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[建模教程] 插值与拟合 (一) : 拉格朗日多项式插值 、Newton插值 、分段线性插值、Hermite插...

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    发表于 2020-6-2 15:56 |只看该作者 |倒序浏览
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    1  拉格朗日多项式插值
    + a% _, v: `$ k% M$ X& h& Z1.1  插值多项式
    3 `% y% J) r. l. T/ C9 ?
    1 c8 b& m- f* S( f$ i2 f/ G
    7 u. b/ x* {$ p+ Q5 l! R7 I; l* w
    范德蒙特(Vandermonde)行列式" g/ C0 T6 H( \: l* P
      B0 Q( _5 U/ j. R" V/ ~3 {! {' _
    + N8 l7 I$ I2 {  v& r# e5 c

    * k+ \. _' y! t( }( O0 {  x截断误差 / 插值余项* Z. A5 A$ g4 ]! q7 u

    5 h/ ]3 L; \- Y7 Y9 t% g3 K+ w
    + F8 j2 c7 f1 `3 D+ ~( R( d& G1 n2 A1 c. p. i, ~/ p2 R- P& h/ z* A

    ( k' `$ Z+ T8 W! _7 \0 I2 c1 N1.2  拉格朗日插值多项式   i* l, V: M: b4 C% u" d. r/ z

    1 U* Z6 N" |" V! s. i+ S. F: n. o, O' A, Z0 X* {! ]
    0 f7 k: k4 |( U$ O) {# ^' h0 f
    1.3  用 Matlab 作 Lagrange 插值 - _: |1 J/ x( V' R4 O2 n- T4 Z
    Matlab中没有现成的Lagrange插值函数,必须编写一个M文件实现Lagrange插值。 设n个节点数据以数组 x0 , y0  输入(注意 Matlat 的数组下标从 1 开始) ,m 个插值 点以数组 x输入,输出数组 y 为m 个插值。编写一个名为 lagrange.m 的 M 文件:
    8 ~/ v# f( {  d) ]  g5 W% j' q3 o5 e$ D2 n7 i; V& c
    function y=lagrange(x0,y0,x); 4 a$ G2 m2 X: b
    n=length(x0);m=length(x); . e' t, b3 E& J* N" O" W1 I% P
    for i=1:m   
    ' r9 Q  t! Y5 ?3 j) }    z=x(i);   
      K* s4 n. f0 j/ x; P! l    s=0.0;    / t% G( t1 @9 @
        for k=1:n       % j% c4 V  Q5 q8 e: L  B
            p=1.0;      
    , I4 D, n6 ^% v2 a5 N        for j=1:n         
    / e% {. G' _( A2 Z) d' ]8 H            if j~=k            
    * Q8 y2 Z; b* i8 c! ~) }                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));         
    3 g' F( |# g* \/ C6 T9 ]            end      
    . G# y9 S$ f, K! H' u2 e        end      
    - ^+ e9 V- n, L# p" b    s=p*y0(k)+s;    + C& v2 S: A1 N9 I3 l  }
        end    ( n. Z5 o. h  `. f, [
    y(i)=s; 6 M1 c2 G7 G3 \: f
    end 9 B7 c6 @* e1 d/ Q% H, d

    # h- F) g4 t7 R% T5 ~4 ^. J7 ^0 X' S2  牛顿(Newton)插值 ( g% E& Y4 c# m6 I
    在导出 Newton 公式前,先介绍公式表示中所需要用到的差商、差分的概念及性质。! ^$ K8 d8 T5 Y
    : R: I6 n1 N$ X& p; [, _
    2.1 差商 : 定义与性质
    " ?: V" \7 C2 G  U) r7 Q, \2 C5 q( d
    5 m, w1 n5 J" K: z% k
      _: b3 S+ O+ g3 ^' W. z
    2.2  Newton 插值公式
    3 V7 z: s6 ^- M! e: p: t4 Q2 U9 F/ ~  t2 {  e# T! Q7 _4 i; s$ g
    ( l: u1 v4 w+ H
    , d; m. w8 g2 ]- i2 T, m

      b+ \! P! D! l: E0 Z3 DNewton 插值的优点
    ) T6 O! i+ i2 a4 v& w8 z/ n3 x8 |1 L" u; t- x

