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升级 39% TA的每日心情 | 开心 2016-8-29 17:02 |
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二、计算与证明6 j. N. z# B: u" u- {
设偶数为M,素数删除因子为2,3,5,7,11,……,N。N≤√M的最大素数。
7 Q; W$ O: t7 z 二数和等于偶数的数对,为偶数除以2,按收尾法;因自然数1不是素数,1与对称数相加不可能组成素数对,所以,人们用(M-2)/2表示能够组成偶数的数对数。但在以下的说明中,我们又不得不考虑自然数1,是因为自然数1它具有一个特定的特性,它不能够被所有素数删除因子整除。& q% i" C7 u/ s' o3 L- q3 p6 b
1、素数删除因子2对于组成偶数的数对的删除。因为,小于或等于2只有两个数:1和2,自然数按素数删除因子2分类,可以表示为:1+2X和2+2X两个等差数列,因所有偶数都能够被素数2整除,所以,素数2对于组成偶数的数对,正面与对称面的删除是完全对称的,换一句话说,因为偶数能够被素数2整除,组成偶数的数对是由奇数与奇数相加,偶数与偶数相加。素数2只能够删除偶数与偶数相加,必然剩余奇数与奇数相加,即删除数对的1/2,剩余1/2为[(M-2)/2]*1/2。2 \; l4 [9 `' A+ {8 A! Q6 I
2、素数删除因子3对于组成偶数的数对的删除。素数3在素数2删除后的剩余数对中进行删除,也就是组成偶数的奇数对中进行删除。因素数2*3=6,素数2在自然数6以内删除后,剩余3个不能够被素数2整除的数:1,3,5,即在自然数中素数2删除后的剩余数可以表示为:1+6X,3+6X,5+6X,素数3只能够删除3+6X。
% k" u# ]7 T1 \, V. U1 H 偶数除以素数3有以下3种结果:1 v4 d+ [7 }; I% b) w2 L
(1)、偶数能够被素数3整除,组成偶数的数对为:(1+6X1)+(5+6X2),(3+6X1)+(3+6X2),素数3删除(3+6X1)+(3+6X2),即前面素数2删除后剩余数对的1/3,剩余(1+6X1)+(5+6X2)即前面素数2删除后剩余数对的2/3,也就是素数2、3删除后剩余数对为:[(M-2)/2]*(1/2)*(2/3)。
z8 E0 c7 s5 M/ n4 ] 说明:两个不同数列相加,我们把它叫做双数列相加,同一个数列相加,我们把它叫做单数列。双数列相加的数对是单数列相加数对的两倍(下同)。
6 V) G% r5 `# A6 A6 F$ k: D (2)、偶数除以素数3余1时,组成偶数的数对为:(1+6X1)+(3+6X2),(5+6X1)+(5+6X2),素数3删除(1+6X1)+(3+6X2)即前面素数2删除后剩余数对的2/3,剩余(5+6X1)+(5+6X)即前面素数2删除后剩余数对的1/3,也就是素数2、3删除后剩余数对为:[(M-2)/2]*(1/2)*(1/3)。5 J8 B1 t1 b7 E! A' `5 M7 w
(3)、偶数除以素数3余2时,组成偶数的数对为:(5+6X1)+(3+6X2),(1+6X1)+(1+6X2),素数3删除(5+6X1)+(3+6X2),即前面素数2删除后剩余数对的2/3,剩余(1+6X1)+(1+6X2),即前面素数2删除后剩余数对的1/3,也就是素数2、3删除后剩余数对为:[(M-2)/2]*(1/2)*(1/3)。7 }5 O# p# [, {2 ^9 z5 S
3、素数删除因子5对于组成偶数的数对的删除,素数5在素数2、3删除后的剩余奇数对中进行删除。因素数2*3*5=30,素数2、3在自然数30以内删除后,剩余10个不能够被素数2、3整除的数:1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,即在自然数中素数2,3删除后的剩余数可以表示为:1+30X,5+30X,7+30X,11+30X,13+30X,17+30X,19+30X,23+30X,25+30X,29+30X,素数5只能够删除5+30X,25+30X。或者说由5+30X,25+30X所组成的奇数对。
2 v1 W* u: o4 Z7 p1 S, o; H' p: C, E 偶数除以素数5余数分别为:0,1,2,3,4,5。这5种结果,在前面的3种结果的基础上每一种都有5种结果,即3*5=15种结果。为了不更多地占用各位老师宝贵的时间,我们只在15种结果中选择2种进行说明,如果你有兴趣的话,可以无限地延续下去。+ {5 Q* C7 V& y! O4 Y6 v
(1)、当偶数除以3余0,除以5余0时。在前面除以3余0的剩余数对(1+6X1)+(5+6X2)中进行,可以组成:(1+30X1)+(29+30X2),(5+30X1)+(25+30X2),(7+30X1)+(23+30X2),(11+30X1)+(19+30X2),(13+30X1)+(17+30X2),素数5只删除(5+30X1)+(25+30X2)即奇数对的1/5,剩余其它的4/5,也就是数对的:[(M-2)/2]*(1/2)*(2/3)*(4/5)。
% q; g& r z2 W5 J2 U (2)、当偶数除以3余1,除以5余1时。在前面除以3余1的剩余数对(5+6X1)+(5+6X2)中进行,可以组成:(5+30X1)+(11+30X2),(17+30X1)+(29+30X2),(23+30X1)+(23+30X2),素数5删除数对的2/5,剩余前面剩余数对的3/5,也就是数对的:[(M-2)/2]*(1/2)*(1/3)*(3/5)。
