12 3 4 / 4 页下一页

查看: 12140|回复: 31

[已经解决] 比较1跟0.999999...之间的大小关系

[复制链接]

字体大小: 正常放大

数学者

170 主题	10 听众	3232 积分

该用户从未签到

电梯直达

1^#

发表于 2009-12-4 22:53 |只看该作者 |倒序浏览

|招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

本帖最后由数学者于 2010-4-25 16:20 编辑

求助：如何用数学方法证明1跟0.9999...（无穷个9）之间的关系呢？
若只比较最高位数字的大小，显然1>0.9999...
然而，若将两个数都除于3，即有1/3=0.3333...（无穷个3）= 0.999.../3=0.3333...
以上两种方法得到的结果显然不同，是上述某种方法不够恰当，还是两个数字之间另有其他什么关系呢？
恳望各位高手帮忙用数学方法解决一下，不胜感激！

.

zan

转播0 淘帖0 分享0 收藏1 支持1 反对0 微信

挽弓当挽强，用箭当用长！

使用道具举报

zhaoqy

3 主题	4 听众	132 积分

升级 16%

该用户从未签到

2^#

发表于 2009-12-4 23:01 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

核心问题就是0.999...是什么东西. 我们不知道它是不是有理数, 因此只能用有理数的极限来表示它:
0.999... = lim 0.99..99(n个9)
注意右边的极限就是1.

更好的理解请看看实数系的构造, Dedekind分割和有理数的Cauchy列两种定义都可以说明相等.

我也说一句

发表

使用道具举报

buct

26 主题	3 听众	1156 积分

TA的每日心情

	开心 2018-10-14 09:54

签到天数: 2 天

[LV.1]初来乍到

群组: 数学建模

群组: 数学趣味、游戏、IQ等

群组: 我行我数

群组: Mathematica研究小组

群组: 文献查询

3^#

发表于 2009-12-4 23:06 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

0.9999999_____n个=1-1/10000000000000000（n个0）不知对不对

我也说一句

发表

使用道具举报

厚积薄发

1341 主题	738 听众	2万积分

数学中国总编辑

TA的每日心情

	衰 2016-11-18 10:46

签到天数: 206 天

[LV.7]常住居民III

超级版主

群组: 2011年第一期数学建模

群组: 第一期sas基础实训课堂

群组: 第二届数模基础实训

群组: 2012第二期MCM/ICM优秀

群组: MCM优秀论文解析专题

4^#

发表于 2009-12-4 23:49 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

进行大小比较，先将两个数都变成无穷小数，利用无穷小数的n位不足近似或者n位过剩近似去比较，即可得到。具体可以参考《数学分析》华东师范大学数学系编的有高教出版，第三版的第一章内容即可

我也说一句

发表

使用道具举报

数学者

170 主题	10 听众	3232 积分

该用户从未签到

5^#

发表于 2009-12-4 23:56 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

我将版主的方法改写成下面的形式：
lim(1*10^n-0.999...*10^n)=1 (n趋向无穷)
则1*10^n > 0.999...*10^n
两边再同除于10^n将不改变它们之间的大小关系，即1 > 0.999...
这样是否又是跟2楼的结论相矛盾了？

我也说一句

发表

挽弓当挽强，用箭当用长！

使用道具举报

08dlut

2 主题	5 听众	190 积分

升级 45%

TA的每日心情

	慵懒 2012-5-28 08:57

签到天数: 2 天

[LV.1]初来乍到

6^#

发表于 2009-12-5 09:19 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

楼上的极限算错了，应是lim(1*10^n-0.999...*10^n)=0
另外二楼的做法是对的

我也说一句

发表

使用道具举报

wanghuizan2004

6 主题	1 听众	349 积分

升级 16.33%

TA的每日心情

	开心 2011-9-24 04:32

签到天数: 1 天

[LV.1]初来乍到

自我介绍: 潇湘才子

7^#

发表于 2009-12-5 10:55 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

两者是相等的。0.9999999...是无限循环小数，这里用等比数列和极限理论证明即可。严格证明如下：
证明：
0.99999....=9*（1/10+(1/10)^2+(1/10)^3+(1/10)^4+(1/10)^5+...）  等比数列求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)并求极限
         =9*(1/9)
            =1
证毕！
申请加精！

我也说一句

发表

勤勤恳恳求知，踏踏实实做人。

使用道具举报

山心豆

6 主题	9 听众	504 积分

升级 68%

TA的每日心情

	奋斗 2020-2-3 22:36

签到天数: 5 天

[LV.2]偶尔看看I

群组: 数学建摸协会

群组: Matlab讨论组

群组: Linux推广

8^#

发表于 2009-12-5 11:37 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

2楼和9楼正解，我就不重复了。
有些问题就是让人觉得感觉很简单，却琢磨不透。

这让我想到一个以前在贴吧看到的问题，1/3=0.33333333…，0.333333…*3=0.999999……不等于1！
两个题目有点类似哈！看来很多人在学习过程中都会遇到这样的困惑。

我也说一句

发表

使用道具举报

数学者

170 主题	10 听众	3232 积分

该用户从未签到

9^#

发表于 2009-12-5 12:26 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

嗯，明白了，多谢各位的指点~

我也说一句

发表

使用道具举报

funintears

13 主题	2 听众	2061 积分

大学生

升级 2.03%

TA的每日心情

	开心 2011-10-3 23:16

签到天数: 1 天

[LV.1]初来乍到

自我介绍: 学在武大！

10^#

发表于 2009-12-6 14:53 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 funintears 于 2009-12-6 14:55 编辑

这涉及到p进制无限小数的问题。我们将大于0小于等于1的数用p进制无限小数表示是指an/p^n对n求和，这里an可以等于0，1，2……p-1，并且有无限多个an不等于0.可以证明任意大于0小于等于1的实数都可以唯一用p进制表示法表示。在这样定义下。1不表示为1.0000……，而表示为0.9999……。这是合理的。可以由级数收敛说明9/(10^n)对n从1到无穷求和是收敛的且等于1。7楼已经给出具体方法了。