    * G9 j5 @$ e% \4 Z- p5 r6 L! f+ R5 {& ^3 e  U1 ^
    - \8 `- a$ H9 ~& b
    差商与导数的关系
    8 N/ v' s5 H1 E) Q  a) n+ p$ F) h! t7 n

    # k) v. N. X+ e- \( I  N/ T  ?" M6 d& b( k% U4 ?0 t
    2.3  差分 :向前差分、向后差分、中心差分7 g7 n7 e  o8 F  G& T
    当节点等距时,即相邻两个节点之差(称为步长)为常数,Newton 插值公式的形 式会更简单。此时关于节点间函数的平均变化率(差商)可用函数值之差(差分)来表 示。
    2 t* b+ z9 M& N1 \1 L( r7 d& [/ G& t! t( a3 B+ a6 X

    ! N# U; m6 v+ _" O
      u; `5 @# V, |( H4 ~; \4 \; l0 s$ T8 P6 N5 I+ I3 S

    / ]  f: ~5 Q# K/ X差分的两个性质
    8 i/ B; v+ L  F7 m(i)各阶差分均可表成函数值的线性组合,例如 ( l" h1 |% r) E4 v; p. w! }+ G

    5 t. B- t7 f9 y' _9 @  E' c! }
    7 l3 a0 H( }+ k) w2 O9 o6 E( v' k. i) |( d  n& ^" ]- P
    (ii)各种差分之间可以互化。向后差分与中心差分化成向前差分的公式如下: 4 v6 I! T$ L4 ?  [3 m* w" R

    9 W- b2 i7 j% @! d1 M! H1 z: C9 ]2 B. [6 t6 B
    # o1 j& @7 R; O3 p
    2.4  等距节点插值公式  、 Newton 向前插值公式/ n- ^8 Z0 _" y; u- M9 P6 n

      x4 g+ d: X1 F# U- Z$ e6 q' \: _' q$ B9 h

    ; u) t* ^5 `4 g( X5 a3  分段线性插值 9 {- s; w( }1 l# u' `
    3.1  插值多项式的振荡
    * _4 G/ ^/ O' k. M* @  b( G4 F
    - Q( m: T( C9 S# Z5 e( Q/ ~8 m
    3 }5 y% B4 A8 p( t6 }3 e" a
    ' N; c/ B% Z  G1 z0 k# T/ Z* _/ f# E; P" M/ A: w
    高次插值多项式的这些缺陷,促使人们转而寻求简单的低次多项式插值。   z# G- x" g' r" U% `7 ]) Z' W

    4 P9 a/ m$ D. B+ ?3.2  分段线性插值
    # m4 R# S! Y) x" h/ E
    6 r$ R7 C; A" R5 h& d
    5 {- y  |& k4 h3 i( _5 `* Y4 b
    ' ~" T  ~7 k& E, Z! Z  D! F- h- K. B- G6 W3 s+ P, ^

    ; H! g3 f4 O! T2 e+ X4 h
    9 M( I2 @! Z  h- T/ g) c! z* c: P用   计算 x点的插值时,只用到 x左右的两个节点,计算量与节点个数n无关。 但n越大,分段越多,插值误差越小。实际上用函数表作插值计算时,分段线性插值就足够了,如数学、物理中用的特殊函数表,数理统计中用的概率分布表等。 * y8 r, l* B8 u* f6 k. K* U: m, }( k

    # w( U$ u1 ^2 q8 ?; A3.3  用 Matlab 实现分段线性插值
    9 t: X+ P  `/ a' K9 B4 P用 Matlab 实现分段线性插值不需要编制函数程序,Matlab 中有现成的一维插值函 数 interp1。1 c! \0 ]8 k9 T; B& D8 O- D6 W

