序理想

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序理论中理想的最一般的定义如下：

7 Y; o3 e) E- b2 R7 J偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:
; C6 f0 u0 V% h3 |
I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
1 }. ~) Y+ }' V2 O* X  cI是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
; Q+ f4 N0 ?, M+ A+ ?: x# c
I是下闭的。
! r/ c9 C) U: O( g: sI对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

# P7 i( \: q4 J2 @  O6 P* I理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
( ]& }' u' z* I真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
9 C" c, C! W! y9 j4 y2 I2 i

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滤子的最一般定义是：

6 C7 |- F% |3 c% e偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:

∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
  |4 h7 n" R( o: ?) V: H6 r滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。


& ]+ m# L" p* f: y3 [滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。

孤寂冷逍遥