资金证券投资（业余专科啊，坑）

Leewq

某投资人计划利用自己的闲散流动资金进行证券投资，当前时期可以购买的证券和相应的信誉级别、到期的年限、收益的大小分别如表1所示。按照相关的规定，丙型证券的收益可以免税，其他类型证券的收益需按60%的税率进行纳税。此外还需要满足必要限制条件：（1）甲型和乙型的证券总共至少要购进500万元；（2）投资人所购证券的平均信誉级别不超过1.3；（3）所购证券的平均到期年限不超过6年。

表1

投资证券名称	投资证券种类	信誉级别	到期年限	到期税前收益（%）
A	丙	1	8	3.9
B	乙	3	13	6.1
C	甲	1	5	5.2
D	甲	1	2	3.4
E	丙	4	2	4.3

根据已知信息回答下列问题：

（1）若该投资人有1100万元资金，应如何进行投资？

（2）在1100万元资金情况下，若能够以2.55%的利率筹集到不超过200万元资金，该投资人应如何进行投资？

（3）在1100万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.3%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.9%，投资应否改变？

证券投资收益问题

摘要

本文是个人投资决策的数学建模问题，属于投资组合问题，建立了单目标规划模型.在各个投资组合下，选择最优的投资方案，使得证券到期日的收益达到最大.为解决此问题，本文建立了如下模型，并得到证券投资的最优组合.

对于问题一：根据题目给定数据，建立模型一单目标规划，运用                              软件得到最大收益为 元，对于证券 、 、 、 、 五种证券的具体投资分配情况为 .在考虑风险的情况下，建立了模型二，依据信誉等级将投资者分为“风险容忍”和“风险厌恶”.对于“风险厌恶”，只考虑购买 、 、 三种证券， 结合模型一，得到相应的最大收益为 元，投资资金分配情况为 .对于“风险容忍”型，同模型一，最大收益和相关投资组合见模型一的求解.

对于问题二：投资者在原资产不变的情况下，以利率为 时进行筹资，此时总资产得到增加，相应的证券投资组合也会发生相应的变化，结合模型一，得到此时的最大收益为 元，筹资金额为 万元，投资资金分配情况为   .

对于问题三：投资者的原资产不变动， 、证券 的税前收益增加，运用模型一进行求解，投资资金分配情况以及最大效益与模型一相同，得到投资分配未发生变化. 、证券 税前收益减少，同理，投资资金分配情况与模型一相同，得到投资分配未发生变化，但最大收益降低了 个百分点.

关键词：证券投资  单目标优化模型      

一、 问题重述

某投资人计划利用自己的闲散流动资金进行证券投资，当前时期可以购买的证券和相应的信誉级别、到期的年限、收益的大小分别如表1所示。按照相关的规定，丙型证券的收益可以免税，其他类型证券的收益需按60%的税率进行纳税。此外还需要满足必要限制条件：（1）甲型和乙型的证券总共至少要购进500万元；（2）投资人所购证券的平均信誉级别不超过1.3；（3）所购证券的平均到期年限不超过6年。

表1

投资证券名称	投资证券种类	信誉级别	到期年限	到期税前收益（%）
A	丙	1	8	3.9
B	乙	3	13	6.1
C	甲	1	5	5.2
D	甲	1	2	3.4
E	丙	4	2	4.3

根据已知信息回答下列问题：

（1）若该投资人有1100万元资金，应如何进行投资？

（2）在1100万元资金情况下，若能够以2.55%的利率筹集到不超过200万元资金，该投资人应如何进行投资？

（3）在1100万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.3%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.9%，投资应否改变？

二、模型假设

1.投资的交易费用忽略不计；

2.所购证券的信誉级别和到期年限不随时间而改变；

3.公司营业状况持续不变.

4.投资者的闲散流动资金不变.

三、符号说明

：证券 的投资金额.

：证券 的投资金额.

：证券 的投资金额.

