《周易》象数与中国古代科学技术的关系略论

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《周易》与中国古代科学技术有密切的关系，尤其是象数派。之所以如此，是因为《周易》把数与万物联系起来，数形结合，力图以此求知万物运动变化的规律。我们首先以数学为例来考察这一点。

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一

魏晋时期，刘徽在《九章算术注·序》中说：“昔者包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之德，作九九之术以合六爻之变，暨于黄帝神而化之，引而伸之，于是建历纪，协律吕，用嵇道原，然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制记而有九数，九数之流，则《九章》是矣。”这有两个要点，一是数学即九九之术与卦之爻变是一致的，换言之，数与象、数与形是一致的。由此可引申出，数起源于八卦。这可以《汉书》所说的“自伏牺画八卦，由数起”相证。二是数字的倍增与万物的产生是一致的，即一分为二、二分为四、四分为八也就是太极生两仪、两仪生四象、四象生八卦。质言之，数学与万物的产生和运动变化是一致的，所以，据数可以求知万物运动变化的规律。他又说：“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，探颐之暇，遂悟其意，是以敢揭顽鲁，采其所见，为之作注。”“阴阳”指方圆二形和奇偶二数。在刘徽看来，阴阳是数产生的根源。他的这一观点，显然是从成书于公元前一世纪的《周髀算经》所说的：“数之法出于圆方。圆方者，天地之形，阴阳之数”发展而来的。由此可知，数学从很早的时期，就与《周易》结下了不解之缘。

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数起源于阴阳和八卦，这是北宋初开始数起源于河图、洛书的观点的源头，因为河图、洛书是从阴阳、五行、八卦发展而来并把它们内在地包融进来了。这一观点最早是由陈抟提出的，后来得到了图书学派的赞同。在数学家中响应者也不少。宋代杨辉与丁易东在研究纵横图时，接受了数起源于河图、洛书的观点。在杨辉所著的《续古摘奇算法》中，其纵横图的作法是从洛书数开始的。丁易东在《大衍索隐》卷中说：“洛书四十九得大衍五十数图。”卷下说：“九宫八卦综成七十二数合洛书图。”到了明代、清代，数起源于河洛的观点仍对数学家产生影响，如王文素所撰的《通证古今算学宝鉴》，其卷首就有朱熹《周易本义》所载的河图和洛书二图，并认为它们是“数之本原”。程大位的《算法统宗》同样在卷首画有龙马负图、河图图、洛书图。在河图图下，程大位说：“河图者，伏羲氏王天下，龙马负图出河，遂则其文以画八卦。”在洛书图下，程大位说：“洛书者，禹治水时，神龟负文列于背，有数至九，禹遂因而第之，以成九畴。”而在《算法统宗·总说》中，程大位说：“数何肇？其肇自图书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物。……故今推明《直指算法》，辄揭河图洛书于首，见数有原本云。”在《算法统宗·后识语》中，程大位再次强调：“盖自虑戏宰世，龙马负图，而数肇端。”可见，数之河洛起源说，在中国传统数学思想中，影响是不小的。

数之河洛起源说之所以能够造成很大的影响，有几个原因。其一是因为河图、洛书所表现出来的纵横图本身就是数学研究的内容之一。其二，与河图、洛书紧密相关的大衍算法中含有不少代数学的内容。其三，宋明理学认定“理”先天地而存在，河洛起源说对他们的哲学理论是极大的支持，所以他们对河洛起源说非常感兴趣，大力宣传它，而加之理学作为官方意识形态的地位，导致河洛起源说在思想文化界有广泛而深远的影响。

在数学上，河洛起源说既有积极因素，又有消极因素。积极因素表现在，河洛起源说锤炼了人们的抽象思维能力，促使中国古代数学改变了传统的以归纳为主要方法的特色，变为以演绎为主要方法，并促使中国古代数学进入符号化的阶段，初步具有了公理化逻辑体系的雏形。消极因素表现在，其一，河洛起源说把人类认识自然的能力归之于天意。当人们得到一些数字规律乃至数学规律在客观世界中暂时找不到模型、原型，或者得不到恰当的、正确的解释）时，就将它归结于神或天意。其二，河洛起源说中的“阴阳奇偶之说”，在人们解决具体的数学计算问题时，往往成为思想上的障碍之一，使得人们在方法上难以有新的突破。

