在定理等重要的定理中有涉及。在严加安书上这个定理有两个版本，目前也就是该书对单调类方法应用的最多。这个定理一定要掌握好，你看起来很难的问题，也许用这个定理会相当简单。

2.测度的基本定义和性质

这部分内容很多，但大多不难，而且各个书上也写得很多。这里值得一提的是Halmos的 Measure Theory中有有关内测度和非可测集合的内容，一般书上很难找到。

3.可测函数与可测函数的收敛

这部分最重要的内容就是可测函数列的各种收敛。提醒一下，在夏道行书上有一个有关判定依测度收敛的引理很有用，而且有一个叶果洛夫定理的推广，不妨一试。在陈杰诚书上更是将各种收敛间的关系进行了总结，

4.积分论

这部分内容中，大体的内容各本书大概一致。但是Halmos的 Measure Theory中一致绝对连续定义的引进，将积分收敛的一些关系描述得很详细很清晰。而严加安书上有关丹尼尔积分的引入会增加这部分的知识内容，但个人认为有关丹尼尔积分的学习还是陈杰诚书上写得详细些。

5.重积分

这部分内容中，Halmos的 Measure Theory用最基础的知识诠释了重积分的基本定理。如果入门，可首先看这个内容。严士健书上对无穷乘积的乘积测度和积分描述得最详细，对概率论的同学是不可多得的。

6.广义测度

这部分重要的是两个分解定理，一般来讲Halmos的 Measure Theory中写得比较啰嗦。而夏道行书更是承袭了Halmos的 Measure Theory中方法。我最推崇严士健书上的证明方法，最简洁。

以上应该是测度论最最基础的内容。

7.测度环的内容

这部分内容在Halmos的 Measure Theory中有涉及，但意义非凡，这部分内容用比较高的观点，融合代数的方法对测度论一些内容进行处理。比如缺原子的测度一定是连续测度这个命题。

8.局部紧空间上测度论

主要对比Halmos的 Measure Theory与严加安的《测度论讲义》。这部分最重要的定理是利斯表示定理。Halmos的 Measure Theory在这部分内容中引入容度，利用容度这个工具解决了这问题。严加安的《测度论讲义》则用序关系和丹尼尔积分的方法。这个处理方法和Rudin书上的方法一致，陈书上也是这样处理的。这种处理方法看起来观点很高，但我感觉实用性不强，倒是容度的方法很有意思，在loeve的概率论书上，有些胚紧（Tightness)的结论就是用这个方法解决的。

9.Harr测度

这是局部紧群上测度论内容，其实代数和利斯表示定理用的比较多，建议看Halmos的 Measure Theory和陈杰诚，王斯雷《现代实分析》

10.几何测度论

这其实就是分形的东西，Hausdorff测度与Packing测度之类，找一本几何测度论的书相信应该能讲明白。

以上是我学习测度论的一些心得。也许是班门弄斧，随便看看吧，见笑了！