：证券 的投资金额.

：证券 的投资金额.

：利率为 的筹集资金.

：投资最大收益.

四、问题分析

本文是个人投资收益组合最优问题，属于目标规划模型.本文研究在市场需求下，投资不同信誉级别的 种证券，并考虑预期收益和投资风险的影响，制定决策投资方案，结合给定的限制条件，得到最大收益.

针对问题一：要使投资人现有 万元资金进行证券投资后的最大收益，即求最佳的投资方案.本文建立了两种模型进行分析：模型一根据题目数据，建立了单目标规划模型，运用 软件求解，得到投资收益达到最大的解.模型二考虑投资风险，将投资者按照投资心理分为“风险容忍”型和“风险厌恶”型.计算平均信誉级别的取值范围，对于“风险厌恶”型的投资者，选择平均信誉级别最小值，在模型一的基础上，建立模型二，运用 软件得到相应的最优解.结合中央银行 年的年基准率和利率的相关数据，求得 年之后几年的变动趋势，分析投资风险，进而得到投资者可以继续进行高收益的投资.

问题二已知该投资人现有 万元资金，在利率为 时，能筹集到不超过200万元的资金，投资总资产增加，在模型一的基础上建立相关模型，得到最优解.同时给出“风险厌恶”型投资者的投资方式.

对于问题三，投资者投资 万元，本文通过增加证券 的税前收益率和减少证券 税前收益率，在模型一的基础上求得最优解，通过对比分析，得到投资组合未发生改变.

五、模型建立与求解

5.1.问题一：

5.1.1模型一的建立与求解：

1.模型一的建立：

    该模型是为了解决投资人的投资决策问题，采用最优化的决策以获得最大收益. 本文要求对1100万元资金进行理财管理，由于该投资人计划进行证券投资，要求收益达到最大，因此，本文建立了以投资收益最大为目标函数，以投资限制为约束条件的单目标优化模型.

1.1：确定目标函数：

根据丙型证券免税，其他类型的收益按 的税率纳税等相关规定，以及当前时期可购证券的到期税前收益，本文建立了目标函数：

1.2：确定约束条件：

要解决本题中的问题必遵循以下约束条件：

约束条件一：甲型和乙型的证券总共至少要购进 万元.即需要满足的条件是：

约束条件二：投资人现有 万元的投资资金：

约束条件三：投资人所购证券的平均信誉级别不超过 ：

约束条件四：所购债券的平均到期年限不超过 年：

1.3：综上所述，得到了问题一的优化模型：

将上式简化，简化结果为：

        

1.4：模型一的求解：

运用 [1]求解可得  均为 （程序见附录一）.

若投资人有 万元资金，为获得最大收益，投资者投资 类证券 元，投资 类证券 元,投资 类证券 元,最大收益为 元.

1.5：模型相关的灵敏度分析（程序见附录一）：

1.  投资金额系数变化，如表二：

表二

证券投资金额	系数允许变化范围

目标函数中 原来的投资系数为 ，允许减小到无穷小，允许增加到0.0457，说明它在 范围变化时，最优解保持不变. 同理，对于 对应投资系数相应的变化范围很小，最优解基本不变. 在 范围内，最优基不变. 灵敏度较小，解得稳定性较好.

2．约束项右端变化，见表三

表三

原值	范围

    约束条件的原值为 ，它在 范围内，最优基保持不变.其余原值同理.

5.1．2模型二的建立与求解：

不同的人由于家庭财力、学识、投资时机、个人投资取向等因素的不同，其投资风险承受能力不同；同一个人也可能在不同的时期、不同的年龄阶段及其他因素的变化而表现出对投资风险承受能力的不同.此风险承受能力是个人理财规划当中一个重要的依据。因此定义[2]：

（1）风险容忍：在投资中承担高风险，获得高收益的意愿.

（2）风险厌恶：在投资中不愿意接受风险的意愿.

