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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值
    9 Y$ M/ M' e9 x6 ]1.1  插值多项式 - u' o" ~' `1 M0 f" t

      |  f* X; P$ v+ a# a4 r1 W. M) q

    & C! b. e! @+ h6 a2 j范德蒙特(Vandermonde)行列式) B9 m8 z0 w; N' L) n- f# W% e
    & a7 [/ Y& T7 |$ N4 f( Q# H9 L4 _
    ! Y2 C" _: W  W

    ( o; T+ {/ y0 D% U3 ?/ j8 b1 W3 G截断误差 / 插值余项7 }* c3 |; F- {

    ; {! e' V1 w% C2 i- c' J" c: n3 u6 O/ Y6 T( \
    7 H- `" f5 o6 N" O$ N" C: C
    ( [* U8 k9 M8 O+ p
    1.2  拉格朗日插值多项式 , Y, D5 @2 c, c6 }. Z

    3 k  L4 ~5 z" H$ `5 e! ]9 f! e- k$ y% Z" p

    " A) x7 V& l: p, @* Y1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值 6 \* v1 a4 p( h2 a
    Matlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:5 ~" r- O1 Z+ M

    5 C9 F9 [$ H% T1 x: I; T+ H9 gfunction y=lagrange(x0,y0,x); ' u# p6 \! ^/ ^
    n=length(x0);m=length(x); . f# K( p* g8 a& M" c. o
    for i=1:m   
    9 s$ E* q9 F4 }    z=x(i);   
    : }! N- i4 S/ w; G- E) p- x    s=0.0;   
    8 X/ U; W. q- ?$ b& o+ G) R    for k=1:n      
    - g* c; A  @2 \' b        p=1.0;       . S2 h/ t" C: ]  H
            for j=1:n          ) J# p& ]* z9 \6 o
                if j~=k            
    ( ]: G! ?! [8 x6 A, I: z* U                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));          ( J& X; {+ ^" `
                end       ' {9 B% v3 t3 m8 F  r* p1 G% _
            end      
    ' L2 _/ m* H. {    s=p*y0(k)+s;    ' i( J" I. B; ^- h' o, A/ L
        end   
    4 e& z2 S# L2 V) ly(i)=s;
    % y, `3 @" u4 b+ t) h8 eend 0 z; c7 i0 B4 `$ Y1 }9 M
    , E& I, l" @1 E& \/ K6 \2 X) e
    2  牛顿(Newton)插值 , F4 ]: S+ U* _% U' B+ L8 k
    在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。) Q  E. _5 i  c8 s8 L. _8 Z" l: C

    $ x) D6 R+ J' A 2.1 差商 : 定义与性质; ~: j8 U1 c- e5 G: l; E6 U

    : a2 J  `. M# g0 f/ q$ `4 M3 s, R, p) m/ F
    & v- g6 z/ K( l! o
    2.2  Newton 插值公式 9 f2 x; i: p1 v2 s% p
      q: ]# ~: n  g& T& H# ^- F
    - q: C4 ~# L  d; }, D( ^& B
    0 Q# ^2 U- u( R) X8 m$ |

    ' W' M; }, ^6 S* U4 e' U$ YNewton 插值的优点7 Y1 |6 |& q6 r$ ~& y
    " P2 q4 z3 X- x2 h4 `

    & L7 G8 }! P; `% I* q7 E# M( H1 [! W+ _/ ], J
    # W5 @5 \5 p3 _8 ^# e
    差商与导数的关系
    % ^4 q' y- e: [* ~
    . u! o2 B1 t5 M% w, Q/ f) q6 H
    9 S0 g5 o2 W* {$ Q( e& T0 [
    2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分
    7 f4 x4 j/ J6 l1 W当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。, i7 K( e0 Q  K, C/ J0 U6 v9 p
    / R9 _2 e" c; Z2 b% y' S! E( a

