【美赛必备】MATLAB 入门教程八：多项式

吃苹果的梨

再一次强调一下，MATLAB是一个简单的要死的程序。就像是手里笔和草纸，它可以帮助你完成一些复杂的计算，可以帮你作图，分析，但请记住，说到底，这个东西就是一个工具，它不能代替你思考，学它的目的是为了更好的研究我们学习的领域，因此不要为学软件而学软件，既然是工具，就必须学以至用。今天介绍一下应用于多项式领域的一些代码。

令p(x) 代表一个多项式如下，下面不在重复说明。

MATLAB 以一最简便方式代表上述的多项式 p=[1 4 -7 -10]，其中的数值是多项式的各阶项（从高到低）的 各个系数，其实p 也是一个阵列不过是用以代表这个多项式。

1. 多项式的四则运算
假设有二个多项式a(x)和b(x)定义如下：

（1）多项式的加减运算
如果多项式c(x)为上述二多项式相加，即c(x)=a(x)+b(x)，因此

如果是二多项式相减得到的多项式为 d(x)=a(x)-b(x)

• a=[1 2 3 4];
• b=[1 4 9 16];
• c=a+b
• d=a-b
  

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（2）多项式乘法运算
函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。
而将两个多项式相乘可以得到一新的多项式e(x)=a(x)b(x)：

• a=[1 2 3 4];
• b=[1 4 9 16];
• e=conv(a,b)
• %试试，下面这个嘿嘿！！看看发生变化。试想一下运行后的结果，如果不一样请看入门篇里的矩阵篇。
• g=e+[0 0 0 c]
  

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练习：求多项式乘以多项式的结果。

（3）多项式除法
函数[Q,r]=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。如果是两个多项式相除，即：

• e=[1 6 20 50 75 84 64];
• b=[1 4 9 16];
• [f,r]=deconv (e,b)
• r =
• 0 0 0 0 0 0 0    % 因为是整除所以余数多项式的各系数皆为零
• [h,r]=deconv(g,a) % 要运行上面有g的命令哦~~
• r =
• 0 0 0 0 2 6 12 % 余数多项式为 2*x^2 + 6*x + 12
  

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练习：求多项式除以多项式的结果。

附加说明一下，上述二个运算式不能直接运算，须要另外定义函数conv做乘法运算以及函数deconv做除法运算。当二多项式相乘，在数学上等于二个阵列做旋积(convolution)运算（因为我们是以阵列来代表一个多项式的各阶系数），因此可利用conv函数做乘法运算，其语法为conv(a,b)，其中a, b代表二个多项式的阵列。而二多项式相除就相 当于反旋积(de-convolution) 运算，因此有 deconv 函数，其语法稍有不同 [q,r]=deconv(a,b)，其中q,r分别代表整除多项式及余数多项式。

2. 多项式的导函数
对多项式求导数的函数是：
p=polyder(P)：求多项式P的导函数
p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数
[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。

上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。求有理分式的导数。

• P=[1];
• Q=[1,0,5];
• [p,q]=polyder(P,Q)
  

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这是书籍里的例子，我简单介绍一下，对于这代码确实不太清楚，如果有知道的请务必告诉俺一声！～～拜谢了。

3. 多项式求根
一个多项式视其阶数而定，它的根可以有一个到数个，可能为实数也可能是复数。要求一高阶多项式的根往往须借助数值方法，所幸MATLAB已将这些数值方法写成一函数roots(p)，我们只要输入多项式的各阶系数（以p代表）即可求解到对应的根。 其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。

例如多项式的根。

• p=[1 3 2];
• r=roots(p)
  

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再举一个例子多项式的根

• p=[1 -12 0 25 116]; % 注意二阶项系数为零须要输入，否则多项式的阶数就不对
• r=roots(p) % 有实数根及复数根
• r =
• 11.7473
• 2.7028
• -1.2251 + 1.4672i
• -1.2251 - 1.4672i
  

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练习: 多项式的根。

与 roots 相关的函数尚有 poly, real，这二个函数的用途是要验算求解的根展开能求得原多项式。例如有一个二次方程式的根为 2, 1，则以下式计算原多项式

poly函数就是在求出多项式的各阶系数，其语法为 poly(r)，其中 r 是代表根的阵列。而 real则是用来去除因计算时产生的假虚部系数，为何会有此种情形请参考以下的例子。

运行下列代码：

• r=[-2 -1];
• pp=poly(r) % pp=(x+2)(x+1)=x^2+3x+2
  

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运行下列代码比较得出结果啊，一定要想一想，说明了什么。

• p=[1 -4 6 -4];
• r=roots(p)
• pp=poly(r)    % 这个多项式的系数与原多项式 p 相同
  

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再看另一个多项式，代码如下

• pp=[1 7 12 9];
• r=roots(pp)
• pp=poly(r)  % 注意因计算的误差会有假虚部产生
• pp=real(pp) % 可以real将假虚部去除，将原多项式还原
  

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练习下列代码，已知 f(x)
(1) 计算f(x)=0 的全部根。
(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。
命令如下：

• P=[3,0,4,-5,-7.2,5];
• X=roots(P)            %求方程f(x)=0的根
• G=poly(X)            %求多项式g(x)
  

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对于结果不解释，自己好好好想想吧。别人再怎么教的好，都不如自己悟出来的实在！！

再附加一写命令，这些命令俺以前没有接触过，翻书时才发现自己以前没有用过的命令好多哦～～～如果写的有错误，大家尽量指出哦，别让我总错下去吗！！

4. 多项式的求值
MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。

（1）代数多项式求值
polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：
Y=polyval(P,x)
若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。

已知多项式，分别取x=1和一个2×3矩阵为自变量计算该多项式的值。

• p=[1 3 0 0 -10];
• x=1;
• X=[1 1; 2 2; 3 3];
• Y1=polyval(p,x)
• Y2=polyval(p,X)
• %比较Y1和Y2。
  

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（2）矩阵多项式求值
polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式，那么polyvalm(P,A)的含义是：
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A))
而polyval(P,A)的含义是：
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A))

仍以多项式，取一个2×2矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

• p=[1 3 0 0 -10];
• X=[1 1; 2 2];
• Y3=polyval(p,x)
• Y4=polyvalm(p,X)
• % 比较Y3和Y4。
  

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