最小曼哈顿网路算法

xiaobingforever

觉得是个有意思的问题，希望有兴趣的朋友一起探讨，当然这个世界级猜想早几个月才被复旦大学大三学生郭泽宇破解，很牛！也给我们大学本科阶段追求创新一些启示，这几天正在做中南大学的培训题《城市生活垃圾管理问题》，设计到垃圾收运路线的设计，而城市垃圾收运路线正是一个曼哈顿网络问题，当然是最小时间，还是最短路径，看个人理解，要解决这个问题看似方法很多，大多数是当做一个TSP图论问题来求解，或者建立规划模型，用的方法也大多是模拟退火、遗传算法、蚁群算法等等，比较有新意是分析曼哈顿的特殊结构，运用基于约束的网格聚类方法从类的角度考虑，就降低了数百个收集点的运算复杂度。当然更好的方法就是破解这个世界级难题，从而一劳永逸。到知网等网站搜了下，相关的学术文献很少， 有点意思。  
) s% a9 X, M( w0 ?& a              最小Manhattan网络问题是近年来受到广泛关注的计算几何和组合最优化问题。在大规模集成电路（VLSI）设计、分布式算
4 n+ b- `% d' H8 B8 H　　　　
　　　　法、计算生物学、网络设计、城市规划等领域发挥着越来越大的作用。
" @2 n( B0 {7 l) Q& y  P: z　　　　给定平面上一个点集T，其Manhattan网络由水平和垂直线段组成，并满足T中任意两点间在网络中存在Manhattan路径。可知
　　　　
( n# k! z) |9 l' X" ?3 A8 i　　　　Manhattan网络即为L1-范数下给定点集的一个1-spanner。更一般的概念称作geometric spanner或k-spanner，由于具有良
　　　　
* b) A3 Z6 h% V+ N" e" m9 X　　　　好的性质，其应用十分广泛，包括邻近问题（proximity problems）的求解、机器人的运动规划、通信网络的可靠性等等。
　　　　
　　　　在本问题中，要求Manhattan网络中线段总长度最短，即以最小的代价构造给定点集的Manhattan网络。此外，F. Lam [5]
　　　　
! c: M/ Z: a- G$ v: r　　　　等人在生物序列比对问题中应用了Manhattan网络的近似算法，显著减小了搜索空间。这显示了最小Manhattan网络问题在计
; ~2 q/ m2 p/ o! Y' d* S　　　　
$ j6 H9 |' R) g7 ?7 O  R3 U: |　　　　算生物学中的应用。
　　　　由此可见，这一问题的研究无论在理论还是实际中都有十分重要的意义。
' @, N( O; d3 F* i% ~* k　　　　最小Manhattan网络问题由J. Gudmundsson, C. Levcopoulos和G. Narasimhan [4] 于1999年最早提出。之后，许多学者研
) i8 |2 M8 T5 d0 v* B) s! Z4 O: d7 x　　　　
* J/ z  l# j0 \! Q5 G, i+ N　　　　究并给出了这一问题多项式时间近似算法。之前通过组合方法设计的最佳近似算法（3-近似）由M. Benkert [1] 等人在
　　　　
1 B( h  ?& i9 y' ]( k7 ~  T　　　　2004年给出。2005年，V. Chepoi [2] 等人提出了基于线性规划的2-近似算法，这是目前所知关于这一问题的最好近似度。
5 ~, J+ A1 T1 P  l# j) m( u　　　　在过去半年的研究中，我在朱洪教授的指导下得到了该问题的2-近似算法。这一结果被国际学术会议AAIM接受，同时获得了
　　　　
4 u8 X2 f8 g; F' }- t4 \' i　　　　审稿人的好评。在此之前，同一近似度的算法（V. Chepoi [2], 2005）的时间复杂度高达Ω(n^8)，而我们的算法时间复杂
. S5 D6 p, f2 f3 S2 v　　　　
9 ?4 }" p) c$ N　　　　度仅为O(n^2)。此外，我们在这一问题的算法的设计和证明中首次应用了由D. E. Knuth和F. F. Yao [3] 提出的动态规划
　　　　
　　　　加速方法，将动态规划过程的时间复杂度由O(n^3)降低到O(n^2)。
4 H! K5 `, l8 e( z4 J  X　　　　迄今为止，最小 Manhattan 网络问题的是否NP-难问题仍属未知，其不可近似性亦不清楚。因此，研究这一问题所属的复杂
4 D1 ~4 _$ L1 A$ [7 D　　　　
" q3 ]; Z$ q! w6 G) ]9 X　　　　性类将具有极大的理论意义和实际价值。
　　　　
& Y+ U# H4 m0 Y4 ~　　　　我们预期要解决的问题和解决途径包括：
　　　　
　　　　(1)设计出具有更优近似度的近似算法。近似算法的设计方法主要包括：局部搜索，线性规划方法，原始对偶（primal-dual
　　　　
0 u  J2 D4 p5 ]: f9 |1 R$ T) }  T　　　　）方法等。本问题已知的近似算法可以分为两类：一类方法是将全局最优网络问题规约为局部最优网络问题，再通过局部网
, T6 d' B2 v; G8 e　　　　
　　　　络的组合达到全局的较优解，如M. Benkert 等人在文献[1]提出的3-近似算法。在这一方法的使用中，我们已取得了国际领
& Y+ h* u# u9 y- \3 q2 D　　　　
7 w; w# O4 G( P　　　　先的成果。另一类则基于线性规划方法，如V. Chepoi等人在文献[2]提出的2-近似算法。
  p4 l# F: M$ M; v  U7 t　　　　在第一阶段的研究中，一方面在我们已知的最好近似算法基础上，对问题的性质进行更细致地分析以尝试改进；另一方面对
　　　　
( ]7 u: r2 x3 n/ Z0 }4 R3 |　　　　近似算法的设计进行系统的学习，探索其他的算法设计思路。
# o# n5 g7 y5 Y; I　　　　预计研究时间：2008/5-2008/11
　　　　
　　　　(2)研究该问题所属的复杂性类。尽管在过去的近十年里，最小Mahattan网络问题受到许多西方计算机科学家的重视，但是
　　　　
　　　　到目前为止，人们还不清楚这一问题是否存在多项式时间算法。人们猜想这一问题是NP-完全的，但到目前为止还没有人给
　　　　
　　　　出有效的证明。
4 h" t' u+ T6 V　　　　一般来讲，证明一个问题是NP-完全的基本方式是将一已知的NP完全问题归约到所研究的问题上。这方面，已知的NP-完全的
. ?3 V3 P6 q, m) U: h　　　　
　　　　计算几何和组合最优化问题的归约过程将具有很大参考价值。例如V. Chepoi [2] 在论文中提到的与最小Manhattan网络问
* B- ]2 t; j& P$ t　　　　
/ X* @" z# D" M- P" [8 }8 n: f　　　　题相当类似的RSA问题，已经由W.Shi 和C. Su [6] 给出了从Planar-3-SAT问题到该问题的归约，从而证明了该问题为NP-完
/ }& ~5 I! A7 i7 M8 ]　　　　
　　　　全的。因此，我将在这一方面深入研究，通过阅读更多的计算几何学NP-完全问题规约的文章，掌握各种复杂的技巧。试图
　　　　
　　　　给出最小Manhattan网络问题的类似的归约方式，从而证明这一问题是NP-完全的。

. o% N, a2 G) S
呵呵，我觉得高教杯出类似这样的题，意义重大。

高肖鹏

where????????????

104476285

恩  很有意思

小小雨112233

这样啊圆满你来时、

小小雨112233

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小小雨112233

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小小雨112233

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