    ' P: v" J: r4 j/ ], d  ]
    ( q/ c% l4 ]: |
    / p& t: `, _* W# r4 O6 r2 L
    # {: @0 w7 N2 z' C9 F, @; G1 G差分的两个性质
    ' L# y9 ?+ ~" @8 e) r2 e(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如 & e; s: p% }( `: I8 X( [* w) Y2 g
    ! f0 U3 p+ W  ^- N5 G! N7 P8 X

    - }1 D  q% ~; O; M( c/ h% E
    3 x; Z% r: U! G- g(ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: 9 f0 g, {9 n2 I
    ) Z3 N4 x3 d) x' g

    5 w3 t0 c/ h5 R% @& Q1 Q% u( o, l/ |0 n& @  ]0 w5 [
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式
    - @; Q$ N0 f+ x* {# t5 A! W! E4 C) l3 r) f! S; `
    . i' d& Q7 A. `3 w; a

    % L0 t4 {4 k" f: H) |3 i" I3 }/ b" H! d1 z3  分段线性插值
    : u1 Y: ?: M) q+ R+ R# e3.1  插值多项式的振荡
    ( S/ y& s. R1 b3 I6 W0 G4 |+ R2 Y5 U' m9 z$ C% F
    , G0 g" m* W5 W; u- @, F! ^

      n2 a. y: t1 I2 P) |( d2 ?8 K+ a7 j$ n# G' ~
    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。 0 Y; _0 g/ @& R9 F, A
    ' c" S! Q3 T2 T) E: j2 h8 `4 F
    3.2  分段线性插值
    2 k! O7 k, Y0 c$ Q# q# C
    0 O1 o! m* s2 p; L, R1 |
    3 Y( j2 b& O* b$ N. Z1 l
    & t2 o- S) K& o
    0 M$ b  }4 ~: i# h' d- q! N9 f8 y6 J* k* w! L7 R- ~0 M. o7 S

    4 e( @! z4 K* M* L用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。
    2 q& ]& z6 |# e/ u9 [- ^! j
    4 S' B( z4 F' `1 B9 c! N3.3  用 Matlab 实现分段线性插值 / s5 p% O  k9 T  U6 _! i
    用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。
    ( M6 c5 [  w8 D8 }" s$ e8 u$ I% n
    y=interp1(x0,y0,x,'method')
    0 u) ^9 Z7 W8 X" f- v: P/ ~) d
    3 [8 k; L7 A: T! E. @' W4 d& Umethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:( N2 z. `6 ~) D8 W

    ( U% Q+ Z5 q1 }. s'nearest'   最近项插值2 u2 H& J- P! D, J0 U

    ! l  ^. m7 ]% A8 U8 l/ U, w$ a'linear'    线性插值
    3 G, u* p9 u2 G6 }: C/ t" \, H* _' N1 L9 K. d& h
    'spline'    逐段 3 次样条插值0 l5 k8 f9 A! Z+ x( e9 x, m
    1 a2 n5 Y' L, x7 _3 Z. g
    'cubic'    保凹凸性 3 次插值" P/ e- Y. D8 E$ O

    8 ^4 E8 N6 l0 b. K! b; M. k 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
    ! Y# T+ Z+ I6 V" Y0 `4 z3 \8 c( E* Q
    7 c5 d% O! Q0 W' }2 G$ j/ q5 c4  埃尔米特(Hermite)插值
    3 q5 c% W  x2 g% ^! L3 r4.1  Hermite 插值多项式 ! m" k. ^8 a: I$ O7 U; N9 w1 c
    如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 ' m: N, }" _7 ]  ^" r. {

    " N6 `& R: x: m- X$ c8 ?( o+ @8 F1 A
    , v4 _0 o" u. H* S7 `
    * \8 X9 n$ i# V2 p( ?; A; j

    # F8 \  \0 ^$ |' J$ Y4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值 " t& a! b* g0 Y& C- }
    Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 7 K0 L( X  C$ C, I% r; t. ~% b8 ?