    / L4 u, w% O" J8 H0 F6 |3 ~y=interp1(x0,y0,x,'method')
    0 M3 D6 V, A! E0 k' g
    1 m7 N6 `+ s& d9 k# cmethod 指定插值的方法,默认为线性插值。其值可为:! L& {9 c7 K" I2 m) d
    ' Q7 v& d0 f0 O7 H' Y; d1 j/ Y5 w
    'nearest'   最近项插值0 M8 s$ E) P+ I% Y
    3 ~7 `) `; Y1 `$ j/ t. V
    'linear'    线性插值
    6 p0 t$ |1 u6 g6 i) N  }
    7 z$ i% [; h9 y" f% E+ Q' y. m'spline'    逐段 3 次样条插值
    ' y6 h! f# b/ t2 J$ s
    0 d) N' G7 I0 {* R' w'cubic'    保凹凸性 3 次插值3 u; ^! P" n% {8 K+ z5 g

    - o- w% W8 l6 \: ^ 所有的插值方法要求 x0 是单调的。 当 x0 为等距时可以用快速插值法,使用快速插值法的格式为'*nearest'、'*linear'、 '*spline'、'*cubic'。
    9 a& l0 i- k% N7 S6 j) {
    , }! Q' d& e' J) H( `' D! B4  埃尔米特(Hermite)插值
    8 F3 S4 S  V" O5 f1 @% z* h0 P" t4.1  Hermite 插值多项式
    1 A; l3 |8 ]; k, |: x如果对插值函数,不仅要求它在节点处与函数同值,而且要求它与函数有相同的一 阶、二阶甚至更高阶的导数值,这就是 Hermite 插值问题。本节主要讨论在节点处插值 函数与函数的值及一阶导数值均相等的 Hermite 插值。 / M* G; i$ _: d/ c8 N& x' A. `

    " I) X( m5 _1 |" n. D, F# N- Q% u3 t4 J$ J4 u7 ~
    9 @& b3 R; ?+ T) c9 d3 |3 H8 p
    4 o% p+ g8 U, E' _# D& T$ U$ j

    9 B0 T" f% X) m0 W' o4 D4.2  用 Matlab 实现 Hermite 插值 , Z7 y' b7 J% Y- ^1 \
    Matlab 中没有现成的 Hermite 插值函数,必须编写一个 M 文件实现插值。 ; e' @; _; E  d' ~/ F( U' x# _

    + ?$ O* W* W: ^# ?, A$ |4 J- J+ O9 Xfunction y=hermite(x0,y0,y1,x); % Z2 a- d' ?+ q: x8 S+ V
    n=length(x0);m=length(x); 5 ~' k! J. l5 F2 y; V5 Y/ _
    for k=1:m    8 g# S6 d! H- E& B' I3 ?# }: o+ f! z
        yy=0.0;    ; h; L6 P7 g7 Y8 N6 o
        for i=1:n       ! H( c+ J7 |& p% M
            h=1.0;      
    ; E# l  ^  ]8 @        a=0.0;      
    0 A$ i2 \6 S; @7 d: {& t, u( T        for j=1:n         
    9 D# D  N1 t) r: h: z            if j~=i            
    0 ]8 D7 g9 _! }* g; D( A9 g# k1 l                h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;             $ ~0 }. ~8 |) n: O8 L; G3 n& \) O
                    a=1/(x0(i)-x0(j))+a;          ( j2 P( K+ U6 K' f& g
                end       ; H# O+ U& ^+ V: L; j/ k0 }5 E
            end      
      D. n! p# ^7 o. z        yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));   
      Y9 l% @. U2 y  n# d    end    ) l9 g6 q6 v* [9 c6 h5 [- ?+ @) w
        y(k)=yy; 4 v) c% P! N6 F- ]6 Q* D
    end
    8 b: i1 `. E8 R1 B0 T/ N; g! s
    0 n5 V5 J3 F  [0 E0 I9 t+ T- m( I: O( y  w; Z& z  ~
    ; ]- N9 |) V& [6 s( I4 D* a

