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标题: 一道较难的函数题 急! [打印本页]
作者: wilsonlouis    时间: 2009-5-17 10:54
标题: 一道较难的函数题 急!
题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于 2 Y5 j# S) E: ?3 G; h
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证: 7 ~4 ^( v& Y, ]4 C: R
(1)af[m/(m+1)]<0 & u* p' J1 \! g1 I& c
(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.
作者: 现实不是小说    时间: 2009-5-17 13:35
证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];4 O" t  t4 @8 @. q+ w$ Y& e
          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；0 b7 h8 J7 {' e7 e( m( X
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];% Y* o5 K) s" n# |0 d2 `. L' P3 B
           通分化简可的结果，相信你也会。
% j$ b( j. L* F5 U      （2）af(0)=a*c;- z# @9 [2 u7 n- o$ j9 |
                 af(1)=a^2+a*b+a*c;. x% a( j- @* l; }1 z
                  讨论：
/ L, I9 T1 ?9 Y8 Y) u: w4 T/ Y          1）如果ac=0,则c=0;6 q* G" Y' M. U9 c( Y) l
                  af(1)=a^2*(1+b/a);. ?4 J  B. u( o0 Z6 e5 {
                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;/ b' |" W5 n1 r& ~( ?4 ?& j0 r6 [
                   可得0>b/a>-1;
0 {4 h% T/ m/ z0 W                    代入得af(1)>0;
% t1 Z# W* {; {) {                    结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；5 M/ C6 G9 w  q) G9 H
         2）ac>0,自然得证；& ^1 o& b  [1 [! f% k$ p
         3）ac<0.
' [5 d% r" H; F                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;0 x& s, I  O# v9 U& q8 H( c4 l
                 得a^2+a*b>0;  c- b/ j0 s- T* ]' d
                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;, g* L$ d" w) C; s) e
                   因为m>0;; F( _5 U; I7 E( r: @( g3 f
                 a*f(1)>0;
! U* v- Z8 A% r0 V9 V                 得证。7 q, R# U3 i$ f4 C0 H$ A2 k3 X* Q
             如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！
作者: wilsonlouis    时间: 2009-5-18 23:45
这个题挺有意思的。 + ?, X/ l! D5 i. Y* v8 a7 l  s2 y
第一问： 0 Z9 ]- g3 a) A2 Y& D5 Y8 v* A/ A
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0 3 ^1 d$ a' |3 n4 X* `  H# _  o0 x
此式两边同乘以m 8 a# ]- [3 Q1 u, y# O, D1 {
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
2 i6 p, V" [3 d% V7 Z3 z∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2) # t1 ]2 @8 t! N
af[m/(m+1)] , _9 T) e/ r! e7 c4 m# L# U' H
=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
* F/ r  O7 S; {5 o0 O=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)] 2 `$ m* w; f8 a; J1 W
=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
' r; {2 `# n. X* D8 ?( o6 I) M) W∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0 + p# ?3 j# i0 j0 ?' |" s' V
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
0 g& R7 N1 s# z: ?. f: @而(a^2)(m^2)>0 9 X- Q# L* ~! H) J4 b' {2 |# P
∴af[m/(m+1)]<0 9 K: l% y1 j& G

0 A' h% H; M" ]" B. L. N第二问：
0 d4 s% U5 D! }7 b: Pa/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
8 X7 J& T1 Z/ M两边同时乘以(m+1):
7 _- w3 Y5 ]6 w8 u  la(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0 + @. T! ~2 S- v% u
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m & z7 W5 a" m% N5 g# w
af(0)=ac
- p2 g8 U4 n/ s1 O* C: _+ F, \9 [af(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m , l7 x2 c: \: a
此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①   p: c/ \! s* m6 @% J: i& _. v" B
如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
5 G$ _: T7 ^- {0 F: m1 e: t得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
" W& l* ~+ Z6 U∴f(0)f[m/(m+1)]<0
8 V- ~: Z) e+ f3 E1 ^% t∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解 9 j/ W! s% {0 g# H7 ^
如果ac<=0,那么-ac>=0
3 V0 i0 h: e  n; @- D6 W2 @6 N8 e∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘 $ X9 L  u8 {- m* o" z3 M: S  b
得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
  e: b9 L3 I% k. w# y  a/ V∴f(1)f[m/(m+1)]<0
* L2 B* A7 M  j, s: A5 i∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
4 b3 _: b* c0 H2 p∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分 6 V- i4 `  S0 v: z$ w, k& Z, q
∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
. M& _* K. T0 @" V+ ?0 _9 p$ ~结论得证！
作者: xiang1990    时间: 2012-8-18 11:17
呵呵，有意思



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