一道较难的函数题 急!

wilsonlouis

题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
(1)af[m/(m+1)]<0
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

xiang1990

呵呵，有意思

wilsonlouis

这个题挺有意思的。
第一问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
此式两边同乘以m
" |9 U! F( H. ]. }. \7 M得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
$ r3 @2 ]( N. p' i8 @& D∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
. @; T; z' ^% ^2 U8 Gaf[m/(m+1)]
0 p- T1 q, ~7 Q# J  V+ m=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
' _3 @2 e5 F8 g=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
* y" Y* d8 V+ |) z8 C: S% N=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
$ O8 |% `0 ]8 |2 a! q& g8 p而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0
% H: B" l, p3 R) ?! a, Q$ s
1 V/ a1 j4 C9 a) e% u+ V' Q* E2 ~0 L第二问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
两边同时乘以(m+1):
a(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
af(0)=ac
* Y, w9 ]6 [; [; b6 w2 i! Laf(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
# A/ j& |5 l( H" D2 i此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
4 a! M( q* U+ g  ~如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
' l! l0 D9 w7 `" I9 z得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
& Q/ V# W8 x8 q' ?: Y* t∴f(0)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
1 J' ^+ W# _7 p: _* b如果ac<=0,那么-ac>=0
  o9 n$ y' g" }7 `( ?1 {∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
2 `! J# O' Q+ g/ C) @∴f(1)f[m/(m+1)]<0
: P, d6 z& O  h, T2 C∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
2 v3 `$ g- o. M  g7 m* F& Q1 _∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
5 [8 {# D* @1 l- N结论得证！

现实不是小说

证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
) ?6 m; j) ?& G6 w) B: [+ q3 \- ?6 O          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];
( k4 F# D! K; ?           通分化简可的结果，相信你也会。
      （2）af(0)=a*c;
. D  L- b* P! _7 J                 af(1)=a^2+a*b+a*c;
2 z, c5 S1 W+ _) o' J                  讨论：
          1）如果ac=0,则c=0;
# h/ ?  S6 I/ c; R: A$ n                  af(1)=a^2*(1+b/a);
4 ]  b8 S' C% D& x/ _                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;
1 d8 L% ?$ K, x, h                   可得0>b/a>-1;
                    代入得af(1)>0;
% t8 c* M* K" a                    结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；
         2）ac>0,自然得证；
) f4 T/ A( n# s2 ^         3）ac<0.
                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
                 得a^2+a*b>0;
  X8 m, h4 J7 e" q& j                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
% {6 K0 G, n, X% t# F                   因为m>0;
: B# i9 o7 h  R4 N2 |2 N/ j                 a*f(1)>0;
                 得证。
             如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！