    " L& _  ~; \6 I) Bfunction y=hermite(x0,y0,y1,x);
    : P$ B/ e# `$ _' {5 y9 F$ {/ L- On=length(x0);m=length(x);
    : L1 w% ~- o; C, f& J0 L0 Hfor k=1:m    # T, x4 R' f- [( t( \
        yy=0.0;    6 G$ H6 l- ~/ @2 S) M8 P
        for i=1:n       6 V. [! U9 F+ p
            h=1.0;      
    - c  T0 _" m; V% }2 I  Q) r2 p        a=0.0;       8 B  A! m/ t; Q. Y7 s+ l
            for j=1:n         
    , k, ^3 a! _) X2 L! Q            if j~=i             ; y" @" r; d% a- J# Q3 S- L$ e
                    h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;             7 g4 W- o0 `$ f3 e1 w; C: H7 ?
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;         
    0 ^; l' `+ j. u7 A5 `/ I5 [. R3 e0 j) a            end       ( ^; @$ Q9 W  q+ ~' Z% x/ k' x! G
            end       # Y/ h& `1 `* `6 o
            yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));    3 C- z9 W( m( a4 T5 X- F
        end   
      g6 T3 Q9 f- z+ _0 m' z    y(k)=yy; # k6 N& b) y, H
    end 2 @1 g) h" I/ h: h- j. E5 |" _0 M

    * Z, \  V. d) |3 i) v# J8 _/ \5 [/ x5 R: ~. c( x

    3 `6 M  m: E7 B9 `+ A# X
    ; p6 M* h3 `; N4 b
    - d+ \8 V6 t5 `/ Q5  样条插值
    * l- n( k/ [' n. ^  U  j: d9 o: c许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    . U9 [! q7 [9 h+ J2 W1 B/ Q! M* g% e
    5.1  样条函数的概念5 g3 k" K) D/ n1 j- G

    1 f# N5 ^2 ]6 j6 j4 k+ f所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
    ; R2 x# W: k. P' a1 P
    6 Y6 x5 y$ ~) W# s5 g: H/ @    内节点 、边界点、k 次样条函数空间
    & T6 O  O6 V$ r& ?: n* o0 H* }' f8 p2 z  ^7 p3 |
    # a4 A; w7 @. \$ @

    0 G( E; s: a( {' d* b3 ]# x: L. ]$ H3 Z( r" p+ ?7 H5 x! L* m: t
    2 h( E# A1 I2 u, Q8 R

    . j+ m: o& `, V( v二次样条函数
    $ ?: f( i. A4 m" s7 W& ~/ {5 P4 o3 E7 d, p
    # n# H& }; H8 s
    3 E$ d% Q+ A% q6 s4 E) D# ?
    三次样条函数& }3 N  O2 A7 w. z3 N7 ?7 F4 y

    ' d  w( w& X7 @+ @: W8 q: H% {. @" f/ }: r& O
    # e" V9 U) t, |3 {6 y3 L; B4 b& p) _& `
    利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  
    , B, D' m* n& G& H0 d) F) K" u, l9 q7 t
    5.2  二次样条函数插值  
    5 v0 n* O3 F) F: _& `4 O两类问题) d1 I3 O1 {% {% E' Q6 m3 U

    " g" T; E* X( ^
    # r) i' ]6 J( \2 \6 v: G+ J% e, R. c0 F" Y
    证明这两类插值问题都是唯一可解的
    & M' ]6 q* d& {; @0 }
    ! Y( z& m7 t- g- L1 j' b
    6 j) e' }$ L3 W3 O: W6 k1 T0 c4 b
    . Y! S$ L3 w% [4 H7 ]0 Y6 O( |# B5.3  三次样条函数插值
    / u7 j& I5 v6 R, g8 t) b% m
    ; I' ?  q5 {% \/ w7 @7 ]6 q. D+ x9 G# U3 Z

