第n个素数的极限系数k值

551987369

第n个素数不好求,一般用黎曼猜想公式反算,可以获得比较高的精度作为参考范围.
这里不进行第n个素数的计算比赛,只对一个趋势做出预测,求出第n个素数的极限系数k值.
+ S0 M' k( U9 _5 V# I, pp(n)≈n×(lnn+lnlnn-k),这里n值和p(n)值都是已知的数据,只有k值未知,代人后
! n, K- @- ]3 q% ?  o/ qk=lnn+lnlnn-p(n)/n
n值                                    p(n)参考范围                     计算的k值
$ D' P" _' L% v) v9 m+ v2 H4          10          -0.787071379
1 A4 ~3 A* P% k+ F# U/ `10          29           0.236617538
24          90           0.584322837
25          100           0.387908001
& R: F" E# w/ i100          541           0.722349812
. E. s0 E0 M8 Y$ H154          900           0.809598015
4 |( `+ K* z. q& B- O3 B- K168          1000           0.805511381
+ U& ~* k5 E! s9 u500           3571           0.899510764
1000   7919           0.921400013
- W: J& P3 p8 c4 m- `$ J1117        9000   0.909640998
1229         10000           0.939318112
1 v) N+ S, c" ~; s7 v, z, \5000          48611           0.93708004
8713          90000           0.948434316
9592          100000          0.959124075
, h) M( ]% r/ `8 G, [7 I9592          100000          0.959124075
6 ?  k7 ^; c, A6 y10000          104729          0.957767178
30000          350377          0.962732035
" D- g# H! f1 V50000          611953          0.962094066
70000          882377          0.962864732
( k3 J' E" j0 {) e( H71274          900000          0.960576676
+ ?$ M4 ]; U/ |% H( j2 b, }7 j/ ]3 G1 m78498          999983          0.954084756
90000          1159523          0.958252788
7 ^+ a, A( s$ O, }& P8 |100000          1299709          0.959305823
& |! U; q" Q( s/ ]/ [4 i200000          2750159          0.957211231
% w8 E( t; h+ ^8 C& R300000          4256233          0.95870651
) u6 h$ N; D3 q400000          5800079          0.956189157
9 k' c. [, x0 A" E500000          7368787          0.95910728
600000          8960453          0.958712825
! ]8 P# m+ ?2 D7 f6 @602489          9000000          0.959219949
- {$ V6 m/ p& @. h664579          10000000          0.955559154
700000          10570841          0.957269999
: @2 `6 }8 X* R" [+ F3 w0 T2 n; l800000          12195257          0.957804142
900000          13834103          0.957060924
1000000          15485863           0.955439472
; P0 b4 T- m  Q! n. Q; s" B4310144          73473859          0.956066856
5216954          90000000          0.954714458
  h, g* y  W1 t+ ^5761455          100000000          0.955107932
10000000        179424673           0.955570945
' b! Q3 O, E6 K$ N28944316         551987369           0.954016283
- ]  M( s+ I! w# s3 B5 ~5 D31255985         598608349           0.954181883
8 e& h9 t) x, d' N3 ^$ A46009215         900000000           0.953469255
- b% N4 M& G* i: v3 t, h: E50847534         1000000000           0.953771771
62106578         1234567890           0.953423793
8 o2 e0 O+ s2 |, B' P: W( G100000000          2038074743           0.953407301
! D; F" X8 t: s111111111          2276855641          0.953517847
! Q4 q) i: y& @! q( u7 b5 B123456789          2543568463          0.953345453
399487944          8724310144          0.95293163
. z% }- g0 p( [; Q$ o* |411523195          9000000000          0.952872778
$ T0 U4 I4 s2 B3 i3 _9 E" C449689285          9876543210          0.952957054
, d) p# x% E5 [455052511          10000000000          0.952960865
) C  _  c! {# @9 z498388617          11000000000          0.952836503
541555851          12000000000          0.952792438
- f7 K. Q' i# ~551987369          12242181113          0.952827232
675522133          15125167433          0.95280727
/ K* B; S+ m( L; t3 B/ b0 g/ I1000000000          22801763489           0.952759371
1 \" P! B( V5 p5 p1111111111          25458070277          0.952691408
% k, V+ y& A+ v/ ^' ~1234567890          28423087477          0.952659797
2031255985          47824232591          0.952633346
3722428991          90000000000          0.952632842
6 p6 z+ h) q- H- X8 N$ }4118054813          100000000000          0.952661953
; c6 f3 \3 L* G: m9 }! w4512105232          110000000000          0.952609693
9 H4 v7 V% K- L! `! d4904759399          120000000000          0.952630576
' t1 H$ \- ]  |8724310144          218695452037          0.952688936
9000000000          225898512559          0.952686974
