非典数学模型的建立与分析

luoye_

摘要本文以年月以前的有关数据为资料, 在传统的传染病模型的基础上, 对人群作了合
理的分类, 建立了控制前传播模型和控制后传播模型, 通过合理估计、曲线拟合和概率平均的方法
得到了各个参数。重点分析了控后模型, 用龙格一库塔法求解了方程, 并对北京、内蒙古、广东、香
港四个重点疫区的疫情作了具体的分析, 最后评价了模型的合理性、实用性, 提出了模型的
改进方向和思路。
关键词微分方程概率平均龙格一库塔方法曲线拟合
分类号中图分类号文献标识码
问题的提出略
数学模型的分析与建立
分析与假设
爆发初期, 政府和公众对其重视程度远远不够当被感染者大幅度增加时, 政府才开
始采取多种措施以控制的进一步蔓延。所以的传播可以分为三个阶段
乡澎威, 接近于自然传播时的传播模式。
过渡郭, 在公众开始意识到的严重性到政府采取得力措施前的一段时间内。
乡澎后, 在介人人为因素之后的传播模式。
我们统一将所有地区的传播规律用“ 控制前”和“ 控制后” 两个时期来分析。
总体假设
假设一个康复者不会二度感染, 他们已退出传染体系, 因此将其归为“ 退出
者” 。
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
工程数学学报第卷
不考虑这段时间内的自然出生率和死亡率由引起的死亡人数, 归为“ 退出者” 。
·
假设潜伏期为一常数天。川
根据国家卫生部资料可知处于潜伏期的病人不具有传染性。
控制前包括控制力度不大的阶段的传播模型的相关假设
直接接触。
在疾病传播期内所考察的地区的总人数视为常数。
设每个病人单位时间有效接触的人数可视为常数。
流人和流出的人群中的带菌者处于潜伏期。
将人群分为四类
健康者易受感染者用表示健康者在人群中的比例。
处于潜伏期者用表示他们在人群众的比率。
病人已受感染者用表示病人在人群中的比例。
退出者包括“ 被治愈者”和“ 死亡者” 用表示退出者在人群中的比例。
控制后的传播模型的相关假设
由于对人口流动加以了限制, 假设此阶段无病源的输人和输出
设每个病人单位时间有效接触的人数又可视为常数。
在控制后阶段, 因与非典传染源或疑似非典传染源接触而被隔离的人群视作健康者。
这部分人在隔离期限过去后又重新进行正常的社会活动, 相当于又进人了传染链中, 故可将
他们作为健康者处理。
考虑到采集到的数据, 将人群分为五类
健康者易受感染者用表示健康者在人群中的比例
病人已受感染者用表示病人在人群中的比例
退出者包括“ 被治愈者” 和“ 死亡者” 用表示退出者在人群中的比例
自由带菌者不可控的病毒携带者。用来表示这部分人在人群中的比例
疑似者所有被疑似为非典病的非健康者。包括已出现有关症状但来确诊的被隔离者,
未出现症状但已疑似带菌的被隔离者用表示疑似者在人群中所占比例
模型的建立
控前模型的建立
① 参数设定
久—每个病人平均每天有效接触足以使被解除者感染的人数。
—退出率, 为患者的日死亡率和日治愈率之和。
—流人流出人口占本地总人口的比率。
—处于潜伏期的病人的日发病率。
—流人人口中带菌者所占的比例。
② 控前方程的建立
根据变量的分析, 结合实际的疫情的传播规律, 可以建立如下的方程组
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第期非典数学模型的建立与分析
、、、月产,
勺‘丹‘‘、、了、
方程组
一
, , , 初值
‘通一儿悦价人不, ﹄︸‘甲一
③ 参数的确定
久—根据医学资料和有关数据推导而得。
—由该城市的医疗水平和已知的统计数据分析, 求其统计平均值。
—由经济发达程度和交通状况决定。
。—根据医学研究和调查的有关结果和该城市的疫情发展状况可得。
—由流人该城市人群的地区分布情况和各其他地区的疫情决定。
控后模型的建立
① 补充参数设定
—疑似中每日被排除人数占疑似人数的比例
—疑似者中每日确诊的人数占疑似人数的比例
—每个自由带菌者转化为病人的日转化率