      N* T2 @3 A* R0 s7 G 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件
    8 U/ B- Q5 `! ]/ @% u) y0 x: S1 V% Q" ~  e! ]9 a& I5 e
    0 T: E+ h+ S* L* _9 s; [0 ?3 b
    : c* ^# z& p- L
    3 `- a: J/ f6 c; Z* z7 g! W
    3 @) J+ p. k( `/ e4 s( E

    $ s) \4 {4 y+ Q$ Z2 K# r5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现 2 n/ H; p* w1 M4 O) k
    在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。: \/ o! `0 r0 @+ J* A1 I
    : N9 r6 _* \7 F! L2 n
    Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:
    ! M1 q% n" B9 Ky=interp1(x0,y0,x,'spline');
    . H% W  I4 `0 A. A/ n/ W( j2 K3 a0 }+ }( x4 ^& f% u  L* O  d2 k
    y=spline(x0,y0,x); + u; V2 r# A/ G3 A4 L

    2 Y* I+ n  X5 b2 V9 Y, r' Q. p7 ]pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
    0 _" x% {6 U+ n- f+ @+ w" e
    + h4 [: V" R  P0 f' }4 g  J* K, `# v1 V6 |0 K' ?, G
    , g( ?4 f- M3 h# R: f
    其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。& F0 n$ o4 c2 I& \1 {; C0 N
    4 ~! K$ o8 Q* x2 h5 b7 _
    pp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。
    $ I1 q4 k, O0 B& P
    ! T, O% A8 H7 S. B7 w& F. {6 I) upp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    4 A+ o7 j: h/ U# A$ D* S/ L( n0 c9 k; P, v( o9 x( u9 K
    'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件. d, C) c8 Q6 B$ ]/ f: d. O
    'not-a-knot'   非扭结条件  
    & N4 z: g, E' z* U1 I0 c" F! S% W'periodic'     周期条件- f  o+ O7 C2 {# y$ d' X9 ~: N9 z1 I
    'second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。% Q) Z4 z, J5 P" B4 y; Y
    'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。3 L5 q/ i% u1 ~0 q# {1 ?
    对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
    ' B: @1 C3 C1 I6 p+ h6 k
      O/ ?  r9 c* }; R7 l3 Ppp=csape(x0,y0_ext,conds) 0 H5 D% z; H8 V9 P, t0 v
    " v4 }; \- D2 p1 a+ M
    + I2 l" N4 o" Y" e4 V7 f" c3 K/ _

      e$ J) `& }  T6 F7 S" ^# T7 L, @$ q& ~! s
    其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。
    " C0 q: w3 K9 M+ H. a  u( H# m0 t
    $ x" M' `9 X$ T* l) ^conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;# Z- A+ B* ]! Q; [

    ) p4 a# v  m# G3 J% l9 Dconds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。3 E# R+ P5 V  u: Q1 t8 w

    6 N0 D/ P( f; p& b0 `# N9 G详细情况请使用帮助 help csape。
    9 p% Q! J! k: B3 E, w: W& @. _7 w- W4 p1 v
    例 1  机床加工 1 K8 M  Y: i0 ]- v  X
    . y, \+ `1 v/ J% U+ Y% O" ~2 h

