序理想

lilianjie1

序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:

I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：
, E0 \: I- j4 Y. L! q9 c5 r/ k7 c
I是下闭的。
  M% {0 P9 a9 mI对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
& j: A* H. O) X5 ~) L- _真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

lilianjie1

滤子的最一般定义是：
7 {) @" ~3 G- c: b4 n  v  i2 a& \6 G
5 _9 i& S1 M, m/ f$ T( q+ R. x, i偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
# x, G! O$ I, \3 A
, t" _' q1 g- v* C* A0 Q∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
  I  a# k  s# t  b# jF 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
( Q* O3 M8 I7 g' D8 M! ?8 G滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
3 Q) M) N2 _  Q; h

滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
2 Z6 f, y; v2 A" B% ~真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。
! Y$ o6 t% ]& Y# v: ?3 X2 K! V

孤寂冷逍遥