& y$ E/ Y+ r( i0 p1 M 4、具体问题分析
% r+ I1 s3 J8 Q/ X/ ]6 P (1)、探索的价值
1 h" v4 L: u/ f. O3 z3 O 说到这里,我们并不回避任何事实。素数删除因子5删除后的偶数应该大于25,小于49。从剩余数列组合为:(17+30X1)+(29+30X2),(23+30X1)+(23+30X2),从这两个组合看,当X1=X2=0时,17+29=46,23+23=46。即只有偶数为46才有素数对,而在这个区域内也只有偶数为46,才满足偶数/3余1,偶数/5余1。只有这样一个偶数,这样探索有什么价值呢?其实不然,当偶数为46+30X时,应用这两个数列组合都不可能被素数3和5整除,它可以适用于这一个偶数数列的组合,只不过偶数超过49后,要受素数删除因子7的制约;偶数超过121后,要受素数删除因子7,11的制约;………。
' I( l2 @, L# _9 { J1 i ①、当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余1时,我们同样不能回避,当素数删除因子7进行删除时,涉及的偶数应该在49到121之间,而素数2*3*5*7=210,我们令偶数/7余1,那么,单从数列组合(17+30X1)+(29+30X2)看,从17+30X按素数删除因子7,扩展7项有:17,47,77,107,137,167,197,从29+30X按素数删除因子7,扩展7项有:29,59,89,119,149,179,209,两组数列相加只有:17+89,47+59,77+29,107+209,137+179,167+149,197+119,得数分别为106和316,而316是106+210X数列中的数,意思是说只有这个数列中的偶数才能够满足除以3余1,除以5余1,除以7余1。因偶数不能够被素数7整除,从延续的加数数列删除由77组成的数列组,从被加数数列删除由119组成的数列组,必然还剩余5个奇数相加,可以由公差210组成5个奇数数列组合。! R- S6 ^! Q- G/ a& }
②、偶数除以7余2,同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余2时,有17+209,47+179,77+149,107+119,137+89,167+59,197+29,它们的得数为226,这就证明在49到121之间,没有除以3余1,除以5余1,除以7余2的偶数。只有226+210X的偶数才能够满足这些条件。8 U- Y- a1 L) [! t: n) c6 r
当你看到这里时,不可避免会产生这样的疑问:上面的偶数316大于这里的226,为什么组合会比它少呢?上面316表面上看只有107+209,137+179,167+149,197+119这4个组合,实际上,还有17+89,47+59,77+29可以演变为6个:17+299和227+89,47+269和257+59,77+239,287+29,共计10个组合。0 p; k! W4 W7 }- r
③、偶数除以7余3。同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余3时,有17+119,49+89,77+59,107+29,137+209,167+179,197+149,它们的得数分别为:136和346。4 _2 |7 `) N- E& s* a; L
④、偶数除以7余4。同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余4时,有17+29,47+209,77+179,107+149,137+119,167+89,197+59。它们的得数分别为:46和256。" d( l' p6 y3 o# p2 r3 C0 t
⑤、偶数除以7余5,同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余5时,有17+149,47+119,77+89,107+59,137+29,167+209,197+179,它们的得数分别为:166和376,
$ ~- R* V) p: A4 Q ⑥、偶数除以7余6,同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余6时,有17+59,47+29,77+209,107+179,137+149,167+119,197+89,它们的得数分别为:76和286, Q3 t- d8 H2 @+ y c
⑦、偶数除以7余0,同样是这两个数列组合,当偶数除以3余1,除以5余1,偶数除以7余0时,有17+179,47+149,77+119,107+89,137+59,167+29,197+209,它们的得数分别为:196和406,, n( o, O, F* I% P
上面的偶数46,76,106,136,166,196,226都是偶数16+30X的延伸偶数,分别代表偶数除以素数7余数为:0,1,2,3,4,5,6。从组合与偶数排列上看,是一个偶数也不缺。从组成数对的删除看:只有偶数除以7余0时,删除数对的1/7,剩余数对的6/7;其它偶数由于不能够被素数7整除,必然删除数对的2/7,剩余数对的5/7。; K7 t6 d6 z& G