久—每个自由带菌者发病后被收治前平均每天感染的有效人数
—被自由带菌者有效感染的人中可以控制的比率。
月—接触病源的人的发病率
② 控后方程的建立
经分析得到如下的方程组
‘了少
、, 尹、, 瓦了哎了︵︸ ‘ 了‘ 吸、口、
芸一为一久
豁一视一、’
赞一、
箫一一‘
久一一。
一一
一
, , , ,
初值
此模型的优点明确了疑似者所指的范围可从现有数据中分析出所需的参数
和变量初值将几定义为“ 有效接触人数” 既有利于数据的分析也可减少未知参数的数
量。
③ 参数的确定
以北京为例来说明参数分析方法。
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
工程数学学报第卷
—疑似者的日排除比例
计算公式
每天新增的疑似排除人数
当天疑似病例累计人数
首先根据卫生部“ 每日疫情公布” 所公布的数据求出相应的, 用画图, 如下图
所示
图北京地区疑似者的日排除比率, 分布图用拟合
初步用曲线拟合处理一下原始数据, 如图所示光滑的线为。拟合曲线。
可以看出有两个峰值, 第一个峰值是由于政府措施很得力, 加之强化控制初期市民
的恐慌心理, 导致疑似病例中非感染者所占比例升高第二个峰值则是由于大部分带病的疑
似者转化为确诊后, 实际未带菌的疑似者相对比例增大造成的。
三阶拟合一定程度上反映了的变化规律, 但经分析发现如果用原始图来分析误差
就会特别大, 不妨去除几个偏离太大的点, 得到图, 其中。平直的线为拟合直线。
图经处理后的, 的图像以及拟合曲线图, 的威布尔分布图
现用威布尔分布〕观察一下处理后的的值的分布情况, 如图所示。可见主要分
布在一之间, 其中概率最大的取值为, 故取为的概率平均值。
—疑似转化为病例的日转化比
二二八每天新增的疑似转化为确诊的人数
卜弓入声、一— —一一又牙下共压万屯不石百下下布一诬工尸一一一曰夕屯芳贬林系开八狱—
由已知数据求得的每天的变化趋势如图所示。去除一些偏离太大的点得到图。
从原始数据看到总的趋势是下降的。先用曲线拟合处理得到如图所示的图形光
滑的线是的五阶拟合线。
因初期自由带菌者较多, 会有一较大的峰值, 疫情得到重视后总趋势是下降的。
最后用威布尔分布来观察一下值的分布情况, 如图所示。可以看出的值主要分
布在一之间, 但不同于分布的那么均匀, 所以我们不能简单的用一个有效
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第期非典数学模型的建立与分析
图北京地区疑似转化为病例国图经处理后的火的图像
图的五阶拟合曲线图火的威布尔分布图
值来取代的值。经过仔细分析, 把的值等效为两个阶段值和, 如图
所示的两个有效值分布在中直线的两侧。
从对与的分析来看, 可以将强化控制后的这段时间分为两个阶段过渡期和平稳
期这两个阶段的产生与非典自身的特性有关同时由于强化控制初期, 非典控制力度不够,
造成很多自由带菌者与健康者自由接触加之各项措施从颁布到实行有一段缓冲期等等诸
多因素造成了过渡期的形成, 其中过渡期特征为较大, 以退出率较小。
。的计算公式
每天新增的治愈和死亡的人数
当天病人累计人数
从的原始数据可看出, 的值也存在阶
段性。日以前, 的值大概在左右摆
动, 不存在较大的波动而日以后, 的值
基本都在以上。的定义中包括了治愈率与
死亡率两部分, 在过渡期, 由于发病人数较多,
治愈率相对较低当进人平稳期后, 发病人数减
少, 治愈率必然增高。故这与我们上面对于过渡
期和平稳期的假设是吻合的。
。— 从数据可推算出其值在图等效为两个有效值
一之间, 经过分析取。。
—与城市的人口密度、生活习惯等因素有关, 由于在强化控制阶段对人员流动控
制得相当严格, 还采取了诸如封校、小区隔离、公共场合的关闭、减少聚集活动等有效措施,
故我们可估计一
模型的求解
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
工程数学学报第卷
