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1995年A题《飞行管理问题》题目、论文、点评

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huashi3483

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飞行管理问题答卷评述
作者：谭永基; 复旦大学;

本题是以空域飞行管理为背景，经简化和整理而成的一个赛题。该问题主要可以归结为非线性规划模型或经一定简化，建立线性规划模型。由于实际的需要，提出的算法应在计算机上快速地实现。一、非线性规划模型及求解设六架飞机在调整时的方向角为θ_i，调整后的方向角为θ’i=θ_i十△θ_i(i=1，2，…，6）。设任意两架飞机在区域内的最短距离为dij(θi，θj，），那么问题的非线性规划模型为使得绝大多数答卷能正确建立模型，有的答卷在建模时，出于某些考虑加强了不碰撞的要求，如要求在调整后的O.22～(1/2)小时内不发生碰撞或永远不允许发生碰撞，从而简比了dij的表述。求解此模型的一种方法是枚举法，但是枚举工作量极大，必须采取逐步求精（细分）、隐式枚举、枚举和二分法相结合等技巧，方能在较短时间内求得符合精度的最优调整方案。参赛答卷中采用了许多提高枚举效率的措施。有的答卷在枚举时采用了Monte-Car-lo法，随机产生大量{△θi}组合，从其中的可行解中选出最优解。这种方法可显著提高计算速度，有一定新意。另一种解法是引进惩罚函数，将问题化为无约束极值，然后将其极小化。

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飞行管理问题的实时算法

作者：谭浩南,朱正光,刘剑,蔡志杰

本文讨论了在一定区域空间内进行飞行管理避免飞机相撞的模型，提出了直接搜索法和非线性规划（SUMT）法两种解法，并将两种方法有机结合，得出的算法在486微机上计算时间小于10秒，误差不超过0.01度，完全符合问题的要求。本文接着给出四种不同情况分别用两种方法求解，进行比较检验，取得很好的吻合，充分说明了模型3的可靠性。本文还对模型的误差进行分析并对模型进行推广。

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空中防撞系统的设计

作者：黄春峰,饶红玲,刘伟,于清娟

编者按：本文用相对运动的观点建立飞机两两不相撞的约束条件，将问题归结为一个非线性规划问题，用惩罚函数方法化为无约束极值问题求得最优解。罚函数选取合理，表达清楚。一、符号约定Pi为第i架飞机坐标；θi为第i架飞机方向角；rij为Pi和Pj间距；θij为Pij与X轴的夹角；v为飞机飞行速度。二、问题的分析与求解1．设计目标要设计的防撞系统中，为确保飞机不相撞，应满足如下条件：(1)安全距离要求|Pij|≥8（2）飞机偏离航向不应太远，要求|△θ|i≤30°根据上述条件及题目的要求，防撞系统的目标是达到总航向的改变最小。即min(∑|△θi|)上述的条件和目标是我们建模的依据。2．飞机相撞的判据根据相对运动原理Pi相对Pj的速度方向为（v（cosθi一cosθj），v（sinθi一sinθj））t时刻Pi相对Pj的位置为（aij＋vt（cosθi一cosθj)，bij＋vt(sinθi一sinθj））令vt=l，则有由上可知，Pi与Pj若相撞仅有三种可能：1f（0）<64但这与初始条件不符，故无须考虑且所以当f（l）满足（2）或（3）时，Pi与Pj相撞，否则不相撞。通过上述问题分析，可以看出这个模型的总目标就是确定...

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飞行管理模型的线性化处理方法

作者：刘铁成,张良,聂兆虎,许宝刚

编者按：该答卷针对飞行管理问题的实际背景，采用计算机模拟和线性规划相结合的方法较好地解决了问题。论述条理清晰，计算结果正确。所采用方法的特点是运算时间短，普适性较强具有一定的启发性，特将有关部分予以发表。一、模拟与线性规划模型要解决飞行角度调整问题，首先要判断出哪些飞机会在区域内发生碰撞，令Li,j（t）=（xi（t)一xj(t))2十（yj(t）一yj（t）)2一64，整理得其中两架飞机Pi和Pj在区域内发生碰撞的条件是：1）两架飞机间的最短距离小于等于8公里；2）刚达到距离8公里时两飞机仍在区域内。由条件1）可得约束且两飞机距离达到8公里的时刻为由条件2）可得下列约束如果P_i和P_j同时满足（3）和（4），它们就会在区域内相撞，否则不会在区域内相撞，根据上述结论，我们编制了计算机程序AircraftAdministration（程序见附录），求出各个相撞的飞机，并对相撞的任何两架飞机进行调整，使其满足：（1）调整后相撞飞机的总数量不大于调整前相撞飞机的总数量；（2）两架相撞飞机设为P_i，P_j若P_i调整后相撞飞机的总数量小于P_j调整后的相撞飞机的总数量，则优先考虑调整飞机P_i。（3）若P_i调整...