从它们的组合看,小偶数由于删除因子少,组合也就相对少些,大偶数由于删除因子多些,组合也就相对多些。偶数除以素数删除因子,按不同的余数分类,它们相互交叉排列,因为,偶数除以任何素数删除因子N,在N个连续偶数(公差不能够被素数N整除的N个连续项)中余数为0的只有1个,余数不为0的有N-1个,所以,随着偶数的不断增大,不能够被素数删除因子整除的偶数多于能够被素数删除因子整除的偶数。
. f- r; W, q! S: J2 `7 `: ~/ o7 r; ? 因为,偶数16大于奇素数3,5,7,11,13。它具有除以3余1,除以5余1,除以7余2,除以11余5,除以13余3的特性,它可以作为这些余数类型的偶数的首项和代表。" U: M% Y2 d& X) \3 k
………………: @9 `. y) @3 {8 x. P; }& Q
N、素数删除因子N对于组成偶数的数对的删除,如果偶数能够被素数删除因子N整除,那么,素数N只能够删除前面剩余数对的1/N,剩余前面剩余数对的(N-1)/N;如果偶数不能够被素数删除因子N整除,那么,素数N能够删除前面剩余数对的2/N,剩余前面剩余数对的(N-2)/N,由此得到偶数素数对的近似计算方法:& d1 M* z! N# p6 F
当我们对于组成偶数的数对,正面删除能够被所有素数删除因子整除的合数,对称面删除正面不能够组成素数对的数后,在正面剩余的数必然能够组成偶数的素数对。故有不能够被所有奇素数删除因子整除的偶数的素数对为:- m! M0 V9 s* Y6 _9 v( R- a5 s
[(M-2)/2]*(1/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*……*(N-2)/N$ \7 E( J3 ?. O9 k
=[(M-2)/4]*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*……*(N-2)/N。
7 K) r$ ?) ]# y# a0 } 一方面,对于大偶数来说,M-2与M相比区别并不大,我们可以将上式中的M-2换成M;另一方面,因为,奇合数的删除是由组成奇合数的素数删除因子所代替了的,奇合数并不参与对奇数对的删除,为了说明哥德巴赫猜想成立的道理,我们在上式中增加奇合数为删除因子,那么,上式的值在增加奇合数的删除后,其值就变小了。因为,我们增加的第一个奇合数删除是9,所以,当偶数大于9*9=81时,偶数的实际素数对大于下面式子中的计算数。
/ h: I2 l8 T# c7 k1 M! Q5 `$ r我们将上面的式子变为:
0 x. T3 D, Q1 g( e' U' m( u) ^(M/4)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(7/9)*(9/11)*(11/13)*(13/15)*……*(N-2)/N=M/4N,. g _0 |" `, g% g, }
因为,√M≥N,我们把M换成N*N,上式或者等于或者再变小为:一方面当偶数大于81时,素数对≥N/4。另一方面从N/4看,因为,N是偶数的最大素数删除因子,当偶数大于16时,最大的素数删除因子就大于4,偶数就应该有不包括素数删除因子所组成的素数对存在。0 w F3 l1 w0 y2 h' L! B' |
再因为,我们从上面的分析可以看出,不能够被素数删除因子整除的偶数属于最少素数对的偶数,那么,能够被素数删除因子整除的偶数就更有素数对的存在,所以,哥德巴赫猜想是成立的!
6 s \5 }; e4 T 因为,哥偶猜是成立的,大于6的偶数都有1+1的素数对存在。也就是说大于6的连续偶数都有1+1的素数对存在。那么,大于9的连续奇数,可以表示为3加大于6的连续偶数;大于11的连续奇数,又可以表示为5加大于6的连续偶数;大于13的连续奇数,还可以表示为7加大于6的连续偶数,即三个素数之和;……。即哥奇猜也是成立的!6 v, r0 d- T( u
说明:+ F5 j" n. Q. k* t4 U
1、因为,我们在这里得出不能够被所有素数删除因子整除的偶数的素数对为:N/4是在增加奇合数为删除因子的前提下得到的,所以,当偶数越大,这样计算出的素数对误差越大。只有按不增加奇合数删除因子的计算方法,所得出的结果才近似于偶数的实际素数对,但因为,组成偶数的数对个数除以所有素数删除因子都并非是整数,而且,不论是加数还是被加数按等差数列进行排列,都不一定第一个数是删除数,故,大偶数的实际素数对大于不增加奇合数删除因子的计算方法所计算出来的素数对个数;当然,偶数的实际素数对大于计算出来的素数对,还有一个方面的原因,就是这种计算方法不包括由素数删除因子所组成的素数对。. F2 a9 r% O% Z+ h1 N, n; j5 Q( O
2、当我们对于能够被素数删除因子整除的偶数的素数对计算时,在不能够被素数删除因子整除的偶数计算方法中,按不增加奇合数删除因子的计算方法所得出的结果为R的基础上,设偶数能够被素数删除因子N整除,即R*[(N-1)/N]/[(N-2)/N]即R*(N-1)/(N-2)进行计算,当偶数只能够被素数删除因子3、5整除时,偶数的实际素数对仍然大于计算数,当偶数能够被素数删除因子3、5、7整除时,偶数的实际素数对就小于这种计算方法。这是由于组成偶的数对的加数与被加数能够被多个素数删除因子整除,即合数的性质,造成了多重优惠所致。这也说明这种计算方法既是偶数实际素数对的上线,也是下限。9 Z5 l& k. N- S, L. c
四川省三台县工商局:王志成。 |
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