一道较难的函数题 急!

wilsonlouis

题目：已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
(1)af[m/(m+1)]<0
' e9 S1 N! C7 D(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.

xiang1990

呵呵，有意思

wilsonlouis

这个题挺有意思的。
第一问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
4 i* m2 g) u0 p2 }" J# U此式两边同乘以m
得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0
∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
8 X& R+ k& `$ |4 Q6 `0 a* x  u; aaf[m/(m+1)]
=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]}
! Q1 K6 @3 F7 w, h: q% U7 l=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
) \  F6 x5 e. i8 y6 g=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)]
- L' o  T; l9 {8 l) S∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
而(a^2)(m^2)>0
∴af[m/(m+1)]<0

第二问：
a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
: ~) f2 n5 i! P% ~% N; Y: T两边同时乘以(m+1):
$ B$ P+ V8 c  p! @, Ia(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
b=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m
af(0)=ac
/ @! q9 F. m4 W/ x. u# p; jaf(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m
此时要利用第一问的结论：af[m/(m+1)]<0……①
3 m" p3 {- T% w) I! P  T' ?如果ac>0,即af(0)>0，与①式相乘
得：[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0
, j1 n3 }$ H- d% V∴f(0)f[m/(m+1)]<0
% ^$ E7 [$ [8 O% k7 O! ?8 Y9 G∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解
如果ac<=0,那么-ac>=0
9 [# k7 ]$ q; D9 D) L- l7 Z∴a^2/(m+2)-ac/m>0，即af(1)>0，与①式相乘
0 B$ S' y8 O$ p, J+ b得：=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
6 u6 m. P0 r, B& f∴f(1)f[m/(m+1)]<0
∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解
4 X" z; _4 H3 {+ i* p, T- w8 p∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分
∴综上，方程f(x)=0在(0,1)内有解.
结论得证！

现实不是小说

证明：（1）af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m；
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];
           通分化简可的结果，相信你也会。
! n  |/ z% e% y, B      （2）af(0)=a*c;
                 af(1)=a^2+a*b+a*c;
                  讨论：
          1）如果ac=0,则c=0;
6 U1 |( ?* t1 a                  af(1)=a^2*(1+b/a);
6 ^3 h4 I* T- `) u8 [                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;
% n% n0 v1 C+ C( I                   可得0>b/a>-1;
                    代入得af(1)>0;
0 d3 r6 M0 J6 d% P2 q                    结合（1）的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点；
         2）ac>0,自然得证；
         3）ac<0.
9 f* ~- ]6 a) v7 L                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
/ `  p; [2 O4 v6 c6 c                 得a^2+a*b>0;
                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
5 j& B% {! e6 D( _% Q3 s5 B' R                   因为m>0;
                 a*f(1)>0;
- C6 `0 ~: @" G- i' R* [                 得证。
( W- u% ^' b/ j; T7 P             如有其他方法请提出宝贵意见，比邻赐教！！！！