    7 p; I! T2 s* r# f. N3 `
    $ Q: N) f1 l* n* l; Q* S解  编写以下程序: ! t" E. t% ]4 o' k- P# d3 j- r
    clc,clear
    2 H$ i8 N  y5 u) Wx0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15];
    6 H. S: ?/ Z6 S" ty0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6]; 8 q/ ]% v  @* O; I2 F
    x=0:0.1:15;
    2 c* z8 @; ?* B- \y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数
    1 H) `6 g4 J3 t1 k; Y+ ]6 ]% Yy2=interp1(x0,y0,x); ; h5 c; h8 s% e% f2 V
    y3=interp1(x0,y0,x,'spline');
    . o, p/ u* u/ m. @* G8 Vpp1=csape(x0,y0);
    * p3 d( W1 w, W  t( }y4=ppval(pp1,x);
    % ]% o6 d+ a$ _8 m+ _4 J# }pp2=csape(x0,y0,'second'); % T: p- ?+ B) i3 L4 Y
    y5=ppval(pp2,x); 1 I: ]* M  f0 N' r
    fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') $ f, v" H, T+ b+ g6 T& A0 p" s$ F
    fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n')
    ! N, V2 b" T7 ~6 J+ Oxianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5']; 6 y: t0 h! k5 A  Y1 v
    fprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi') 8 ^. I: `0 `+ P0 Y3 p, H
    subplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
    % r/ X5 ], f5 Gsubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') & a5 D6 G  x- _/ T
    subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1')
    " E9 Q  t; w; U5 _subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2')
    % \5 h8 s: Y8 d0 C2 |! t; K# K' s+ gdyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数   a! ^& V0 T2 h) r9 j. b" q5 B
    ytemp=y3(131:151);
    0 T: R! C0 A3 @8 R2 g, windex=find(ytemp==min(ytemp));
    3 X# ?% y2 ?4 R, @+ b+ b  S; oxymin=[x(130+index),ytemp(index)] # _/ p$ u& N. N
    & B, ?( A$ L6 _# O/ a
    计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 " d# z5 j8 ^5 [
    % @! W% k$ C* |! l% \- D
    6   B 样条函数插值方法 3 B* ]+ ?  y. h
    6.1  磨光函数 & ?& e9 O- ]' I, D) I" f
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 7 P* W: e4 ^. p+ B2 W, _

    ) i  z4 Q5 j- M2 k" \; |4 W* ]' h, D6 ^
    % K) O5 R* e  K& X$ B+ ~8 @6 l4 r2 \' _
    6.2  等距 B 样条函数   j& S8 e9 h. m& B( @" W; e8 C6 r5 R
    7 a$ E0 D9 @) i9 V4 T, a* U0 I3 p9 O+ _
    $ }3 ?5 O0 Q! s. q; V3 T

    - b1 g& h+ r$ X
      G5 l1 Q- @5 ?/ N+ }8 g& @1 @% k2 _4 C

    9 M8 X' s& _  @: a' S: U
    , \' W8 h9 M- @! E9 e: {; n( P
    % x# a5 B3 S+ Y8 H' c3 T: ?1 t4 \6.3  一维等距 B 样条函数插值
    0 L0 F) F: y3 w: j5 ~$ W1 k等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: ; K( F/ U0 s3 v

    : W6 G8 z2 ~' k
    6 h  R: }  F' r- N2 d; k5 z; _3 G# ~9 @! L0 Q8 J' t
      S. W- S3 U) @( d( r

    & r5 z: |3 A. J: C5 z4 F% z: m7 v" Q. @$ s
    * w) E& ]' Y9 t5 @
    6.4  二维等距 B 样条函数插值
    1 I/ E: P/ f+ E6 ]1 k) g6 j" e% Y1 {" i  z/ U. k- E6 E
    1 M3 A$ I1 \% T2 z$ k

    0 V) ~5 N( j/ |  }7 二维插值 6 i4 C- r; i0 w7 M3 Q7 G: l. W$ l$ R
    前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。
    ' d& ]4 V8 Y3 h6 p9 E% f9 W
    : D! F% p1 S0 L, N# `7.1  插值节点为网格节点 ) N$ s, y) Y1 j
    5 D  z' _: ~# L2 n  A! c
    $ r( f4 @8 x& |& ~
    2 B6 D. X6 Z5 C
    Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  ; Q0 F  i0 R3 @% S# e5 x; k, G
    1 Q. \. G0 U3 C1 H
    $ _. x2 |% @! ?' x9 O% E% n. c
    z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')
    4 f/ l6 G6 b; I: c  S" p
    9 O# @8 Z  \1 F7 h$ G1 `/ E3 }/ L! u. s