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数起源于河图、洛书的观点对数学有很大的影响，那么，河图、洛书的内容与数学的关系如何呢？

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数本来就是抽象的。抽象的哲学理论对数学的发展是有推动作用的。玄学是促使魏晋南北朝几何学取得巨大成就的原因之一，使其凸显了非实用性。这一点在宋明时期又体现出来了。“隋唐时代的数学著作不过一、二种，但是在宋代前后不到三百年却写出了五十多种，平均每五、六年一种，其中有些著作水平极高。”这固然有唐代重视算术的遗风的因素，但更重要的是受象数学和理学的兴盛的影响。

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易学象数学和图书学派断言，世界的规律是通过数学的法则表现出来的。物质变化的规律可以用数学的方式来计算和推测，物质世界的变化存在着量的规定性。因而，图书学派的研究内容与数学有内在的一致性。这有多方面的表现。邵雍六十四卦卦序是完美的六位二进制卦序。“数学”原为宋代象数易学的一支。《四元玉鉴》刻书时有莫若、祖颐所撰的两篇序文。莫若的序说：“数一而已，一者万物之所从始。故易一太极也，一而二，二而四，四而八，生生不穷者岂非自然而然之数耶？河图洛书泄其秘，黄帝九章著之书。”这与其说是数学，不如说是图书学派和受其影响的理学哲学。刘徽把类推发展为等式推理，建立数学概念体系。到了宋代，理学家为类推增加了“格物穷理”的前提，如程颐说：“格物穷理，格物是要穷尽天下之物，但于一事上穷尽，其他可以类推。”[ii][ii]在这一观念的影响下，宋元数学具有很强的抽象化、逻辑化的特色。

受《周易》象数学，尤其是其中的图书学派的思想影响，宋元数学取得了巨大的理论突破，获得了不少全新的成果。我们这里以方程为例。

用解方程的方法来解决实际问题，需要经过两个步骤。首先要根据问题来设未知数，再按题给条件列出一个未知数的方程，这就是所谓的“造术”。如果未知数只有一个，则它就称为天元，一元高次方程的解法就称为天元术。宋代，秦九韶和李治都对天元术有论述，其中以李治论述得最为详尽。他所说的“立天元一为某某”，用现代数学的语言来说就是“设x为某数”。用特定的文字符号表示任意的未知数，并结合位置关系表示未知数的任意次幂，这样，一般的代数方程就可以建立起来。这与现代列方程的思想是一致的。由此看来，天元术作为一种抽象的建立方程的方法，具有普遍适用的意义。后来，作为朱熹的五世孙，朱世杰的《四元玉鉴》吸取了天元术的思想，参照了线性方程组用算筹摆出“矩阵”的运算方法，创造出以“天”、“地”、“人”、“物”表示四个不同的未知数的四元高次方程组的数值解法。莫若在《四元玉鉴·序》中说：“其法以元气居中，立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上，阴阳升降，进退左右，互通变化，错综无穷。”以不同的文字表示不同的未知数意味着中国数学在向符号代数的方向发展上已经取得了巨大的成就。换言之，中国古代数学已经步入符号化的新阶段。这在后世是有影响的。直到十九世纪，李善兰（公元1811—1882年）在翻译《代微积拾级》时，仍将A、B、C、D译成甲、乙、丙、丁，x、y、z译成天、地、人。朱世杰以算筹的布列方法说明一元方程、二元方程（两仪化元）、三元方程（三才运元）、四元方程（四象会元）的解法。在一个筹图中利用位置关系表示不同的未知数，以及它们的不同幂指数和不同的乘积项，这是抽象思想与形象思维的巧妙结合。这就意味着，几何关系被表达为代数关系。这是以容易驾驭得多的数量关系的研究来进行较难把握的空间形式的研究。这种方法在现代的代数拓朴学中仍然有运用。

南宋数学家秦九韶（公元1202—1261年）的《数书九章》把问题分为若干类，第一类为“大衍类”，用的是“大衍总数术”。这是受《周易》大衍之数的影响而提出来的。《数书九章》卷一第一题有“蓍卦发微”题：

