马尔科夫链

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马尔科夫链（Markov Chain）是一种数学模型，用于描述一系列可能的状态以及状态之间的转移概率。该模型基于马尔科夫性质，即当前状态的转移概率只与前一个状态有关，与更早的历史状态无关。

马尔科夫链由以下要素组成：

• 状态集合（State Space）：表示系统可能处于的各个状态。用S = {S1, S2, …, Sn}表示。
• 转移概率矩阵（Transition Probability Matrix）：表示状态之间的转移概率。对于任意两个状态Si和Sj，转移概率为Pij，表示从状态Si转移到状态Sj的概率。
• 初始状态概率向量（Initial State Probability Vector）：表示系统在初始时刻处于各个状态的概率分布。用π = [π1, π2, …, πn]表示，其中πi表示系统初始时刻处于状态Si的概率。
  

马尔科夫链的演化过程可以通过状态转移来描述。在给定初始状态概率向量π的情况下，根据转移概率矩阵进行状态转移，得到下一个时刻的状态。这个过程可以连续进行，形成一个状态序列。

马尔科夫链具有以下性质：

• 马尔科夫性质（Markov Property）：当前状态的转移概率只与前一个状态有关，与更早的历史状态无关。这意味着过去的状态对于预测未来的状态没有影响，系统的行为完全由当前状态决定。
• 状态可达性（State Reachability）：对于任意两个状态Si和Sj，如果存在一系列状态转移使得从Si可以到达Sj，那么称状态Sj是可达的。
• 平稳分布（Stationary Distribution）：如果存在一概率分布π*，满足πP = π，其中P是转移概率矩阵，那么称π*为马尔科夫链的平稳分布。平稳分布表示状态在长期演化后的稳定分布情况。
  

马尔科夫链在许多领域有广泛应用，包括自然语言处理、机器学习、金融等。它可以用于建模和分析具有随机性和状态转移的系统，预测未来状态、计算平稳分布、估计转移概率等。通过马尔科夫链的建模和分析，我们可以更好地理解和描述系统的行为特征，并作出相应的决策和预测。