信用级别数字越小，信誉程度越高的证券说明投资风险越小，不同投资风险的债券间存在着收益率的差异.根据已知条件可知本文平均信誉级别的范围为 ，证明如下：

当投资者为“风险容忍”型，会选择高收益高风险“激进型”的投资方式，结果同模型一；

当投资者为“风险厌恶”型，会选择低风险相对收益较高“平稳型”的投资方式，就本文而言，平均信誉级别为1时，即 时风险最低，因此，投资者只考虑购买 三种证券，根据已知条件建立模型：

目标函数：

约束条件：

简化结果为：

运用 求解可得 （程序见附录二）.

若投资人有 万元资金，以“平稳型”投资方式进行投资，为获得最大收益，投资者投资 类证券 元，投资 类证券 元,最大收益为 元.

由于经济市场是波动的，国家通过对市场机制进行干预，即国家的经济政策，来解决相应的经济问题.也就是说，当市场经济萧条时，国家会采取扩张性货币政策；当市场处于通货膨胀状态，国家转而采取紧缩性货币政策，进而对投资风险产生相应的影响.

运用流程图具体解释国家经济调控对个人投资影响[3]，如图一国家经济调控对个人投资的影响.

图一国家经济调控对个人投资的影响

参照中国人民银行 年发布的准备金利率[4]和年基准利率[4]，如图二年基准利率，图三准备金利率.可以分析出最近几年国家对于市场的宏观调控趋势，并得出市场的风险趋势.

图二年基准利率

通过 表格对银行的年基准利率进行多项式拟合，拟合得到相关函数关系为：

得到该曲线的趋势，进而对今后几年的基准率进行估计，可以看出年基准利率在今后几年的波动不大，波动范围在 区间内，为了简化市场动态分析.因此，可以把基准率近似看作为 为不变值，也就是说，对于每一笔贷款，银行留出的准备金不变，其余的用于贷款等相关银行业务.

图三准备金利率

为了更好地对市场上投资风险进一步分析，结合流程图国家经济调控对个人投资影响.拟合出利率的相关函数关系为：

从图中可以看出在2015之后几年，准备金率有小幅度的下降，范围在 区间内.结合曲线趋势，可以近似把今后几年的利率看作不变.

通过上图二和图三的拟合优度年基准利率 、准备金利率 可知：上述拟合优度好.由年基准利率和准备金利率的趋势，可以判定市场投资长期是会出现波动的，短期侧趋于平稳.因此，建议继续进行高收益的投资.

5.2.问题二：在原资金的基础上，以利率为 筹集资金不超过200万，结合模型一，对该情况下，资金进行理财管理.

目标函数：

在模型一的约束条件下，将约束条件 式转化为 式：

同理，模型解得： （程序见附录三（1））.

投资者选择“平稳型”的方式时，目标函数为

在模型一的约束条件下，将约束条件 式转化为 式：

同理，模型解得： （程序见附录三（2））.

   在 万元资金资金的情况下，并以 的利率筹集到不超过200万元的资金，为获得最大收益，投资者投资 类证券 元，投资 类证券 元，此时需以利率为 的筹集资金为200万，最大收益为 元.若投资者选择“平稳型”的方式时，为获得最大收益， 元全部用于 类证券的投资，此时的筹集基金为 万，最大收益为 元.

5.3.问题三：在拥有 万元的资金情况下，通过改变税前收益率，来判断对投资的影响.题目给定了两种情况：（一）、证券 的税前收益率增加为 ，投资的相应变化.（二）、证券 的税前收益率减少为 ，投资的相应变化.

在模型一的基础上，进行投资管理.

对于第（一）种情况:

目标函数：

结合模型一的约束条件，求解可得：

（程序见附录四）.

在 万元资金情况下，证券 的税前收益增加为 ，为获得最大收益，投资者投资 类证券 元，投资 类证券 元，投资 类证券 元，最大收益为 元.

