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起作用集法解决二次规划问题

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发表于 2024-9-25 16:32 |只看该作者 |倒序浏览
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起作用集法(Active Set Method)是一种用于求解约束优化问题的有效算法,特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。  F5 Q* ~5 f; A& b4 a

* U4 h2 k+ D1 D# y### 二次规划问题的形式
1 P' w9 A6 h1 k4 V8 |& E1 ~7 ~/ u  @6 r' X2 O
二次规划问题通常可以表示为:+ I- r$ I, ~( H. ]5 C  l' h
  t% H, H' u0 x: P7 _" ~% L3 |6 R
\[7 k4 H& ~$ P5 W& c, |2 i- ^
\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x% v4 k6 W8 z, n& q) G
\]
1 T9 |+ [3 U* O! J8 S9 Z. ~5 u; V5 n) a: T* [5 y
约束条件为:" {6 H; X* F7 i- P

' H0 }& E! }" d1 i8 D9 A\[
/ F7 ?* x& H" L/ v9 {" iAx \leq b
$ u% W& ^* x4 z1 p4 h5 w. C( v\]
8 h, _# w  G! y
6 L$ A  L) l0 A\[
: _! K4 H5 T8 k0 y/ B$ N! ix \geq 0
( b$ ?5 D; x* i  a4 _, v. L\]& p9 \: A. x3 z  l' n5 ?# i: Z

" B% h7 p. Z; D8 R, b; j) K4 e其中,\(Q\) 是一个对称正定矩阵,\(c\) 是一个向量,\(A\) 是约束条件的系数矩阵,\(b\) 是约束条件的右侧向量。# d' [6 |6 |& z8 q

  ^1 P4 F/ ^( F" f6 S### 起作用集法的步骤3 X7 `0 [' y5 ~
. j5 p4 z, R; T; Q! \2 c
1. **初始化**:5 b' x* ^( g# m' N; q7 V) v$ M) R8 d
   - 选择一个初始可行解 \(x_0\)。
0 |- d& e6 w4 |6 P" Y# B5 W   - 确定初始的起作用集(即当前活动的约束条件)。
4 a  a* ]; J( _: w+ C
  o( l, z5 k! P# |1 z1 v" |9 r2. **构造拉格朗日函数**:
6 N$ M; q, h6 {! A% C   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数:
7 C* |0 Z1 ^+ w* r* l+ o8 W4 X
' P# L0 f9 R) c9 v. \0 C* a   \[7 |- m5 M2 h6 i% k2 P" ~: E
   L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax)
; T  [$ }' Q! \$ G/ ~* l) d   \]3 _5 }. J. J8 z

3 Q& v1 w6 l4 s/ s3. **求解一阶条件**:( P4 J9 Z; H8 j  w1 z0 v& U
   - 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数,并令其等于零,得到一个方程组。
0 `" T6 e& d+ G+ @
7 \) R9 C2 E/ M+ r  r" V4. **更新解**:9 s4 }; L4 }, R( W
   - 通过求解上述方程组,得到新的解 \(x\)。
! I9 o( y2 E" ?) c   - 检查新的解是否满足所有约束条件。; R$ I# Z7 u9 ~) Y

# t1 s" p, A* A# ]. x: C( S( Q5. **更新起作用集**:
( ~  C6 H* B( l8 V( A4 e  ^" q   - 如果新的解违反了某些约束条件,则将这些约束条件加入起作用集。- z0 d, [1 ^2 Q8 \! [
   - 如果新的解满足所有约束条件,则检查是否可以退出当前的起作用集。
5 T) c' [8 _% v7 V
3 [, s- q: L/ @8 z) [! [6. **迭代**:
% d' d* h6 D; r) Y7 j   - 重复步骤 2 到 5,直到满足收敛条件(例如,目标函数值的变化小于某个阈值)。7 `  @6 }0 j- d* Z! b" P
+ W; q+ v7 |/ Z8 d1 W# y
7. **确定最优解**:! B6 Y5 S5 d* v
   - 当达到收敛条件时,当前解即为最优解。
! ^  d% ^  }4 B/ B9 K+ P3 R$ z: q' u' `& m
### 示例
# Q# l0 [( j' a6 ~! O3 V( _3 i7 l8 c2 N7 ~+ f
假设我们有一个简单的二次规划问题:! t8 G$ j- Z5 w! M  Z* E

  {( p9 U0 C) t1 U2 f0 U& A9 R\[
* p$ k' i4 j% S* A) W; a, B1 E) H5 ^\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^2$ J7 d" O, C2 |) {
\]4 y# \- Q! D% M/ u

6 _% ^, E# L1 q; g8 o' o" I% E  i约束条件为:
% l  E* o/ |6 x" i8 Z
+ J# d# {' ~" \% X. h4 a/ \) o1 x\[
/ a7 t7 g( Z7 P; ?x_1 + x_2 \leq 1) I6 y2 Z3 H& m4 n
\]
0 W! m; u; f% f" h, S' j2 M7 R1 {0 o( z1 ^( V% a
\[
7 ]2 Q- b: \. [* A  Tx_1, x_2 \geq 0
! M- x/ A2 s3 h1 S2 K- N\]& W. `; v) r  h6 |7 W! L/ ~0 e; f

0 {/ h/ S9 A4 a; \& Z6 N) L**步骤**:3 N8 |! G. `' R3 l. G- L7 r3 e- x

/ Z& j9 }2 y! t% E. Z  X  V1. **初始化**:
, K, j, b9 E9 O  W9 i; v. P   - 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\),起作用集为空。
  ]- L/ g5 C4 m
1 B' x0 r1 x; Q( T" j3 U2. **构造拉格朗日函数**:4 J3 m5 T# @$ t, z
   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数。) H: Y4 p& M2 N# b" D- _
3 k/ y' T  J, j0 c" M+ r7 i0 z7 Z; ]
3. **求解一阶条件**:+ [) H: l) \& W
   - 计算偏导数并求解。; t5 I0 H. ]' l4 O

$ l3 C; t0 e0 s$ _9 ]! `4 H3 T4. **更新解**:2 [" u1 L- i4 y  C, A2 c
   - 得到新的解 \(x\),检查是否满足约束。
1 |) s6 O5 W" \+ R& j- e0 U7 H! ~: W) m+ w3 t
5. **更新起作用集**:
5 y6 r& b- m8 s5 T   - 如果 \(x_1 + x_2 > 1\),则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。
5 w+ z2 s! z! K7 S$ G
7 u/ z  \8 S' r. z: i* n* Q- Q' r& C6. **迭代**:. z$ _% b0 `0 p/ ?' o- y
   - 重复上述步骤,直到收敛。/ X% F# A$ i" ~$ d7 {- \% l, E

3 P* b' V9 E2 z" t9 H7. **确定最优解**:$ A+ \1 c8 r6 Z/ V
   - 最终得到的解即为最优解。; L4 K/ k2 p1 H4 {& q" c. d5 U! x

5 K" L% j  B9 P3 C6 L### 总结
4 E; n' X4 x" p, ^! G/ e$ T
/ L, I( J- b2 ?) f# g起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法,通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题,尤其在约束条件较多的情况下表现良好。
; x( w  @0 K$ Z. b& e" p3 S6 P( y3 w8 l5 w: O& q

" k3 Y* A# j- N, h3 H
' t6 L2 _* M- }1 g+ f) Z* f, v# A

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