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爬山算法

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发表于 2024-4-26 15:44 |只看该作者 |倒序浏览

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使用爬山算法优化简单的数学函数

假设我们需要找到函数 𝑓(𝑥)=−𝑥^2+4𝑥的最大值。这是一个具有单个局部最大值的简单抛物线函数。

步骤 1: 定义目标函数

首先，定义我们需要优化的函数。在MATLAB中，我们可以创建一个函数来计算给定x值的 𝑓(𝑥)。

function y = myFunction(x)
* |- f( X/ `9 y$ b
y = -x^2 + 4*x;
4 O' {& C* y! V) P7 \# r, e1 t4 J
end

步骤 2: 实现爬山算法

接着，实现爬山算法。我们从一个随机点开始，然后在每一步尝试移动到一个“邻居”点，如果那里的值更高，就移动到那里。

function [bestX, bestY] = hillClimbing(func, initialX, stepSize, numIterations)
& ?! K9 B1 C. p$ P3 N- v7 Z
currentX = initialX;& A8 ^9 W8 R7 k- N- b8 ~: G
currentY = func(currentX);
5 a4 ?! n! K9 F! y/ D3 u! y
for i = 1:numIterations( D4 c o8 h\\" N\\" y7 [. h
% 尝试在两个方向上移动
$ {: W g7 ?0 D& T F
newX = [currentX + stepSize, currentX - stepSize];
& K1 C1 {& N: O! f\\" p# `% ?
newY = [func(newX(1)), func(newX(2))]; ^: y% Q0 a# m# E8 [4 R( n7 y
g$ h# C z! p! \
% 找出最好的移动方向
# U* M4 Q. c* h' v. p7 X8 W: k
[maxY, idx] = max(newY);
/ C7 X5 ~* y/ h: | K3 K
& f; Q4 s$ G9 ]$ p! b
% 如果找到了更好的解，则更新当前解\\" M- P+ ^$ A+ @' h. ~
if maxY > currentY
# G# {3 a. R\\" ^' Z! G/ x! u
currentX = newX(idx);
7 i% j9 \3 ^0 r: l9 c, E0 g
currentY = maxY;# T. O; X6 k1 f
else
4 ~+ T( Y5 Y9 N6 Y' {% ]\\" f
% 如果没有更好的解，结束搜索
7 J& T; b( u/ F8 i: J- f+ ]6 v
break;
- y( z/ A' ~2 K, Z+ w8 }2 m+ c2 ^
end\\" _7 B; D3 x# j5 b. i/ G
end9 b0 M! m3 V2 j: b; o3 f
bestX = currentX;
$ G4 P; A* h6 |+ W& i& B. `2 h
bestY = currentY;
( y1 X: v& }7 b2 q; |- ?* _
end
& X! j% P$ {) H$ J+ k& S- e( r
% b& [- E2 {* L7 L
% 运行爬山算法+ w9 k4 q( E7 \; G
initialX = 0; % 初始点! p, R5 W+ \' b+ ?. z [0 A
stepSize = 0.1; % 步长3 Z7 j/ |& C, T+ d
numIterations = 100; % 迭代次数7 r( E. \% p\\" M: b8 `5 D
[bestX, bestY] = hillClimbing(@myFunction, initialX, stepSize, numIterations);

function [bestX, bestY] = hillClimbing(func, initialX, stepSize, numIterations) 
& ?! K9 B1 C. p$ P3 N- v7 Z
    currentX = initialX;& A8 ^9 W8 R7 k- N- b8 ~: G

currentY = func(currentX); 
5 a4 ?! n! K9 F! y/ D3 u! y
    for i = 1:numIterations( D4 c  o8 h\\" N\\" y7 [. h

% 尝试在两个方向上移动 
$ {: W  g7 ?0 D& T  F
        newX = [currentX + stepSize, currentX - stepSize]; 
& K1 C1 {& N: O! f\\" p# `% ?
        newY = [func(newX(1)), func(newX(2))];  ^: y% Q0 a# m# E8 [4 R( n7 y

g$ h# C  z! p! \
        % 找出最好的移动方向 
# U* M4 Q. c* h' v. p7 X8 W: k
        [maxY, idx] = max(newY); 
/ C7 X5 ~* y/ h: |  K3 K
        & f; Q4 s$ G9 ]$ p! b

% 如果找到了更好的解，则更新当前解\\" M- P+ ^$ A+ @' h. ~

if maxY > currentY 
# G# {3 a. R\\" ^' Z! G/ x! u
            currentX = newX(idx); 
7 i% j9 \3 ^0 r: l9 c, E0 g
            currentY = maxY;# T. O; X6 k1 f

else 
4 ~+ T( Y5 Y9 N6 Y' {% ]\\" f
            % 如果没有更好的解，结束搜索 
7 J& T; b( u/ F8 i: J- f+ ]6 v
            break; 
- y( z/ A' ~2 K, Z+ w8 }2 m+ c2 ^
        end\\" _7 B; D3 x# j5 b. i/ G

end9 b0 M! m3 V2 j: b; o3 f

bestX = currentX; 
$ G4 P; A* h6 |+ W& i& B. `2 h
    bestY = currentY; 
( y1 X: v& }7 b2 q; |- ?* _
end 
& X! j% P$ {) H$ J+ k& S- e( r
 
% b& [- E2 {* L7 L
% 运行爬山算法+ w9 k4 q( E7 \; G

initialX = 0; % 初始点! p, R5 W+ \' b+ ?. z  [0 A

stepSize = 0.1; % 步长3 Z7 j/ |& C, T+ d

numIterations = 100; % 迭代次数7 r( E. \% p\\" M: b8 `5 D

[bestX, bestY] = hillClimbing(@myFunction, initialX, stepSize, numIterations);

步骤 3: 输出结果

展示算法找到的最优解。