问《易》曰：“大衍之数五十，其用四十有九”。又曰：“分而为二以象两，挂一以象三，揲之以四以象四时”，三变而成爻，“十有八变而成卦”。欲知所衍之术及其数各几何。

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通过对此问题的解答，秦九韶阐明了“大衍总数术”。“大衍总数术”不再是归纳方法的运用，而是由一般到具体的演绎法的运用。“大衍总数术”的一个衍生方法是“大衍求一术”。从现代数学的观点来看，“大衍求一术”其实是一次同余式问题，即联立一次同余式组的解法。“大衍求一术”采用对《周易》揲蓍程序的解说形式，将数学与易学糅合在一起。“大衍求一术”来源于大衍筮法。秦九韶试图用“大衍求一术”来解释《周易·系辞传》，与历代经学家的注疏不同。他在《数书九章》自序中说：“昆仑旁薄，道本虚一。圣有‘大衍’，微寓于《易》。奇、余取策，群数皆捐。衍而究之，探隐知原。” 可见，秦九韶是将大衍法与算术奇偶相生的思想方法紧密联系在一起的。对此，《四库全书》本《数学九章》在“蓍卦发微”题之后有编者的话，说：“按揲蓍之法载于《易传（学）启蒙》，言之甚明。算术以奇偶相生取名大衍可也，竟欲以此易古法则过矣。”又说：“此条强援蓍卦，牵附衍数，致本法反晦。”这里既批评他对《周易》蓍法的解释不合古法传统，又批评他因援引蓍法而致使数学方法不甚明晰。这种批评固然有道理，但问题在于，如果离开了蓍法的启发，秦九韶还能做出上述数学发现吗？

河图、洛书也来源于大衍筮法。直到清代，《周易折中·启蒙附论》仍然是以河图、洛书两个图式讲数学原理。如此看来，《周易》象数学及其图书学派与中国古代数学可谓是形影相随，难分难解。之所以如此，是因为《周易》卦画与阴阳、五行相结合，构成了有方位的八卦或六十四卦方位图。这些图中，不多的数个符号在不同位置上相配置，就可以组合出无穷多的意义来，从而可用以表征万物的生成或万物之间的联系。这种思想对中国古代数学思想方法有巨大的影响。中国古代数学的算筹运算中，位置有重要的意义，例如解线性方程组时不同的位置表示不同的未知数，在高次方程理论中位置表示未知数的次数。在多元高次方程组中，位置有不同的未知数、未知数的不同次数等意义。这种位置制具有简易明了的优点，因而使得中国古代数学在上述几方面取得了极大的发展，与同一时期的世界其它国家相比处于领先地位。此外，在这些卦图的影响下，还出现了专门研究组合数字方法的纵横图等，表现了初步的组合数学的思想。总之，这使得中国古代数学具有离散数学的鲜明特点[iii][iii]。

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阴阳、五行学说对离散数学有用，对连续量的分析不适用，但程大位却认为：“窃尝思之，天地之道，阴阳而已。方圆，天地也。方象法地，静而有质，故可以象数求之。圆象法天动而无形，故不可以象数求之。”既有的思想框架不适用于解决新问题，却不去寻找新方法，反而得出了不可知的结论，这表明，阴阳五行学说不是万能的，一旦被视为普遍适用的框架而拘泥于它，则阴阳五行学说就对数学家的思想具有束缚作用了。再一个例子是祖冲之。他明知“径一周三”只是约数，精确值有小数，但却认为整数和小数的接合处是“阴阳交错而万物化生”之处。故圆周率的小数部分是“上智不能测”的，如可用有限迫近无限，则“化机有尽而不能生万物矣！”与刘徽相比，祖冲之显然是倒退了。这也是受阴阳学说误导的结果。