    8 B2 A: ]2 k" I3 Q+ t" ?, n
    ' X& E6 \' n2 F2 [: a/ l5  样条插值! y! A; Y: |- }5 j7 z  s
    许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求,如飞机的机翼外 形,内燃机的进、排气门的凸轮曲线,都要求曲线具有较高的光滑程度,不仅要连续, 而且要有连续的曲率,这就导致了样条插值的产生。
    % T( j4 e, s! N1 s& S2 O) C. X6 R/ T4 B4 T1 {0 i
    5.1  样条函数的概念
    : B' U- [1 T9 X, s+ ~* z
    & b( K) O1 L  Y* @% j) v+ M所谓样条(Spline)本来是工程设计中使用的一种绘图工具,它是富有弹性的细木 条或细金属条。绘图员利用它把一些已知点连接成一条光滑曲线(称为样条曲线),并使连接点处有连续的曲率。
    - c* c2 w8 G+ M; Q
    5 t  \5 Q8 T* a% b! @5 k, U    内节点 、边界点、k 次样条函数空间  B& F! @  N8 B% M# B
    1 f' ?( y5 u4 v: C) m# w' I/ P

    ' F6 V+ u$ v- G8 Q+ j& {% P% V- p. x8 D, ^! G  j

    ) z7 r: y: D+ n* v0 T$ F; \, k  `( k) b( {+ Z
    & O8 L9 e4 G2 c- E
    二次样条函数
    + o7 D. p* w4 t% R0 s! g% `- h5 V. r) I
    / r* J4 n, S- H, u! {
    & s- O, `: Y3 I2 u7 h! K
    , t  L* _/ {+ B9 T) d5 c三次样条函数1 `; J1 r" L) H) E+ ^% K
    + L" z) B2 t. r% j( d

    . |7 [- H* \0 t! M5 r( v4 ^$ K% h) Z, v5 d; q6 U
    利用样条函数进行插值,即取插值函数为样条函数,称为样条插值。例如分段线性插值 是一次样条插值。下面我们介绍二次、三次样条插值。  ! |. @( [$ D" V0 S6 z  L% F
    + ^" Q7 \& I& l; ?% J
    5.2  二次样条函数插值  
    4 j/ E. W6 s9 @两类问题( q% _% n% J0 D1 T% C2 J4 y& ?

    ( ~  w6 t" j1 _) ~
    . f/ u3 z  x$ G9 h5 u5 a1 P  v  z& f* Y
    证明这两类插值问题都是唯一可解的
    : s5 N' L: j7 y% n& d% L7 y5 v# a, W- k8 X* ?1 c
    # M* C1 I. e' ]9 c0 e
    ) X0 ^$ y; M; e0 c: {7 z2 W% X( [
    5.3  三次样条函数插值 4 z! [) I2 K+ l, ~

    . Q5 M  H, j2 N! F) \
    . b4 m9 q  I2 m" Q/ ?, ~
    . d1 D! ^; [8 d$ R& K 3 种类型的边界条件:完备/Lagrange 、自然边界条件、周期条件 9 Q" a, U* _  |; {' Q$ k- S
    ; P- k1 g: N6 B# o$ b' O% o& o