从建立的模型是无法得到, , , , 的解析解的。为了解决这个问题, 我们求助于
中的龙格一库塔方法来求出方程的数值解。
先通过采集到的实际数据算出每一天的, , , , 做出它们与时间的函数图象, 然
后画出通过模型解出的数值解的图象。对比两组图, 可以发现实际和理论存在着一定的差
异。这必然是因为参数估计不合理造成的。必须通过不断调整那些非计算得到的参数久,
, 来使实际图象和理论图象趋于一致。
如经过多次调试, 发现求解北京模型时, 取久人, 。, 口时, 实际
图象和理论图象有最好的符合。而这三个值均在估计的范围内, 即认为这三个值合理。
各地疫情分析
北京地区
首先看一下实际的北京地区病人比率图如图所示可见, 北京的发病人数在月
日到月日这段时间内有最大的增长率由于政府措施得力, 公众防非意识增强, 疫情
从月日号后趋于缓和。在参数分析中, 北京各参数取值如下, 二,
, 夕, 泳, , 。每个自由病
人平均每天感染人, 这说明北京地区政府采取的隔离措施较为得力及时就阻断了大部
分病源与健康人群的接触, 有效的阻止了疫情的进一步扩大二这说明控制后北京的
治疗水平有较大提高。
内蒙古地区
图为根据原始数据画出的内蒙古累计病人比率的统计图由于内蒙古疫情始期较
晚, 其时全国对非典已较为重视, 因而疫情的控制比北京难度要小。数据取定如下二
, 夕, 少, 夕口, , 久,
, 。久取的是, 比北京的稍高, 这是由于内蒙人口比较分散、自由带菌者不
易控制, 说明内蒙古卫生部门控后的医疗水平有较大提高。
图北京地区原始一图图内蒙古地区原始一图
广东地区
广东地区的病人累计比率统计图如图所示参数取定,
, 夕, 夕· · , 口, 久, , , 。
。、, 可见广东的卫生部门采取的措施开始不是很得力, 疫情初期没有得到政府的
充分重视, 从而导致了疫情的持续, 快速增长, 一直到国家下达严防命令后才采取有效的措
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
第期非典数学模型的建立与分析
施, 故广东的疫情缓解也是从月号左右才开始的。
香港
图是根据香港原始数据画出的病人累计统计图。可以看出香港采取的措施比较早,
效果较好。但是由于人口流动很快, 导致不可控的病毒传播者比较多, 因此, 疫情一直呈现出
上升趋势, 在近期内病人比率还不会有较大幅度的下降, 因此香港的非典工作需加大力度。
图广东地区原始一图图香港地区原始一图
各地疫情预测
总体的分析与假设
根据现有的控制程度进行预测。如果随着疫情的缓解人们的警惕心理下降, 政府的
措施不再得力, 将会导致疫情的传播死灰复燃, 引起病人的比率又出现小的升高。
根据现在的医疗水平进行预测。随着医学研究的深人和治疗方案的完善, 治愈
率可能会有较大的提高, 同时, 预防措施也会更加有效据有关资料, 在不久的将来可能会研
制出非典预防针, 因此实际疫情很可能会比我们预测的提前结束。
北京地区的疫情预测
利用控后模型对北京地区的发病人数进行预测, 得到图病人比率图, 其中的
离散的点是实际住院病人数占的比率。可见
病人数目在月日到月号左右增长最快, 即疫情达到“ 高峰期” 。月号以后
虽然病人很多, 但增长趋势已趋于平缓。此时疫情进人“ 高平台期” , 虽然表面看来病人数目
高居不下, 实际上疫情已经得到了控制。
疫情大约在月号之后趋向缓解。从月末到月末病人下降速率最快。说明在这
段时间内将有大量的病人出院, 这段时期可称为“ 缓解期” 。
发病者的比率将在月以后逐渐趋向于, 即进入疫情的“ 最终控制期” 。需要指出
的是, 预测是依据现在的医疗水平进行的, 实际的最终控制期可能会有所提前。
内蒙古地区的疫情预测
利用已知数据求解控后模型, 得到内蒙古的疫情预测图图巧, 注意图中轴值的数量
级为火“ 。其中离散的点是实际住院病人比率。可以看出
月号到月号左右是疫情的“ **期”
发病人的比率在即月一号左右出现最大值, 达到“ 高平台区” 。
疫情大约在月号逐渐趋向缓解。从月末到月末是疫情的“ 缓解期”
