遗传算法(理论应用与软件实现附光盘)

aimaer_21

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扬帆呢

模拟退火算法简介


: _  ]" t/ G6 I0 T
  m$ U  V  @/ q+ B3 k% m
8 D1 s; @) k) g- k& d5 w8 S3 f
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。

. c- O  r4 m) k/ U/ y3.5.1 模拟退火算法的模型

0 [+ S* |% ]" a9 |　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
( z( x; F! T/ G, C
) x% j1 [1 j/ I3 H5 M　模拟退火的基本思想:
! s+ u8 {) i0 D: X
' R7 ^  g2 U4 u$ z　　(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L

　　(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：

　　(3) 产生新解S′
3 ?' [: B& P! m5 S
' i& a2 F' e+ M5 l7 ?# f1 Q　　(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
% }3 s. k; }; s1 D+ ^! t
) S8 i$ y( X6 E1 Y0 f) `　　(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.

% h2 y; X$ ~* m' P　　(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
; R' P. ?" o( s9 h5 i
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。

# m% U- @8 e9 e4 C　　(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

算法对应动态演示图：
. g2 l- J, C; ~+ _1 `1 m; }
$ d6 L" y8 Z& O/ J! A模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：

' P$ ?6 j0 _* m7 A0 j! ~　　第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

& C9 t6 ]2 i1 F- z( T　　第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。

# ?. y7 P& y2 m. U$ i& `　　第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
, I' r! y. Z6 ^1 P& D  z
+ F. D/ {" o; M0 s8 r% X　　第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
2 n  U/ V+ H0 O7 d2 h) b
! S' P" ^9 A: t3 S7 ^9 N: w! h! f- W+ t　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
" V8 h3 Z8 C8 r- m; R0 i7 b
( U; z+ B, _7 _# Z/ q( v
# A/ X& R- P" [: ^
3.5.2 模拟退火算法的简单应用
: f8 Q6 p$ T2 _- ?
　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码1,…,n代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。
' J3 i' u* P; y4 U/ x; I- R% B
, U+ c  \3 t- a! }; [, L　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：
6 ]; t9 K) M  v" R1 {" |2 |; ^
! e; i) O4 z% W3 Y　　解空间 解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1，……，n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为(w1,w2 ,……，wn)，并记wn+1= w1。初始解可选为(1，……，n)

　　目标函数 此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数：
) z* w. v6 @% H
. m* S' |: o" c: V' f; j
7 ^# X- {( s  u2 B
( h9 }4 d" o$ Z　　我们要求此代价函数的最小值。

" M9 o( Y6 g4 q3 ~! I　　新解的产生 随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

3 J/ E, l' I) F5 s2 m3 D( I　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)

　　变为：
! U% {( {$ ]2 j. J, J
: M) O6 B9 G; y8 X2 g　　(w1, w2 ,…，wm , wm-1 ,…，wk+1 , wk ,…，wn).

　　如果是k>m，则将

　　(w1, w2 ,…，wk , wk+1 ,…，wm ,…，wn)
1 O# `4 v0 l* t: D! n; |
　　变为：

　　(wm, wm-1 ,…，w1 , wm+1 ,…，wk-1 ,wn , wn-1 ,…，wk).

! B/ S+ {& A  v& Y: C( U+ C　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。
. ^1 N# V* j6 s& P1 f4 z' \2 _, n
　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。
5 ?/ O8 J! i% K% z2 H9 j7 v6 x
% {* D) q# c' r  v! Q7 k　　代价函数差 设将(w1, w2 ,……，wn)变换为(u1, u2 ,……，un), 则代价函数差为：
3 o9 p8 u8 Y" K( Z


根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:
, G9 a2 H6 [# X
　begin
4 R. c1 W; ^: g
) i, r; h2 y7 m+ s3 J% T2 J! G/ J　　init-of-T; { T为初始温度}

　　S={1，……，n}; {S为初始值}

) a5 F8 m6 L" e, \4 G　　termination=false;

　　while termination=false

. A" {+ }; f+ b5 g　　　begin

　　　　for i=1 to L do

/ q1 D' s) x2 L+ I" q　　　　　　begin
  Q' f$ ~3 _7 n7 F
6 [# m/ }" U5 Y; b0 d8 I　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}

' M5 Q6 @' H8 H5 m' }) Q6 x: X　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}

　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

0 {! ~7 y: W% Y. {　　　　　　　　S=S′;

　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
2 T$ }5 s; `1 y9 D0 S
　　　　　　　　termination=true;

　　　　　　End;
9 O( S% B& |/ J4 \% W
- n& f- o5 A7 N* W- S" |　　　　T_lower;
0 ]2 ~7 ~4 b5 J- N$ K
　　　End;

　End
4 X9 ]  A3 H% M7 g( n6 m
　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。
0 C) q- W% x! V- b6 \# ?" v. ^( B5 \


3.5.3 模拟退火算法的参数控制问题
0 _6 a" G. ?. _* F5 I
& v7 Y) D3 t9 p, Q- ~% f$ ]1 D4 U" I　　模拟退火算法的应用很广泛，可以求解NP完全问题，但其参数难以控制，其主要问题有以下三点：
( O6 o9 H0 s1 H1 J: F
3 \* k5 `0 \4 Q2 b$ M" k　　(1) 温度T的初始值设置问题。

# |. u: z/ ^/ Q# c- g6 ]2 E3 q　　温度T的初始值设置是影响模拟退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始温度高，则搜索到全局最优解的可能性大，但因此要花费大量的计算时间；反之，则可节约计算时间，但全局搜索性能可能受到影响。实际应用过程中，初始温度一般需要依据实验结果进行若干次调整。
$ N$ y  \. G% J  _* S9 Y8 m3 E
1 n9 U( Q: M& k　　(2) 退火速度问题。

　　模拟退火算法的全局搜索性能也与退火速度密切相关。一般来说，同一温度下的“充分”搜索(退火)是相当必要的，但这需要计算时间。实际应用中，要针对具体问题的性质和特征设置合理的退火平衡条件。

　　(3) 温度管理问题。

- |0 j4 [+ D: T8 }1 d　　温度管理问题也是模拟退火算法难以处理的问题之一。实际应用中，由于必须考虑计算复杂度的切实可行性等问题，常采用如下所示的降温方式：

0 a- K' t/ @3 _5 S$ R

6 w! |$ |# l. L" YT(t+1)＝k×T(t)

式中k为正的略小于1.00的常数，t为降温的次数
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