    ; L! @: Y8 v& w
    3 `9 c  D6 s* b$ b5 v% G* g
    - _% w8 L; g: b( l
    9 G0 B8 r) G+ S. t6 }8 V5 _1 ?, T+ `4 a! u, z8 i+ g; l
    5.4 三次样条插值在 Matlab 中的实现 : i! K  h/ v( e2 B. _* S1 l, ]
    在 Matlab 中数据点称之为断点。如果三次样条插值没有边界条件,最常用的方法, 就是采用非扭结(not-a-knot)条件。这个条件强迫第 1 个和第 2 个三次多项式的三阶 导数相等。对最后一个和倒数第 2 个三次多项式也做同样地处理。
    0 ~: ?6 j- n$ S9 U  J- P" C- d1 V7 u3 j
    Matlab 中三次样条插值也有现成的函数:. H$ y* x. @7 s2 e# ^2 k: t
    y=interp1(x0,y0,x,'spline');
    + T0 P7 b; J3 \/ W& {, `: Z/ G- l9 N# U, c- d& j/ z
    y=spline(x0,y0,x);
    ' V% G9 _4 x2 a) l$ y# a9 S+ J$ {+ Y7 ^' _- c7 ~: O. U' [1 i
    pp=csape(x0,y0,conds),y=ppval(pp,x)
    7 E1 B3 x4 _! ^. y$ T: ~* U5 A$ U4 w3 w( C, D: n! H$ Y5 e

    7 Q/ n( b0 Y& E( [: y# _
    . Q& ~* U8 _' W+ o8 A其中 x0,y0 是已知数据点,x 是插值点,y 是插值点的函数值。 对于三次样条插值,我们提倡使用函数 csape,csape 的返回值是 pp 形式,要求出插值点的函数值,必须调用函数 ppval。& Y, S0 H1 F' O6 W8 ]* Z5 D7 j
    . {( V7 J) m  X
    pp=csape(x0,y0):使用默认的边界条件,即 Lagrange 边界条件。7 W% _; b* m6 z2 T% U; m: c5 l: X
    , O- e) t! T  L2 f! }
    pp=csape(x0,y0,conds)中的 conds 指定插值的边界条件,其值可为:
    # d3 {" U: c& ^6 ]7 \+ ^% }/ r7 s4 {
    'complete'    边界为一阶导数,即默认的边界条件
    2 d4 j. q0 c! j/ y6 v'not-a-knot'   非扭结条件  & _) I- X- D0 }# M0 i' Z( N- r% H
    'periodic'     周期条件
    - b+ R6 Q/ j, E! R+ E/ [0 o, l6 ['second'      边界为二阶导数,二阶导数的值[0, 0]。
    " V& ?8 k5 ~, W4 D( X. h/ _/ v'variational'   设置边界的二阶导数值为[0,0]。
    / `* k; u8 X% o/ Y  {* g0 f对于一些特殊的边界条件,可以通过 conds 的一个 1× 2 矩阵来表示,conds 元素的 取值为 1,2。此时,使用命令
    6 y! _8 M. l9 |% a2 T4 G- @0 r. b. w/ s1 V7 Q) A5 @% V6 H% y9 P$ R9 B+ S
    pp=csape(x0,y0_ext,conds)
    . t! h, G# H7 L  A  m
    4 Y! I& S' g5 R* f1 R; z
    ; O5 v* z3 q7 P9 X# u
    & B- s% g. Q+ T+ B  n
    5 |: j. h9 T; o9 y- l8 f! j8 r" R其中 y0_ext=[left, y0, right],这里 left 表示左边界的取值,right 表示右边界的取值。# t6 h& N7 ]5 D9 A7 P+ T
    ' j+ I" `* z9 J1 v! G$ t
    conds(i)=j 的含义是给定端点i的 j 阶导数,即 conds 的第一个元素表示左边界的条 件,第二个元素表示右边界的条件;
    7 b; P3 ~( |0 v- A
    ' Z, Y0 s( t( E# N" L: Y( y0 Y" `/ J+ F2 \conds=[2,1]表示左边界是二阶导数,右边界是一阶 导数,对应的值由 left 和 right 给出。
    + r1 m( V1 Y: _: ]# K7 H' F6 g- k7 n
    详细情况请使用帮助 help csape。 3 m; |/ G& h2 k" }$ p+ _' ~, d