    9 w( Y" s  v6 g: g, b! V$ p  Y$ U6 _7 z: a# Q
    / G5 ~1 ^/ _" m8 {
    1 H. @6 ^* H0 q* g0 w% F: {
    如果是三次样条插值,可以使用命令
    2 `( ?) ^. f4 F# J6 B2 ~+ M2 n
    8 J- ]/ r9 e. c" Q" _, ^3 jpp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
    ' R! h: K- `7 b2 B4 R% ^, o% ^1 }2 G4 j( R0 g9 k4 R

    ( T0 P' K0 z/ s* |& w2 P( V8 p* I  J
    ) X7 g6 w3 o: o8 x2 R% r  b* jclear,clc
    * Q9 p# h' v, U1 O& vx=100:100:500;
    , {$ n% O- [+ c; T: e# i+ Sy=100:100:400;
    + e5 H+ Q4 E' Y: a3 r0 A& N5 bz=[636    697    624    478   450      1 b# G$ `7 r! ]& @* O6 i
       698    712    630    478   420
    ( y) [4 V$ {; m5 {9 b5 e   680    674    598    412   400    - ~& S4 b$ [* u% f
       662    626    552    334   310];
    ' \! U7 [* d7 [! V$ M; g$ _pp=csape({x,y},z')
    ; D5 f; q6 Q- }9 S4 J. ^$ s6 Y% |xi=100:10:500; yi=100:10:400 % H+ k2 O) i5 Z# b! l$ \- h- }
    cz1=fnval(pp,{xi,yi})
      ?1 p! h  E. P/ v9 g1 J, fcz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') * H! _) {7 v8 N2 t
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1))) . P  A( O+ q9 K0 q, w, q
    x=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j)
    # y& P- k0 j9 a1 e6 d% b9 {7 f
    - j( k0 M8 A0 `1 D# j$ _8 Q4 ?. `' r: E4 o
    9 a& h% r, S, R
    7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:

    8 m: O' T% q/ |- U
    ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
    $ v6 y6 m3 g+ N; d# W# ?( G4 L
    . J! o3 ?2 Z6 g- ]' n% p7 n/ H- v. l& \

    $ `+ d* Q+ Y% E) o( N9 J% N
    # C- |3 l) ?" T; r
    6 B( m! t( S6 r7 b' |0 k6 H- m4 @: i- K1 R7 v% V# P& S8 u3 r. H
    . q5 ^! w# t1 ?; x, @# f
    例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。
    * q7 G5 B6 o, [. r' D0 K3 y. ]+ p. ^" E
    $ j7 v# [6 S1 S7 p3 E
    / e6 ~* D: v" U
    解  编写程序如下: 2 N) ?4 i$ ]; \! F
    # [: q5 r  d* H7 [: k: @
    x=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5];
    - E" L( C. |/ f3 C2 l; S6 q; Ay=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5];
    0 I) J: X' B2 G. C: i' P0 uz=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9]; / w  y1 o" a6 \9 V5 N' {
    xi=75:1:200;
    # V0 s* m# E1 a7 v9 {3 @* myi=-50:1:150;
    2 o, |# d! \0 a7 @9 Yzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')
    . _0 c$ i* w% l6 R5 i1 k- lsubplot(1,2,1), plot(x,y,'*')
    - B7 u& c9 A0 B( Y$ y. y3 l, C  jsubplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
    & f- Z" g3 }  E/ h9 W6 r4 D( v0 v0 u5 p0 p4 g
    ! G6 M7 r2 N7 b- v! O( k  f
    习题7 a1 A! _( i3 t$ ]; R
    - ?# h+ ^: Y2 \! {

    / C3 o! c" J$ E+ F: S9 V/ K1 s
    5 Q" G" ?: W# I/ ]$ `; s
    * |% g7 {" u" R! s+ G" b: x————————————————$ ?- A7 x" u- a( B9 L, ?7 n
    版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。7 v) U" N, T9 z0 ?
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89504179
    9 y2 t$ s( D& h& F" m: \+ l) {& q: p
    - V+ S  W+ \& p3 N  C+ [& T4 I
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