% e5 W' V. r! ~& W+ w
9 b' i2 x* J2 ]




1 n0 Y! t9 V9 U( R/ S4 g- a
# u) m( r5 f/ r: {& N: ^' D

1. from itertools import permutations
   # x2 F# t0 H0 I2 ~\" j; t- B  P% Q
2. import math; O3 P4 ~5 U. h, ]% @! d
   
3. 
   0 d0 B! E7 ~9 J9 ?: a6 ~! P, I
4. def tsp_brute(dist):
   . X* [7 `8 x! I1 E
5.     """dist: n×n 距离矩阵，返回 (最短长度, 最优回路)"""
   $ q! ^# s) P* @5 F' C
6.     n = len(dist)
   9 @2 Z6 f% _5 X. |# G3 Y
7.     best_len, best_tour = math.inf, None/ Y2 O2 X$ O& _. I: S
   
8.     for perm in permutations(range(1, n)):          # 固定起点 0
   ) L5 x4 t% k1 X/ D1 ?8 V6 V. \
9.         tour = [0] + list(perm)8 ?4 Z/ \& F1 e5 n4 V* v, X4 ~- G
   
10.         L = sum(dist[tour[i]][tour[i+1]] for i in range(n-1)) + dist[tour[-1]][0]( ?/ K8 j, {( a# }, ]+ y
    
11.         if L < best_len:8 \: k( X9 q5 I( @6 D# A7 C
    
12.             best_len, best_tour = L, tour
    8 Q% B& O9 d\" [+ ^# c# \4 ^
13.     return best_len, best_tour+ @8 r+ Y; b0 Z% L, M
    
14. 2 z. h1 t+ E* D# u- z
    
15. # ---------- 2-opt 局部搜索（中大规模） ----------
    $ J, G\" G9 c- p) [( \5 c
16. def tsp_2opt(dist, max_iter=1000):
    * t7 |( k$ ^1 F% i+ e
17.     n = len(dist)
    - U8 t  F$ o! r8 @0 J2 l
18.     tour = list(range(n))                          # 初始：自然顺序
    0 ^* K: X2 U0 w8 g: p$ _# Q  j, F$ @
19.     improved = True! M& q) A4 X8 D# b) n
    
20.     while improved and max_iter > 0:( C) l) C' b; W' l4 n6 ]
    
21.         improved = False. l/ Z6 R0 B: J2 b1 Z
    
22.         for i in range(1, n-2):
    . }1 d) a% c' L
23.             for k in range(i+1, n):3 G1 Y( j\" F\" H% q$ ^
    
24.                 # 翻转 tour[i:k+1]0 ]# `7 r: @. u3 Q$ ]
    
25.                 new_tour = tour[:i] + tour[i:k+1][::-1] + tour[k+1:]
    ! @' f4 Z) `/ }1 L2 F' y
26.                 cur = sum(dist[tour[j]][tour[j+1]] for j in range(n-1)) + dist[tour[-1]][tour[0]]  l3 u! y  p0 B/ q0 l
    
27.                 new = sum(dist[new_tour[j]][new_tour[j+1]] for j in range(n-1)) + dist[new_tour[-1]][new_tour[0]]# a: y. U+ J& ?: ?
    
28.                 if new < cur:
    / ]& B\" H9 m; S- C
29.                     tour, improved = new_tour, True# e9 {; X4 B3 w1 X% m6 R
    
30.                     max_iter -= 1
    . o  u5 v! o( D  s
31.     L = sum(dist[tour[j]][tour[j+1]] for j in range(n-1)) + dist[tour[-1]][tour[0]]
    ) ^. Y2 s& Q) d7 T( U+ X2 j
32.     return L, tour8 I4 ~- P# I- Z: ^' c. a, D, n
    
33. 
    + y2 n8 F& j5 \6 x( K
34. # ---------- 测试：4 城市 ----------: V1 c: I( \0 W8 ~
    
35. dist = [\" e* H5 _* V, v) M6 U  T
    
36.     [0, 10, 15, 20],\" `' S! `+ Z3 F0 f+ \0 y
    
37.     [10, 0, 35, 25],
    % L\" h3 r: I: ^- g/ E* j8 `/ C
38.     [15, 35, 0, 30],- S* x) s7 K+ y, f. N
    
39.     [20, 25, 30, 0]8 S# n/ v- W4 F' k7 M
    
40. ]
    - c& |* U0 D& `9 o
41. print("暴力 DFS:", tsp_brute(dist))   # 最短长度 80，回路 0→1→3→2→00 H\" N! I4 H; o: f
    
42. print("2-opt   :", tsp_2opt(dist))

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7.2 运行结果

1. 暴力 DFS: (80, [0, 1, 3, 2])9 s, P' B1 z5 ^% S6 Z6 g
   
2. 2-opt   : (95, [0, 1, 2, 3])

复制代码

观察：暴力 DFS 保证全局最优（ 时可行）。2-opt 从自然顺序出发卡在局部最优 95，未能到达最优解 80——这正是 2-opt 的经典陷阱：单次运行可能陷入局部最优。竞赛中应多次随机重启或结合其他启发式（如先用最近邻初始化再 2-opt）。这也是为什么论文里必须报告"与精确解的 gap"，而不是只报一个数字。