    . t, n, u& N" P7 M1 L例 1  机床加工 : L8 R3 r9 N6 X7 @9 K& m; n

    $ {# d  E7 }, m3 |9 t7 y3 i$ z8 v2 C5 @  t
    - j. M7 X" z" w- N: a4 C7 B5 {
    解  编写以下程序:
    , [0 N- P1 }! J7 Zclc,clear
    6 r. x. j- F% G" |- ux0=[0   3   5   7   9   11   12   13   14  15];
      [% z9 z. }% p' V$ Q5 }  i" q$ Vy0=[0  1.2  1.7  2.0  2.1  2.0  1.8  1.2   1.0  1.6]; . V  ?" b8 L7 A) J6 B
    x=0:0.1:15; 6 }- a* G: n3 a" @. d, T
    y1=lagrange(x0,y0,x);  %调用前面编写的Lagrange插值函数 - C: G- Z6 F" E2 O9 B
    y2=interp1(x0,y0,x);
    8 J" [' p( }, }. `3 A2 s2 Wy3=interp1(x0,y0,x,'spline');
    5 C6 W0 h+ ]* I3 A3 i3 app1=csape(x0,y0); 7 |" s6 w6 q5 b' C
    y4=ppval(pp1,x); . G! V: x; U  F9 p: e# n, K
    pp2=csape(x0,y0,'second');
    + O- @. ]* u5 N0 ~2 N6 D2 e, o7 Ty5=ppval(pp2,x); ; n/ w4 ^" M, }' M' m
    fprintf('比较一下不同插值方法和边界条件的结果:\n') " k  a' ?  k1 |! K7 T1 ?' b0 `
    fprintf('x     y1      y2      y3      y4     y5\n') : x% }0 v0 e6 R" S) H. H
    xianshi=[x',y1',y2',y3',y4',y5'];
    , [* O* b. |( ~8 E: u$ m( n( Yfprintf('%f\t%f\t%f\t%f\t%f\t%f\n',xianshi')
    0 g! V. Z; |0 S2 L0 Ssubplot(2,2,1), plot(x0,y0,'+',x,y1), title('Lagrange')
    4 H  S* s- o( q) D( ]' }# D2 e! Qsubplot(2,2,2), plot(x0,y0,'+',x,y2), title('Piecewise linear') 7 E! P% N5 C$ z7 D' y+ y6 B
    subplot(2,2,3), plot(x0,y0,'+',x,y3), title('Spline1') 3 X5 \9 E0 L. W. C, a
    subplot(2,2,4), plot(x0,y0,'+',x,y4), title('Spline2') 0 g  L: E) ?4 B! R# @/ s! e& }$ Q
    dyx0=ppval(fnder(pp1),x0(1))  %求x=0处的导数
    : [! A6 i4 \0 Jytemp=y3(131:151); - P7 ~" K( U* L
    index=find(ytemp==min(ytemp));
    ) B) O% [8 m* E' sxymin=[x(130+index),ytemp(index)]
    1 |, Y7 L- e5 k$ Q: c  i! W0 S5 S1 C5 }! L; z6 f6 v
    计算结果略。 可以看出,拉格朗日插值的结果根本不能应用,分段线性插值的光滑性较差(特别 是在x =14 附近弯曲处),建议选用三次样条插值的结果。 * }2 i* P) }" y2 u

    3 [& B  X# E6 F6   B 样条函数插值方法
    6 _. P% ~5 F* x' R8 W6 J6.1  磨光函数 6 \6 G; Q  H* S9 g
    实际中的许多问题,往往是既要求近似函数(曲线或曲面)有足够的光滑性,又要 求与实际函数有相同的凹凸性,一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于 一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数(多项式),则用磨光函数构造出样条函数作 为插值函数,既有足够的光滑性,而且也具有较好的保凹凸性,因此磨光函数在一维插 值(曲线)和二维插值(曲面)问题中有着广泛的应用。 由积分理论可知,对于可积函数通过积分会提高函数的光滑度,因此,我们可以利 用积分方法对函数进行磨光处理。 5 N( f0 V: I, Q3 V( e( x$ A2 \
    0 d: r( e3 p  u* z$ k% b: z) }8 l
    ! w3 J6 r6 A3 _* b7 f6 s