9876543210          248857367251          0.952697866
10000000000          252097800623           0.952688406
( K, C1 ]# y+ U; T5 I( e$ K5 G11111111111          281329920307          0.952701468
/ Q. i8 i( {0 @. O" l) A12345678910          313945524931          0.952711638
15125167433          387829275881          0.952732747
24188924259          632071564697          0.952803332
4 |% o- V8 e* a% [- @& v1 L33981987586          900000000000          0.952856627
; b: E5 e5 X) w( c. a+ O& }37607912018          1000000000000          0.952882443
* G9 B/ q; n) M41220703418          1100000000000          0.952898557
" H1 k6 i1 s' s2 g+ O' D) b6 S44821651132          1200000000000          0.952913749
48411812843          1300000000000          0.952928255
% Y# s6 U+ W! [2 E* u) |/ E$ }51992079337          1400000000000          0.952943276
8 c* Q' C5 {4 r9 s0 h55563209929          1500000000000          0.952959823
59125832286          1600000000000          0.95296585
! S5 _& x( y( k  E- f9 }) I6 b5 B62680547806          1700000000000          0.952978131
3 t# y0 x8 z( r# `66227858344          1800000000000          0.952997051
69768165361          1900000000000          0.953005511
73301896139          2000000000000          0.953018171
9 R" G$ i3 B( R/ Y76829404177          2100000000000          0.953034877
80350940550          2200000000000          0.953031576
83866890515          2300000000000          0.953043799
: u' ?5 S: z( ^* [87377470252          2400000000000          0.95305485
90000000000          2474799787573          0.95305936
5 q. C  v) `, j1 @/ D  b90882915772          2500000000000          0.953063852
5 U9 h- t' N8 p; T2 f94383447111          2600000000000          0.95307122
97879280182          2700000000000          0.953081213
98765432109          2725369633577          0.953083106
100000000000          2760727302517   0.953090716
101370585277          2800000000000          0.953089006
0 h+ h: ]! ~" g/ [104857545428          2900000000000          0.953097652
108340298703          3000000000000          0.953101171
111819048275          3100000000000          0.953113895
115293888086          3200000000000          0.953123695
9 ~' Z) _9 G. _) c: ?8 y. b118764942011          3300000000000          0.953129267
( W, o. p- a$ m! k, R122232349643          3400000000000          0.953135088
% y  N& ?; w$ _# ^3 s' [. N+ x125696244675          3500000000000          0.95314551
129156678096          3600000000000          0.95314744
# T3 X4 _' ?: f. m( e& K132613795649          3700000000000          0.953151137
) G/ Q5 {' k) w) T% G7 f/ y136067688083          3800000000000          0.953155352
139518461664          3900000000000          0.953163273
142966208126          4000000000000          0.953175813
6 c, A3 ]' v/ G' Q+ L8 L146410910264          4100000000000          0.953173082
, G; s" b( q" \8 v, u. g" M149852773964          4200000000000          0.953181021
153291810623          4300000000000          0.953187137
5 P% y* Z* Y1 \3 ?5 j& D9 q156728136258          4400000000000          0.95320009
160161747327          4500000000000          0.953206672
163592692077          4600000000000          0.953204523
5 g- _! S/ b: M6 ]9 R167021151370          4700000000000          0.953215136
170447066694          4800000000000          0.953217788
173870573446          4900000000000          0.953226341
0 X* ]9 f" G& A  D3 l3 Z7 C! W$ u3 ~- B177291661649          5000000000000          0.953230035
- f2 u8 Z9 F: v; a$ }180710431905          5100000000000          0.953237157
184126901158          5200000000000          0.953242428
187541119457          5300000000000          0.953246415
! w1 N+ B- S/ z  a- F8 ^) K190953126302          5400000000000          0.953248309
5 S5 e6 D0 ~' Z# R194362990637          5500000000000          0.953252061
- F. _$ ]( F7 T  V+ ^197770743547          5600000000000          0.953255983
: D2 G5 K$ K, C1 `) L1 m" ~+ w201176428961          5700000000000          0.953260598
204580066580          5800000000000          0.953263125
9 K& D% R4 I0 P+ q207981734215          5900000000000          0.95326937
211381427039          6000000000000          0.95327346