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8. 竞赛真题映射

年份

CUMCM 题目方向

TSP 变体

1998B灾情巡视路线巡检 TSP（带时间窗 / 部分覆盖）
2001C公交车线路设计路径规划 + 容量约束（VRP 变体）
2008B啤酒运输问题配送路径优化
2011A高速公路收费站路网遍历 + 费用优化
2015A太阳能小屋设备布点 + 巡检路径
2017B煤炭产量预测无关（数据题）
% A* s  E4 W2 R3 k6 Z2020A炉温曲线无关（拟合题）
近年物流配送 / 应急巡检 / 传感器网络TSP / VRP / 覆盖路径

核心规律：只要赛题出现"一条路走遍多个地点"，TSP 或其变体（VRP、TSP with Time Windows、多车 TSP）就是最自然的建模原型。先用 TSP 建原型，再根据约束升级为 VRP，是数模竞赛的成熟套路。

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9. 常见误区与赛场自查

#

误区

正解

6 z$ ]& o3 @: e9 j- j% f1"TSP 可以用贪心算法精确求解"贪心（最近邻）不保证最优，存在反例
2"2-opt 一定得到全局最优"2-opt 是局部搜索，可能陷入局部最优
3"TSP 和指派问题等价"TSP 要求单一回路，指派问题允许子回路
' B* U4 i0 u  F6 @4"子回路消除约束可以一次性写完"数量  级别，实际用逐步加入（lazy constraint）
5"DP 复杂度 "准确是 ，每状态需  转移
) f4 O5 z1 A0 P6"所有 TSP 都有常数近似比"仅度量 TSP（三角不等式）有 Christofides  近似
7"对称 TSP 和非对称 TSP 一样"对称： 种回路；非对称： 种

赛场自查清单：

• 我确认了距离矩阵是否对称、是否满足三角不等式（影响算法选择）。
• 我估计了可行解数量 ，判断暴力 / B&B / 启发式的适用性。
• 若用 B&B：下界函数是否安全（不高于最优值）且紧？
• 若用 2-opt：是否报告了与精确解的偏差（小规模对比）？
• 若用 Christofides：是否验证了三角不等式成立？
• 论文中是否报告了运行时间与最优性差距（gap）？
• 是否对结果做了敏感性分析（距离矩阵微调时回路是否稳定）？
• 是否给出了子回路消除的处理方式（lazy constraint 或逐步加入）？
    ^8 V* r5 d' }

---

10. 参考文献

[1] Dantzig, G. B., Fulkerson, D. R., & Johnson, S. M. (1954). Solution of a Large-Scale Traveling-Salesman Problem. Operations Research, 2(4), 393–410. DOI: 10.1287/opre.2.4.393. https://doi.org/10.1287/opre.2.4.393

[2] Held, M., & Karp, R. M. (1961). A dynamic programming approach to sequencing problems. Proceedings of the 1961 16th ACM National Meeting, pp. 71.201–71.204. DOI: 10.1145/800029.808532. https://doi.org/10.1145/800029.808532

[3] Held, M., & Karp, R. M. (1962). The traveling-salesman problem and minimum spanning trees: Part II. Operations Research, 18(6), 1138–1162. DOI: 10.1287/opre.18.6.1138.

[4] Lawler, E. L., Lenstra, J. K., Rinnooy Kan, A. H. G., & Shmoys, D. B. (Eds.) (1985). The Traveling Salesman Problem: A Guided Tour of Combinatorial Optimization. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics, Vol. 12. Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-90413-7.

[5] Applegate, D. L., Bixby, R. E., Chvátal, V., & Cook, W. J. (2011). The Traveling Salesman Problem: A Computational Study. Princeton Series in Applied Mathematics. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12993-8 (print), 978-1-400-84110-3 (ebook). https://press.princeton.edu/books/ebook/9781400841103/the-traveling-salesman-problem-pdf

[6] Cook, W. (2012). In Pursuit of the Traveling Salesman: Mathematics at the Limits of Computation. Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-16352-9.

[7] 姜启源, 谢金星, 叶俊. 数学模型. 5版. 北京: 高等教育出版社, 2018. ISBN 978-7-04-049222-4.

[8] 司守奎, 孙玺菁. 数学建模算法与应用. 3版. 北京: 国防工业出版社, 2021. ISBN 978-7-118-12278-7.

[9] 胡运权, 主编. 运筹学教程. 5版. 北京: 清华大学出版社, 2018. ISBN 978-7-302-48125-6. https://www.tup.tsinghua.edu.cn/wap/tsxqy.aspx?id=07656604

给参赛学生的一句话：TSP 是数模优化题里"最简单的难题"——问题描述一句话，求解却需要一整套组合优化工具箱。小规模用 B&B/DP 保证最优，大规模用 2-opt 给出好解并报告 gap，这是评委最认可的"务实"策略。记住：能证明最优的解，比看似漂亮但无保证的解更有说服力。

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