由问题一可知仅购买 三种股票，现改变证券 的税前收益，并不影响 三种证券，用 求解所得结果与问题一的结果相同，加以佐证.

对于第（二）种情况：

目标函数：

同理，解得投资组合情况为： （程序见附录五）.

在 万元资金情况下，证券 的税前收益增加为 ，为获得最大收益，投资者投资 类证券 元，投资 类证券 元，投资 类证券 元，最大收益为 元.

根据 软件求解的结果可知，投资方案并没改变，最大收益降低了 元，较原方案仅降低了 个百分点.

六、模型的评价与分析

1.模型的优点：

（1） 求解适应性好，易于改进，稳定性高，结果较好.

（2）单目标优化模型原理简单，通俗易懂，求解简单易行.

2.模型的缺点：

（1）模型二对于“风险厌恶”投资者，平均信誉级别取值为1，过于绝对.会造成一定误差.

（2）存续期间没有考虑二次投资.

（3）模型假设比较理想化，与实际情况存在一定差距.

七、模型改进

利用上述建立的模型可以帮助投资人做出很好的投资分析，但最终不能避免投资中存在的巨大风险.对于“风险厌恶”型来说,建议从投资资金中拿出一小部分买保险，以应对出现风险的情况.

本文对于后期投资，参照上文中对于年基准利率和准备金利率的分析.对于后期的投资环境还是会持续的，但是投资毕竟是有风险的。因此，后期投资必须考虑是否继续投资：

表示贴现率、 表示利率、 表示现值，各值关系公式为：

年份年利率、贴现率和现值数据，见表四

表四

年份	贴现率	现值	年利率
2006/4/28	0.05647	1	0.05985
2007/7/29	0.064809	0.94353	0.0693
2008/11/2	0.059585	0.882381	0.06336
2009/10/1	0.059585	0.829804	0.06336
2010/11/22	0.053792	0.780361	0.05685
2011/4/18	0.059355	0.738384	0.0631
2012/6/22	0.057981	0.694557	0.06155
2013/5/5	0.057981	0.654286	0.06155
2014/11/22	0.05303	0.616349	0.056
2015/5/3	0.048525	0.583664	0.051
2016/6/6		0.555342

依据上表现值数据运用 表格拟合现值的趋势曲线，拟合的相关函数为：

图四.现值

通过趋势线可以得出人民币本身是在不停贬值的.因此，投资既有保值升值的希望，停止投资等于等待贬值.因此，建议继续投资.

证券一般分为有价证券和凭证证券两大类，凭证证券则为无价证券，包括活期存款单、仓单、借据、收据等;有价证券，指标有票面金额，证明持有人有权按期取得一定收入并可自由转让和买卖的所有权或债权凭证.此模型是建立在有价凭证上，未考虑对无价证券的投资.相应的投资——收益组合单一简洁，但在实际生活中，投资组合很复杂，包含对基金、保险、债券、不动产等方面的投资.投资者的投资策略业绩好坏都是税后收益率来很衡量，那么，就形成了与自己相适应的投资策略.通过计算出单个证券的收益率、标准差和不同证券间的收益率的相关系数等，作出最优的组合分配决策.

其次，由于有价证券，在二级市场上可以进行转让和买卖，结合市场经济资金的流动，也就是在通货膨胀率作用下，对各个证券的收益率的影响,投资者会不断改变自己的投资策略，来获得动态的最大收益.

八、参考文献

[1]谢金星，优化模型软件，北京：清华大学出版社，2005.

[2]兹维 博曲，亚力克斯 凯恩，艾伦   马科斯，投资学精要（第四版），北京：中国人民大学出版社，2008.

[3]高鸿业，西方经济学（第五版），北京：中国人民大学出版社，2013.

[4] http://data.eastmoney.com/cjsj/interestrate.aspx?p=1，2015.8.21.

Leewq

本文考虑收益率为总收益率，不是年收益率，注意了！