发病者的比率将在月以后逐渐趋向于, 即进入疫情的“ 最终控制期” 。易见内蒙
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
工程数学学报第卷
图北京地区疫情预测图图内蒙古地区疫情预浏图
古进人“ 最终控制期” 的时间比北京要早, 这是因为内蒙古的初始病人数目比北京少, 人口
分散。
广东地区的疫情预测
求解方程得到广东的疫情预测图图, 其中离散的点是实际住院病人比率, 可以看
出
广东省病人数目的初值较大, 且在月初
以前一直以一个较快的速率上升
病情在月号左右达到“ 高平台期”
月中旬到明年月为疫情的“ 缓解期” 。随
后病人比率趋近于, 疫情进人“ 完全控制期” 。
比较三地疫情预测, 广东地区疫情的“ 最终控
制期” 偏晚。这是因为从数据来看, 这段时期广东
地区的病人治愈人数一直比较少, 按现在的治愈
率来预测疫情维持时间必然比实际的长。还需要‘ 香港地区痰情预侧图
指出的是, 采集到的数据是从月号才开始的, 而广东的疫情是从年月开始的,
因此数据的不完备可能会给预测带来较大的误差。
模型优缺点分析与改进方向略
本论文的模型因查到的统计数据不完善、对非典的传播规律了解不够, 预测结果有较大
偏差。相信随着人们对的进一步认识, 随着社会各界的深人研究, 从数学角度看, 模型
将更加完善, 预测结果将更准确, 从医学角度看, 尺将有更好的治疗方案和防控措施, 疫
期将进一步缩短。
参考文献
川中华人民共和国卫生部网站, 琴
【王树未著常微分方程模型与混沌〕中国科学技术大学出版社, 年月第版
【〕朱道元编著数学建模精品案例【〕东南大学出版社, 年月第版
〔〕茹诗松编著贝叶斯统计【〕, 中国统计出版社, 年月第版
吕本富北京防御措施的效果分析〕也丝卫匕丝得
下转页
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
工程数学学报第卷
当大家害怕得藏在家里, 见到亲人朋友连握手都担心的时候, 是因为我们对传染病的传
播途径不了解, 所以恐慌。
当政府说明已采取了许多措施, 而大家看到医院每日收治病人仍然不断攀升的时候, 是
因为我们不了解传染病的发展规律, 所以恐慌。
这一切的恐慌, 都是因为我们不了解疫情而带来的。而要全面了解、控制疫情, 除了相
关的医学知识外, 重要的问题之一是建立恰当的数学模型。
如果在疫情一开始, 我们对传染病的常用数学模型有一定的认识, 了解如何确定一种传
染病的危害程度, 何时进行控制, 如何用科学的观点, 详细的数据向民众解释, 我们就不会因
为盲目而恐慌。
如果我们了解基本传染病传播规律以及相应模型的决定因素, 那么我们在生活中也可
以通过控制这些因素以有效控制疾病, 而不必恐慌。
如果我们知道传染病的发病曲线, 我们也不会为新闻发布新的各种疫情数字而恐慌。
今天, 在网上搜索一下“ 数学模型” , 我们可以找到近千篇文章, 十几种基本的传
染病数学模型及其改进的模型, 也许这些模型不一定很符合这次传播的实际情况, 也
许我们对这些模型中的各种深奥的公式与定理不太了解。但是, 模型得到的一些结论如高
峰期的到达时间, 控制因素的效果等, 至少可以让我们心安, 不必盲目恐慌。而更精确的模
型, 以利于我们更好地制定相应的应急措施, 有效的医疗保障系统等。
曾让我们惊慌失措, 也让我们相信科学, 认识与了解科学。拥有医学与数学等科
学知识, 我们应该有信心, 流行病并不可怕。
上接页
一, ,
一
,
,
,
, 邓
滋一一, 眼一, 邓
, 即, ,
,
一

zerodingying

大神辛苦了。。。。

乐观派报告

这是~~~~~好像看懂你要发什么

后青春期的诗

什么啊···看不懂

passing_by

看不懂啊~求解释啊

大智若愚

厄？这是什么呀？？？？

雍太强

厉害。。。。。。。。。。。。。。

雍太强

神人、、、、、、、、、、、、、、、、、、