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起作用集法(Active Set Method)是一种用于求解约束优化问题的有效算法,特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。7 h0 m+ {. Y/ H
$ f' x; P5 L, P9 V3 _+ x### 二次规划问题的形式' K4 q4 @& ^4 o3 |- g
5 B# `+ T* `& \9 ?
二次规划问题通常可以表示为:
7 V: }' J# {9 G6 [" ^* t; f
0 B( i( ?; J1 m/ r1 d, @( S3 z\[# H1 W$ T; n& t; b, ]
\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x" T7 y) _) b. k3 A% @8 m. y" N
\]
" B$ J! L7 B F$ M# o/ l" ~. X. m6 F
约束条件为:
! H, T& ]5 G* k4 t/ D0 ^
4 C* Z5 L( P+ T/ C\[) J' e2 w; G: a' x5 e5 J
Ax \leq b
7 b' N3 E. j8 {/ M$ P\]
8 Y* k6 O2 C7 n! M, V _, D. e1 e! D( _4 n4 P/ e( p
\[
7 s: Z9 _4 y0 ^, lx \geq 0
8 t6 P* W6 E/ R; \9 a `* @\]% P; F; P B2 ^
3 T2 ^" c3 \% g/ V其中,\(Q\) 是一个对称正定矩阵,\(c\) 是一个向量,\(A\) 是约束条件的系数矩阵,\(b\) 是约束条件的右侧向量。
: x; E- L# G# {! I+ ]
$ Y! P8 O' G- @1 w9 P8 E; U8 W### 起作用集法的步骤8 `3 C& H5 d7 A8 Q. S
2 p5 w+ a9 i$ R& Q0 g) E. ~
1. **初始化**:, |" W$ B" w, Q( c5 A& ~
- 选择一个初始可行解 \(x_0\)。, T1 ]+ h& I0 Z
- 确定初始的起作用集(即当前活动的约束条件)。
/ p, D2 \" q' h3 S% ^) y% A
5 _8 V3 P1 S7 ?% E) Y" ]2. **构造拉格朗日函数**:2 E; M5 i7 L+ j5 z, C/ w7 }
- 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数:
1 L$ t" Z' {" r5 ]9 Z! W$ o, v- F8 m9 k$ L- X4 G. O0 H
\[; m. ?! V5 ^/ m# K# P; l
L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax)
+ u0 z; x4 F# J+ r J, W \]3 B$ |2 h. O' S/ S
L+ `$ _) b+ _6 h
3. **求解一阶条件**:, m" M6 m' H& D: r1 p& m
- 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数,并令其等于零,得到一个方程组。
6 ^' W6 \1 ?7 Y2 `6 E
2 w2 q4 T2 A% i4. **更新解**:
: ~4 ~4 ?/ L; o4 @* a8 \( ^ - 通过求解上述方程组,得到新的解 \(x\)。
4 x6 y" [" N5 M& e( R" S - 检查新的解是否满足所有约束条件。9 |$ k2 O+ A8 B$ v3 Z* f
; X0 x! w4 ?9 H6 O* T$ ?
5. **更新起作用集**:, T! q2 B) O! H _ M
- 如果新的解违反了某些约束条件,则将这些约束条件加入起作用集。% q! n1 _) F7 s: u) @ n
- 如果新的解满足所有约束条件,则检查是否可以退出当前的起作用集。
) }. w7 J7 V4 N! Q/ q7 R" [1 R) {( G8 t+ e* m! C: i" k2 y+ P
6. **迭代**:
0 J2 E* _& H, j% Q - 重复步骤 2 到 5,直到满足收敛条件(例如,目标函数值的变化小于某个阈值)。
9 L# n, Z; x6 |8 i) v2 V" \* }7 D I7 ?1 M6 q! Y! A$ l' S$ U& g
7. **确定最优解**:
$ G" W% C7 F3 `# y, J: F - 当达到收敛条件时,当前解即为最优解。
9 ?$ K# H$ w$ D7 l) e0 I( |. ^
% F6 H& M! b1 Q) `. L) O### 示例
d/ O( y. f1 T* B2 O! l6 ^
6 A5 S- W0 v0 p: J g假设我们有一个简单的二次规划问题:* i/ W* l9 F1 p5 \5 _$ T
" `; F/ x3 r( W0 F6 e. J
\[
% D7 c' E+ l* R7 R\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^28 H: ?6 _2 `: C6 R1 v! `
\]
' w9 Z% G, |" K! s; O4 N4 q) u3 g$ \/ d# `
约束条件为:
" O. o: Y, b# f! D/ Z
5 A* k& n9 L5 M9 a2 z. |0 H* M\[" a" f' l+ F5 V5 K
x_1 + x_2 \leq 1
4 Y9 Q& @6 b3 E l/ {, {\]; Q$ o9 i& Q# c
% h: V o9 X, k: R; a1 `1 T
\[. S: ]+ p w; H& e% E& o
x_1, x_2 \geq 0
& s6 o. h! F) y9 q. s1 O% S\]" g! T* x _$ ]6 J
% _1 m0 T/ z, Z! i
**步骤**:
9 @; h/ Y7 t8 b+ u5 x# G- ?" c
5 V2 ^% U, w9 e* @% }1. **初始化**:0 d' Z: W/ b3 P. Y: F; Z& }3 e
- 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\),起作用集为空。
5 A: e9 ]) D' ^3 d" G' o# t% ?. i$ p# J- r
2. **构造拉格朗日函数**:
2 Z9 o% G# Q! C$ ~# r+ { - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数。
* i- m! q2 [ W8 y1 a0 s j. H% v
0 _! d, y x: v% D3. **求解一阶条件**:: f y! w8 K6 Z0 d- k$ r
- 计算偏导数并求解。9 g; s$ p* o* I9 K6 o
. F) t# M1 a5 \: P
4. **更新解**:
8 {" Y$ ~' s1 U* \2 i" d - 得到新的解 \(x\),检查是否满足约束。4 p( m! M! v. L# N h) }( N
( z& }0 s, G5 n) U. j; s) z
5. **更新起作用集**:3 z: }% f: } G- |
- 如果 \(x_1 + x_2 > 1\),则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。" w' T- Q( H$ X) |3 t b" Q
2 L2 o3 W& L3 f( k( f% z6. **迭代**:3 s7 `! E0 x4 u4 G4 B* g
- 重复上述步骤,直到收敛。
7 \8 u( x" ]$ [- J9 x, Q( t4 o- ]; m9 n0 E4 I* ~" Q/ R" I" h
7. **确定最优解**:7 k9 R; G+ o- a/ ?9 x8 G# V7 {
- 最终得到的解即为最优解。
2 M, q" d2 v. c6 J2 A/ g5 T1 k3 T$ U7 @( ?9 M7 D; C$ g5 n
### 总结
* N/ W4 p p$ F" `$ A9 W+ e% l5 I2 P9 O! N# G. E1 e0 m; V( b
起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法,通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题,尤其在约束条件较多的情况下表现良好。
3 Q2 G0 b v/ @& S, `& `. ]" r3 t. \7 _; r
2 d9 K( M9 ^. T, p
$ H I1 p( y9 Y+ \0 [
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zan
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