    " \& y: u! i, O. C  V+ x6.2  等距 B 样条函数 5 Y. W1 D, Y$ ^6 j2 g( [
    / T: O; Z, o+ n. l- v
    9 b) A3 ^- u$ ^. v) @  w! N

      A3 t2 {& Z. l3 p! T+ ]9 t0 V6 L
    , N- J9 e/ H- H
    8 [# ?' F& @  S9 \, V& T- n0 G! [8 F9 r
    . E0 O* v% G7 a( ]

    6 C& ~0 d, g% t0 s6.3  一维等距 B 样条函数插值
    ; \0 ?2 L; ^" e3 W: G等距 B 样条函数与通常的样条有如下的关系: * K& }4 V' D3 b; s+ `# `
    1 i2 |  H8 F6 a* y' s$ F  Y1 P- c4 Y$ a
    8 H) ?* {: @  H; @  t& z
    . R9 M5 p# h$ L3 K, ~. J# T

    / z& P$ D' z) I! ]% B% ~& s
    ( B) l7 U$ R' n  K  d9 V9 \- ]8 w# |

    7 N7 ?2 k& J' V- R6.4  二维等距 B 样条函数插值 & H% p" l3 _7 X) l; |
    & R, J2 W/ U. e- c: p3 s* D

    ' p) e- J0 h0 M/ R  V2 g" [; D5 G1 [
    7 二维插值 ! G* B5 ~8 L/ R( {
    前面讲述的都是一维插值,即节点为一维变量,插值函数是一元函数(曲线)。若 节点是二维的,插值函数就是二元函数,即曲面。如在某区域测量了若干点(节点)的 高程(节点值),为了画出较精确的等高线图,就要先插入更多的点(插值点),计算这些点的高程(插值)。
    8 x/ f4 ^# v, S1 x) t7 r% L' t. [9 B2 B6 I! w& i6 b
    7.1  插值节点为网格节点
    6 y0 L4 U' U1 x$ H7 a" ^8 ~/ V; t% |) [
    9 b- k0 C7 b( K  K
    . h7 F- M/ @! W8 Y5 n$ M
    Matlab 中有一些计算二维插值的程序。如  5 B/ _( r! [  U! E9 i, m
    4 Q5 }: c& Y6 i1 C% R% {

    ! w3 M( h8 F& zz=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method') * D5 h* [. n# j7 T
    5 i+ F) K# s1 }. g
    3 x7 O. t1 a3 O1 F* e
    : J9 [' w9 t3 a. u0 w4 @

    6 N8 l- O9 v, @4 c1 n( f. g, P2 ]- Y, ~; ^' J% ]: {

    9 g( Q% ~8 h  r: \4 }; g. p如果是三次样条插值,可以使用命令
    : R- y  ?7 {- }3 @4 ?$ s" P+ ^4 `4 W( ^
    pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds),z=fnval(pp,{x,y})
    : x: c. D+ x& c3 [; `' p
    & c8 n' i0 o6 y+ y% x* U: L
    / v; u" i( M9 M8 {9 ^- a9 ]: i: E7 a0 i' M7 R: x
    clear,clc
    " l9 \5 O8 ]% I; E  {4 ax=100:100:500; $ E0 K3 D- O) A# M- i) h# j3 a
    y=100:100:400;
    1 V' P5 Q) c6 v  e+ pz=[636    697    624    478   450      6 c9 q+ P6 N: U0 r! p
       698    712    630    478   420
    ; B" P0 h7 d+ S) D   680    674    598    412   400   
    1 `$ \# m% ?# @7 O  s/ I   662    626    552    334   310]; 8 R6 a) n. c& u) z
    pp=csape({x,y},z') 1 S; j; `( T2 d& j
    xi=100:10:500; yi=100:10:400
    : B1 W% _  X5 V5 V' r% k7 X8 jcz1=fnval(pp,{xi,yi})
    0 ]7 Z1 t2 v9 H8 A% O3 z8 ?$ Jcz2=interp2(x,y,z,xi,yi','spline') 8 c  Q+ Z4 O! P. {8 C8 @
    [i,j]=find(cz1==max(max(cz1)))
    $ q1 Y% W$ n- O# ?& o) Bx=xi(i),y=yi(j),zmax=cz1(i,j) 3 T9 K0 h# n" j* j( s9 y/ w