214779167476          6100000000000          0.953273786
) K0 O7 T3 o  \' f$ s5 W" S218175058254          6200000000000          0.953279837
221569102517          6300000000000          0.953287444
224961273873          6400000000000          0.953288951
; X9 p0 x; d" Q! H/ R: G228351698532          6500000000000          0.953296988
5 ~( u  W/ N) l231740339225          6600000000000          0.953302771
235127223891          6700000000000          0.953306312
238512407609          6800000000000          0.953311095
241895851648          6900000000000          0.953309053
245277688804          7000000000000          0.953313329
248657916582          7100000000000          0.953320369
5 I* t9 @% T! G8 W& j! m0 ^252036515078          7200000000000          0.953324842
+ u8 M" N$ M7 f! s% z255413505374          7300000000000          0.953326527
" u: @% P- u2 r; x9 K7 ~0 [2 E258788925595          7400000000000          0.953327242
1 ?( C5 m. X) g  }& J! B259656817434          7425719040829          0.953329238
) s; N! |* L5 @# |2 t' M262162841215          7500000000000          0.953331879
265535241952          7600000000000          0.9533367
" O9 |, T  t3 d268906152117          7700000000000          0.95334203
272275559525          7800000000000          0.953344261
6 [& ]3 ?( K# d- P275643544693          7900000000000          0.953350004
5 Z8 K; f& r* B: L9 f279010070811          8000000000000          0.953353124
/ U$ w: p, X9 b282375171661          8100000000000          0.953355251
285738881494          8200000000000          0.953358042
2 [" k5 R3 k, `( e: K289101209285          8300000000000          0.953360526
292462199848          8400000000000          0.953365471
295821814466          8500000000000          0.953367157
299180106058          8600000000000          0.953369279
% ^" j  Z: z& E+ M7 u3 d302537108851          8700000000000          0.953373572
, U! D5 W2 b  R305892791866          8800000000000          0.95337538
, q% w" f; V# B309247216816          8900000000000          0.95337922
312600354108          9000000000000          0.95338074
0 N5 V4 ~  e6 [315952260435          9100000000000          0.953383952
( e/ P, w" p# g  F+ o* p% A: J( E/ l319302948414          9200000000000          0.953388614
- e: P5 ]; [  d: f2 O322652410741          9300000000000          0.953392682
326000647688          9400000000000          0.953394916
$ p. u: J, a8 E( X1 P6 a- [) A3 R329347709593          9500000000000          0.953398697
332693561966          9600000000000          0.953399676
336038264769          9700000000000          0.953402105
- L4 M# k) O9 Z# ~. Z339381817251          9800000000000          0.953404747
; Q4 m* c$ z! v342724224549          9900000000000          0.953406947
# I- e' _7 r: x3 K9 [: U6 u346065536839          10000000000000          0.953411996
379418886337          11000000000000          0.953438621
511905471132          15000000000000          0.953527263
! u9 U9 n& l/ c( Q, b. b; f: e5 Q! C643217611048          19000000000000          0.953596753
- I8 F% y* R3 x5 k675895909271          20000000000000          0.953610735
2 W, r& k: S% E% W$ [773621469799          23000000000000          0.953652834
# c6 F. i$ y; }7 e9 R, I2 r0 D886674661126          26486412297029          0.953696348
887114276903          26500000000000          0.953696396
% F) w, y. k9 m- w2 v$ W0 w9 M900000000000          26898370231697          0.953701247
932911185326          27916701633581          0.953711916
967879555617          29000000000000          0.953724541
1000000000000          29996224275833           0.953735935
1000121668853          30000000000000          0.953735897
3204941750802          100000000000000          0.954126498
7 l" d/ C2 ^# T4 H0 b10000000000000          323780508946331           0.954537117
29844570422669          1000000000000000          0.954950335
; ]% W& D4 l. A: Y. {100000000000000          3475385758524527           0.955423492
5 s" j4 u$ Q4 L& I: b4 z4 D* t279238341033925          10000000000000000          0.955833997
6 J- x- c' j2 j547863431950008          20000000000000000          0.956106462
1 }4 ~( ]; T8 |. j* K1000000000000000          37124508045065437           0.956350996