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飞行管理问题的逐步逼近搜索方法

作者：王崧,于劲松,陆昱,雷功炎

编者按：本文给出了一种逐步逼近的搜索方法，它尽管不能保证求出最优解,但具有以下三个特点：（1）简单易于编程计算。（2）对目标为绝对值函数与平方和函数两种模型都适用。（3）由计算结果看出对该问题是一个可行的方法。这里只摘录了原文的部分段落。模型的建立由于要求中方向解的误差不超过0．01度，我们可以只考虑样本空间Ω=[-30°，30°]×…×［-30°，30°]中所有坐标均为0．01的整数倍的点。令为整数则Ω’中共有6001~6≌4．7×10~（22）个点。要通过遍历Ω’中所有元素来求最小值是不可能的。因此，我们采取了一种搜索算法，实践证明它可在允许的时问消耗下给出较优解（通过本文中后面的具体例子中用此搜索结果与证明了的最优解的比较，我们发现此结果已完全满足了我们的要求）。仍然记存在其它其中f（△α）为目标函数方向角改变量的绝对值和（或平方和），DIST（A_i，A_j）为飞机A_i和A_j之间的距离。方法一（基本思路）：首先在Ω’中以较大跨度均匀地取N个点，通过遍历计算找到其中使F（△α）取最小值的点，然后以该点为中心，找一个较小的区域，在其中再取N个点，在这N个点中找到使F（△α）取最小值的点。如此迭代下去，...

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飞行管理模型的能量梯度求解法

作者：刘学,胡晨,陈涵,高策理

编者按：本问题建模后构成一个非线性规划，求最优解有相当难度，针对本问题本文用一个表征全局性质的能量来表达飞机位置，当达到最佳位置时能量取最小，从而构成能量梯度调整模型，按此模型获得了本问题最优解。木文为作者原论文中部分内容。针对以上问题，我们考虑利用一个能够表征全局性质的量来辅助调节每架飞机的位置。由于最优解对应于一个函数的极值，我们设想用能量来表达飞机的位置，当达到最佳位置时，能量最小。由此我们可以设想，每架飞机的方向角在其调整方向上的能量梯度表达了这架飞机的调整趋势。通过比较这些趋势并在趋势上逐步搜索。我们有理由相信其调整过程将向一个较优的结果运动。为此，我们定义［△θ_1，△θ_2，…，△θ_6]空间的能量函数如下：其中当i，j两架飞机之间的最小距离dmin,ij≥8时，Eij=0表示它们之间无碰撞产生；而当dmin,ij＜8时，定义Eij=8—dmin,ij，这反映了碰撞的严重程度。很明显，此能量函数E表示了在△θ_1，△θ_2，…，△θ_6的调节量作用下，当前飞机航向所引起的碰撞严重程度。我们在[△θ_1，△θ_2，…，△θ_6］空间上，只要找到E的零点，便可符合题目的要求。为此，我们提出了能量梯度...

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飞行管理问题约束条件的线性化

作者：徐元军,曾九林,韩伟群,潘冬光

编者按：本文从相对运动出发，给出了两架飞机不碰撞条件的几何描述，得到了两机不碰撞的方向角范围，并对有关条件作了线性化处理，从而使原来的非线性约束化为线性约束。其特点在于：对约束条件的简化，注意了保留在区域内不碰，在区域外碰撞的角度范围，考虑较为全面。当然，对这一条件还可有其他处理方式。此处发表的是该文有关部分的摘录，编者只增添了极少的语句，使文意联贯。则飞机i与j间距离（x_i，y_i）表示第i架飞机在t时刻的坐标（x_10，y_10）表示第i架飞机在t=0时的坐标（i=1，2，3，4,5；j=i＋1，i+2……6）新进入飞机编号为6。考虑利用两架飞机在区域内的相对速度来判断飞机的碰撞条件。θ_i表示两点的连线为始边，i为圆心逆时针旋转到v_i的角（在两点连线的左端反向为负）。θ_j表示以两点的连线为始边，j为圆心顺时针旋转到v_j的角（在两点连线的右端），反向为负。θij表示由点j到圆（以点j为圆心.8为半径的圆）的切线与两点连线的夹角，（θ_i＞θ_i）。由计算可得合成速度角度因为区域内所有飞机的坐标和方向角都是确定的，所以θ_i，θ，θij都是确定的，因此我们可以作出以下判断i）当0≤0时两飞机不会碰撞...

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飞行管理问题的线性规划模型

作者：孙旭山,魏华,吕晓光

编者按：这份答卷的作者没有参加全国的竞赛，而是按照同样的题目和要求参加了学校的竞赛。全国评委会的同志在评阅完全国的优秀答卷后审阅了本文，一致认为该文很有特色，特予发表。对本题一般都是建立了非线性规划模型，直接求解很困难。该文不仅运用相对速度将不相撞的约束条件线性化（对调整角改变量线性），而且经过合理的选择将目标函数也线性化，从而将整个问题成功地简化为线性规划模型。另外该文表述清晰，证明简洁。一、数学模型1．模型假设1）新飞机进入边缘时，立即作出计算，每架飞机按照计算机计算后的指示立即作方向角改变（有的飞机方向角可不变）。（2）每架飞机整个过程中最多只改变一次方向角（3）忽略飞机转向时间（即认为飞机在按收到指令后立即对方向角调整，且忽略其调整时间）（4）新飞机进入空域前，在空城中飞行的飞机方向已调合适不会相撞（5）对方向角的相同调整量的满意程度是一样的，且方向角调整越少，满意程度越高2．模型介绍将每架飞机视为球状模型（二维平面为圆状模型）整个空域视为二维平面，建立直角坐标系，顶点为（0，0），（160，0），（160，160），（0，160），各方向角为飞行方向与X轴正向的夹角。每架飞机是一个以飞机坐标点为圆心...

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zan