    % D  ~  X2 U( @
    ) g' G1 l5 r3 d2 {  I0 ]% p* c( R
    ; t. H/ j; @6 V' u7.2  插值节点为散乱节点

    对上述问题,Matlab 中提供了插值函数 griddata,其格式为:


    0 p+ X* Q1 t- {' KZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)
    1 X6 ?- p8 n5 ^% B$ z
    ; `& q& X7 g2 L# q5 F- U) u9 {3 l$ S  o- o" _

    ; n" X5 Q3 L' b
    ) d1 L, H1 Z2 _% \# P
    + y' ^: C+ N0 V3 C* r, b) i6 e6 v1 O

    3 D9 M' g8 n5 ^, I+ [! C0 A3 e例 3  在某海域测得一些点(x,y)处的水深 z 由下表给出,在矩形区域(75,200) ×(-50,150) 内画出海底曲面的图形。 ( Y" K0 g: v) I! J3 H6 p0 ?0 N
    / [  L6 {6 d( n7 x' \+ Y

    " {/ M9 K0 p; i# ]/ r; |( u- ^6 @
    解  编写程序如下: * U: m; Z1 _+ h! f4 F
    0 s. z* \4 O0 j' \# ?/ K
    x=[129  140  103.5  88  185.5  195  105  157.5  107.5  77  81  162  162  117.5]; 3 F" c; f+ i7 r: U
    y=[7.5  141.5  23   147  22.5  137.5  85.5  -6.5  -81   3  56.5  -66.5  84 -33.5];
    ( N5 D! h' v3 Y2 N- uz=-[4     8    6     8    6     8     8     9     9   8    8    9    4    9]; , G% O+ _$ @2 g/ ~9 V+ M5 K9 \, k
    xi=75:1:200; 1 \# j9 Q5 h. z( S6 m/ }$ B' k
    yi=-50:1:150;
    . n  w9 F+ J6 Z. o- mzi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic') 9 x+ g& R  p0 [+ P
    subplot(1,2,1), plot(x,y,'*') # x. X9 Z, O1 G% d1 J4 S1 m* D
    subplot(1,2,2), mesh(xi,yi,zi)
    ' t1 `; a" D1 c! O- s' L; U5 `8 ]8 e, v/ r, g4 [8 p+ x1 K$ m# \: C

    2 p, h9 u4 {9 e/ r1 W4 h0 B& `习题" r) ]! ]9 o) A0 Z: R. G0 @

    ; E( o, Q' L. V/ W. e
    0 F5 @" w8 ]. Q3 Q3 @  c6 W4 x1 h4 q: S+ Y) k, t" v$ m

    * O+ p' p; r  L! J6 B————————————————
    % Z$ `* r+ x- L: K( r6 {版权声明:本文为CSDN博主「wamg潇潇」的原创文章,遵循CC 4.0 BY-SA版权协议,转载请附上原文出处链接及本声明。& v: |5 }- P  l+ L
    原文链接:https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/895041795 ]8 b9 m  w/ ]( a# k; W
    7 e$ `8 U* Q3 Y; v8 L: x
    6 G5 b  Z3 g+ D8 j4 ^
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