1075292778753150          40000000000000000          0.95638055
+ ^9 \( Z' ^/ d2623557157654233          100000000000000000          0.956744527
: d: k- L# q1 ]3893882469583623          150000000000000000          0.956905884
10000000000000000          394906913903735329           0.957291265
" @" s0 R* }% }4 K3 Q24739954287740860          1000000000000000000          0.957660554
$ B. q; G2 G6 h/ g3 {4 G48645161281738535          2000000000000000000          0.95793517
72254704797687083          3000000000000000000          0.95809533
8 p1 r0 X6 B: N0 i3 m* _95676260903887607          4000000000000000000          0.958208716
100000000000000000          4185296581467695669           0.958226556
$ I3 ?0 |- `/ z& C/ L118959989688273472          5000000000000000000          0.958296529
142135049412622144          6000000000000000000          0.958368158
165220513980969424          7000000000000000000          0.958428646
188229829247429504          8000000000000000000          0.958480986
# I9 z' d4 ?" s' h& k9 r3 r211172979243258278          9000000000000000000          0.9585271
234057667276344607          10000000000000000000          0.958568315
460637655126005490          20000000000000000000          0.958838542
1 ?" h3 L% l, [# a4 C684559920583084690          30000000000000000000          0.958995813
" U8 j6 N# A$ Q706849401776940275          31000000000000000000          0.959008504
+ m3 E8 D1 h6 T2 h6 ?906790515105576571          40000000000000000000          0.959107022
1000000000000000000          44211790234832169331           0.959145642
4 Y1 Y. q& a* V5 q8 ~+ C1127779923790184543          50000000000000000000          0.959193055
" P: B# d3 \3 t9 g% \2220819602560918840          100000000000000000000          0.959458995
8 S5 p' K: |- r. H3 x4 Y* v3516585752930430595          160000000000000000000          0.959638155
3731397829842461168          170000000000000000000          0.959661194
0 [& ^) D; z7 P" ~3945938652811699917          180000000000000000000          0.9596829
4374267703076959271          200000000000000000000          0.959722871
% p9 `( T6 H/ l2 [  z9 j9 h0 t# A+ ]4588082544160859769          210000000000000000000          0.959741366
5654086442526321042          260000000000000000000          0.959822191
5866733862193360875          270000000000000000000          0.959836454
. g8 f% l. z" w5 B% @+ u6503696293016202398          300000000000000000000          0.95987623
6715709842660010419          310000000000000000000          0.9598886
6927578466326617308          320000000000000000000          0.959900571
8617821096373621600          400000000000000000000          0.959984581
! j4 A3 |+ D" |# m8 l) S4 l) h10000000000000000000  465675465116607065549   0.96004168
8 N, x( x! f4 S6 M2 G10720710117789005897          500000000000000000000          0.960068355
12814731195053369962          600000000000000000000          0.960136628
21127269486018731928          1000000000000000000000          0.960327059
41644391885053857293          2000000000000000000000          0.960583407
82103246362658124007          4000000000000000000000          0.96083734
. j5 E: w% D$ e1 I100000000000000000000          4892055594575155744537           0.960910633
0 R8 a* `: Q$ j201467286689315906290          10000000000000000000000          0.961169232
$ |; F8 h  R0 q! Q299751248358699805270          15000000000000000000000          0.961314699
397382840070993192736          20000000000000000000000          0.961417385
- N% t; n) l8 _5 c783964159847056303858          40000000000000000000000          0.961662996
* k7 z1 b" r4 `1925320391606803968923          100000000000000000000000    0.96198374
18435599767349200867866      1000000000000000000000000   0.962769828
176846309399143769411680     10000000000000000000000000 0.96352742281009973617214866335650
" F* c! k, Q* g5 H. N1699246750872437141327603    100000000000000000000000000 0.96425691176903836741063255218860
' J4 c9 k8 N0 Q) L从0.2一直上升,虽然区间有所反复,但总体趋势明显,就是趋向于1,即k值为1
8 u% c) C2 b) D! V所以无穷大时p(n)≈n×(lnn+lnlnn-1)成立
如果一直大下去,比1大,比2大,直至大到lnlnn,这时后两项一减为0,变成了p(n)≈n×lnn这可能吗?
我坚持无穷大时p(n)≈n×(lnn+lnlnn-1)
, F( i3 l( p: `* R0 d  Z

