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起作用集法解决二次规划问题

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发表于 2024-9-25 16:32 |只看该作者 |倒序浏览
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起作用集法(Active Set Method)是一种用于求解约束优化问题的有效算法,特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。
6 R  _' s3 K- o1 q0 q# m( ]
8 n! L. M2 D. n! `% a### 二次规划问题的形式" `( d( q. e' {, j7 E( x- q
9 C9 T( D* M5 x
二次规划问题通常可以表示为:( X! ]. P8 ~( n  K# B) a
. I6 p: D* g2 P4 C% C
\[
3 X# A7 w: p9 q2 u( v8 ~+ r\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x
4 x- p3 u9 B7 E+ T2 y\]
1 m' I6 ~& \1 J/ b* j( W2 @1 `  {1 n7 `
6 e1 E  m9 [( _约束条件为:
* g. K2 x2 J) ^( L  m. {
& D" A4 j$ y% r\[! P! e# m: X* s; A- Y+ @' M: m
Ax \leq b4 L8 t& V7 u, v) [
\]
: }) g8 i, P- G0 H" ?  j/ A$ m/ V, N5 s
( x. f: C! C. l" j2 |& ?) U\[- a9 h! e/ f% v6 }
x \geq 0. ~3 D1 Z% ?$ H7 z6 c& P
\]* R; H  A, D( }+ g' H0 a

. I1 U: w" u; T2 ~其中,\(Q\) 是一个对称正定矩阵,\(c\) 是一个向量,\(A\) 是约束条件的系数矩阵,\(b\) 是约束条件的右侧向量。
/ X5 G  b( z% a8 z% F: D; H9 U2 o' W% W7 K
### 起作用集法的步骤, n% Q: x  ~0 C  |" F* K/ k
* {' I% r* t- l
1. **初始化**:# s0 d  [5 [* D. {: x" x
   - 选择一个初始可行解 \(x_0\)。: i4 V' a4 W+ L( }6 w* L; m7 M
   - 确定初始的起作用集(即当前活动的约束条件)。
  ?/ V$ f* }8 D3 R! C& o) D" o/ d: B2 z& b1 W
2. **构造拉格朗日函数**:1 D1 V7 O/ ]" z, T* N7 }4 L
   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数:4 r) m: A7 }) f6 j9 R4 o4 l

6 m& k$ m7 }- o4 W9 e   \[, ?0 U3 J; X6 _, p% H0 R
   L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax)9 N5 t- [  u7 P+ p' o8 J
   \]
+ O; L) R' P: t2 |7 t  ]% P3 C* R- M9 Q! F4 o* ^( v, A8 f1 j
3. **求解一阶条件**:
: o' }' j) ^2 s% O. s  B- Z; |   - 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数,并令其等于零,得到一个方程组。0 i# ~& ^) d: Z& |# m6 A) B

! z- x; [* X/ |: c4 s4. **更新解**:2 ]9 M2 ]3 z; H
   - 通过求解上述方程组,得到新的解 \(x\)。
( G. X$ T$ y: e2 Y. e   - 检查新的解是否满足所有约束条件。* c# S9 ?% U: j) t5 m% K* z

5 T5 }# G* k6 ^- q5. **更新起作用集**:
3 I0 t) ~/ Q( P& m6 e   - 如果新的解违反了某些约束条件,则将这些约束条件加入起作用集。' G( K" y, O, ]9 f. S0 X
   - 如果新的解满足所有约束条件,则检查是否可以退出当前的起作用集。
) \, ]' G$ Y/ B5 G; N# g/ J/ O4 X3 ~: J9 w/ D& w! H  A" g5 c# ^
6. **迭代**:
, g4 ~0 ~3 z% C, Z   - 重复步骤 2 到 5,直到满足收敛条件(例如,目标函数值的变化小于某个阈值)。
, Z( M, N" a3 ^8 l/ s
7 ]8 |9 x+ d; `) }' A& n0 k, U7. **确定最优解**:
! X$ y7 q% t* W. U5 ~   - 当达到收敛条件时,当前解即为最优解。
: S; V2 Y4 L$ j7 `$ E  S* Y  v" k! P$ E1 q7 r/ U
### 示例6 N7 j# l+ B& L+ }) D" P) N, c& m

" a* J0 ]$ `3 Z6 H% C0 b4 I假设我们有一个简单的二次规划问题:, ^: X; N# B* C
: J" e8 j7 v8 |2 `$ z2 ~% B
\[4 r( T' \0 {1 t' N
\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^2$ A" V% B0 J4 M! X- s
\]
* X8 T3 q7 }/ a$ |+ ~8 `/ x$ M9 P
约束条件为:
& U. K( T. u& Q! b5 q. ~
. l- O% H6 @6 c  P( R$ u+ r\[
0 j, X/ `, q8 T% k8 ]9 R: tx_1 + x_2 \leq 1
5 Q: ?0 `4 O3 k\]
" U: C7 i2 j8 S5 s
5 Q  R: F$ U! s\[+ \9 F; N; Q9 D/ X& C
x_1, x_2 \geq 06 B0 C4 B9 r0 r3 @6 Y  R" K2 [
\]
6 {. _# Y; E& Z" w7 H2 }( v) E! m2 K" Q% i9 C7 o
**步骤**:
: N8 c# t7 n7 I* `  @7 W" o& u: i- \) `$ t9 ~, ]
1. **初始化**:9 U0 F( e, U2 o9 O) o6 Z" w: {
   - 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\),起作用集为空。& ^7 D( M3 |- r. \

) e5 u: O% t, c2. **构造拉格朗日函数**:
: j8 V6 u" H  N" Y: s9 ~' G   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数。( x! w* _. a' E; O0 ^
0 v6 C$ R  r' X0 Z) c& X, {2 O/ m
3. **求解一阶条件**:( t+ U7 K4 ^" f! a: j6 [
   - 计算偏导数并求解。0 N. N( }. S. @% c
& o! E4 `( r) g  j& u
4. **更新解**:- N. p9 v* U, w$ W, O
   - 得到新的解 \(x\),检查是否满足约束。, C( l- {' f9 G6 [+ z( Z& m% [

& A3 Y+ Q4 I( b# j4 g5. **更新起作用集**:/ h' \: P2 u2 j- @0 r5 e
   - 如果 \(x_1 + x_2 > 1\),则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。9 I* o$ \1 w5 b9 G: K
1 S* ]* U0 \/ l9 R0 v
6. **迭代**:9 z: C; R* o9 }; H; u/ i
   - 重复上述步骤,直到收敛。. o. `; d0 l$ T. j

7 H5 H" w9 j" x( B% }/ `/ z# l7. **确定最优解**:0 k2 s4 J' @- V5 t  q' i, a
   - 最终得到的解即为最优解。. t' C! B7 R6 M  H+ a) ]
* ]- q( Y4 [2 I6 W: G
### 总结( @4 E' X0 _% |, d4 t0 n+ k8 O
! n6 c. o& K! t! w; z
起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法,通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题,尤其在约束条件较多的情况下表现良好。0 i! Y3 |- t1 Q+ N8 {1 z

& j- [+ H( i- w" y! M8 i
* H6 M' C' }0 U+ {1 E) t2 _; V1 l, h7 M; [1 V/ E/ q

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