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《周易》对中国古代数学的影响不只是在数的起源和内容两个方面。中国古代数学著作在形式上往往是模仿《周易》而来。例如，“算经”之名来源于“易经”，题名仿制于卦名，题型模拟于卦画，答案多采用卦辞的表述形式，解题术则具有与爻辞的类似性。图象、数据、推理、论断分别对应象、数、理、占，如此等等，不胜枚举。在思维方法上，中国古代数学同样多模仿《周易》。《周易》以“探颐索隐，钩深致远”为志职，中国古代数学也往往援引这一句话，把彰往察来作为自己的努力方向。《周易》主张“方以类聚，物以群分”，以类比推理作为主要的逻辑思维方法，中国古代数学也是如此。例如，刘徽注《九章算术》，主张：“数同类者无远，数异类者无近。”数的运算要“以行减行，当各从其类”，“令出入相补，当各以其类”。《周易》主张“同归而殊途，一致而百虑”，中国古代数学也颇为欣赏一题多解的主张和做法。

《周易》对中国古代数学从总体上来说是起了积极的作用的。它的象数学，尤其是图书学派的思想，使得中国古代数学达到了符号化，建立了一个具有化繁为简的特征的符号系统，一改此前给人的实用面貌，具有了抽象的新特色；一改此前以非逻辑思维为主的特点，具有了演绎证明的新特点；一改此前零碎散乱的形式，具有了一个理论意义上的构造体系。此外，在这一时期，筹算发展成为简便易用的珠算，即算盘。有了这样的工具，使得数学有可能更好地为现实的世俗活动服务。从而，宋元数学也成为中国古代数学发展史上的最高峰。

对理学和图书学派对宋代以后中国数学的影响，一些治中国科学技术史的学者多有微词。主要的观点是认为理学和图书学派是唯心主义，割裂了数与物质，用一些先验的框架束缚了人们的思想，对数学起了阻碍了作用。这种观点是在对理学和图书象数学派缺乏深入、系统研究基础上得出来的，而且没有考虑到数学不同于其它科学的特殊性。对这个问题，贝尔盖注说：“数字并不取决于被知觉或被描绘的物体的实际（经验）的多元性，相反地，它是那样一些物体，其多元性是根据一个事先决定的神秘数字（好象在一预制的结构中那样）而取得的形式来确定的。”[iv][iv]由此看来，理学和图书象数学派对宋代之后的数学，其促进作用不可低估。当然，我们也应该看到，它们对宋代之后的数学也确有阻碍作用。徐光启说过：“算数之学特废于近世百年间尔，废之缘有二，其一为名理之儒，土苴天下之实事，其一为妖妄之术，谬言数有神理，能知来藏往，靡所不效，卒于神者无一效，而实者无一存。”[v][v]数学在明代中期以后衰落的原因，第一是士大夫们不重视它，缺乏继承和发展的人才。这是主要的原因。第二才是受数有神理的夸张的破产的影响。但这一点恐未必能够成为数学衰落的重要原因。因为同样受理学和图书象数学派的影响，李治在《测圆海镜》自序中说：“故谓数为难穷斯可，谓数为不可穷斯不可……苟能推自然之理以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状未有不合者矣。”这说明，数学不会全部照搬理学和图书象数学派的观点，只要数学家遵循数学研究的规律，就能够作出发现，推动数学的发展。

二

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上面论述了《周易》，尤其是其中的象数学派与中国古代数学的关系。这里，我们从总体上对《周易》与中国古代科学技术的关系作一个简略的考察。

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李淳风把天文历法的起源归功于伏羲，说：“阴阳迭用，刚柔相磨，四象既陈，八卦成列。此乃造文之元始，创历之厥初者欤！”[vi][vi]天文历法受《周易》影响的程度，不亚于数学。此外，中医药也是运用《周易》象数理论最多的一个学科，对此可参见相关文献[vii][vii]。类似的情况还见之于作为原始化学的炼丹术等众多领域。中国科技史上著名的科学家，都钻研《周易》，如汉代的张衡、魏晋的刘徽、唐代的一行、宋代的沈括、明代的张介宾、清代的方以智等。《周易》对中国古代科学技术的影响，是科学家们也承认的。秦九韶在《数书九章·自序》中写道：“圣人神之，言而遗其粗；常人昧之，由而莫之觉。”《周易》对中国古代科学技术的影响，如同数学一样，主要是其象数学派的思想，尤其是宋代以来的图书学派的思想。1607年徐光启在《刻<几何原本>序》中说：“顾惟先生（指利玛窦）之学，略有三种：大者修身事天，小者格物穷理；物理之一端别为象数，一一皆精实典要，洞无可疑。其分解擘析，能使人无疑。而余乃亟传其小者，趋欲先其易信，使人绎其文，想见其意理，而知先生之学可信不疑。”[viii][viii]之所以说象数是格物穷理之学的一支，是因为《周易》是儒家六经之首，因而是理学思想的源头之一。易学象数学派的代表人物陈抟、邵雍是理学思想的源头之一。儒家易学以义理派为主，但朱熹力图把易学的义理派与象数派统一起来，论证其理本体论和格物穷理的主张。徐光启高度评价象数学对物理之学即科学的作用。1612年，他在《<泰西水法>序》中指出天主教可以补儒易佛，并说：“其余绪更有一种格物穷理之学。凡世间世外，万事万物之理，叩之无不河悬响答，丝分理解。……格物穷理之中，又复旁出一种象数之学。象数之学，大者为历法，为律吕，至其他有形、有质之物，有度、有数之事，无不赖以为用，用之无不尽巧极妙者。”[ix][ix]类似地，方以智也认为：“格致研极之精微，皆具于《易》。”