551987369

168*ln(384)=1000,
3 Y' f/ D( y4 T, f, d1229*ln(3417)=10000,
9592*ln(33703.41552)=10^5
0 b0 |2 u6 c  M455052512*ln(3498099876)≈10^10
3 O2 _& j7 J8 U: I- x+ Y3 w: c  Ip(n)≈n×(lnx),x值有一定的规律,但是还是逮不住它.
p(n)≈n×ln(n*log(n)),这么一算有点大了一点
8 w# F" n6 {* ?) Ap(n)≈n×ln(n*log(n)-loglog(n)),好一点了,大于10^10还是不理想
大于10^10,p(n)≈n×(lnn+lnlnn-0.955),精度又提升了
1 ^4 m6 K% X. \+ }
6 P+ N) ~# J: C( R& Y, d9 @! |9 t( T( r

551987369

n*(ln(n*log[10](n))-1/(0.5*log[10](n)))
  M: x% B7 E# O6 Q1 a* A3 _0.5这个系数到处都出现,只是不那么准确,它在0.4~0.6之间,由于无法预测,只好取0.5了


5 u" K- Y: B4 L9 h. C

551987369

p(n)=n*(ln(n*logn)-k),log是以10为底的对数
4 M+ [7 y) z' T( g& i" w' t4 i举例子:9592*(ln(9592*log9592)-k)≈10^5
k值从一个负值往上升,-1.62...0.089....0.10...0.105...0.11...0.12...0.13
3 N* e" }( Z2 Y, d' A1 k1 ]在0.11之间徘徊了好久,才升至0.12,升幅比较缓慢.
8 i9 U# d" |5 O8 ^+ E- V* B大胆预测一:p(n)=n*(ln(n*logn)-1)为极限,即无穷大时,k=1
% Y# b/ B; }+ H1 W
; ]* P' c1 v% L) I  t% e

551987369

p(n)=n*(ln(n*logn)-k),log是以10为底的对数
% G0 L8 m, j6 d1 U4 c, a! b经过反复计算,这个k值到不了1,极限时,此值为0.16596755475204420019678695214200......
8 r4 z* E, s/ O" l  Y: C0 ~) P不能比这个再大了