不可否认，《周易》对中国古代科学技术同样有消极的影响。基于此，有些学者对《周易》与中国古代科学技术的关系持否定态度。李约瑟就持这种主张。他的理由主要是：《周易》中关于技术发明的说法为虚构；受《周易》的影响，炼丹术变得神秘化了；受《周易》的影响，中国古代对生命现象纯属臆测；卦的符号体系与封建官僚体制之间的对应配合是非科学的；莱布尼茨在接触《周易》以前已发明二进制，二进制与邵雍卦图的吻合只是偶然的巧合。这些理由貌似成立，实则经不起推敲。例如，炼丹术的神秘化，是因为它是道教修道成仙之术的一种，是受宗教影响的结果。李约瑟之所以有这些理由，是因为他把《周易》当作了一部科学著作，而没有承认《周易》的哲学性质。图书学派所倡导的数理哲学，把一切都归结于数学，这种思想在其积极的一面，促进了数学与其它自然科学的结合，有利于促进人们用数学去描述自然界中存在的规律。只可惜这一点在当时的社会环境中没有形成普遍、广泛的社会思潮，没有从根本上改革中国科学技术的面貌。当然，我们并非不承认《周易》对中国古代科学技术的消极影响的存在。例如，李约瑟所指出的卦的符号体系与封建官僚体制之间的对应配合，显示了《周易》的天人合一的观念。在这种观念指导下，统治者常常为了人事的需要而提倡遵从某种模式并把它推广到自然科学的研究中，要求学术研究为政治服务，要求学术思想与政治思想服从统一的模式。这是有害于科学技术的发展的。再如，《周易》所推崇的音律与历法的融通，从今天来看，是不合于事实的，因而是一个失败的假说。

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《周易》对中国古代科学技术起到了巨大的促进作用。它对现代科学技术也应该会有一定的促进作用。我们认为，《周易》作为古代文化，人们应该抱着古为今用，活学活用，推陈出新的态度，在回顾中受到启发，并把这种启发付诸于科学的论证和实验，在实践中检验。

[x] 李迪，《中国数学史编》，辽宁人民出版社1984年版。

[xi][ii] 《遗书》卷15。

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[xii][iii] 王鸿均、孙宏安，《中国古代数学思想方法》，江苏教育出版社1989年版，第23页。

[xiii][iv] 李约瑟，《中国科学技术史》第二卷，科学出版社等1990年版，第312页。

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[xiv][v] 转引自：钱宝琮，《中国数学史》，科学出版社1964年版，第230页。

[xv][vi] 《隋书·历律志》。

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[xvi][vii] [明]张景岳，《医易义》；邹学熹、邹成永，《中国医易学》，四川科技出版社1988年版；麻福昌，《易经与传统医学》，贵州人民出版社1989年版；黄自元，《中国医学与<周易>原理——医易概论》，中国医药科技出版社1989年版；杨力，《周易与中医药》，北京科技出版社1990年版；李浚川、肖汉明主编，《医易会通精义》，人民卫生出版社1991年版。

[xvii][viii] 《徐光启集》，上海古籍出版社1984年版，第75页。

[xviii][ix] 《徐光启集》，上海古籍出版社1984年版，第66页。