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起作用集法解决二次规划问题

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发表于 2024-9-25 16:32 |只看该作者 |倒序浏览
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起作用集法(Active Set Method)是一种用于求解约束优化问题的有效算法,特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。) @7 x1 j+ ^1 e& W0 ?: M5 w1 w9 @
- K3 k2 j7 }, U2 ^1 |  u
### 二次规划问题的形式
. C; P7 R1 `9 o- g! u, K, W2 t. y# P- Z4 S$ M% u) g5 _
二次规划问题通常可以表示为:
# b  c$ j+ p  e/ C( ?; I, P% _, D* L& Y( x4 p
\[: M) @) b( [7 E  V: B: O
\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x
% x) |) Q3 L% f& j3 {\]1 I! d+ R9 h6 A  P* J! [6 B
$ w) _' |9 f- c# [& o8 Q7 W
约束条件为:8 _$ t5 j- n6 y/ ~" I) }
! q, }8 f. l3 S& U% T: q0 H
\[
0 U1 s. o5 m0 h# D7 L8 u- rAx \leq b
6 _" p) ^  b+ s3 ~8 i4 e- F* w9 D. q\]- N' f, t& f' W9 ]; b9 W

# X+ d$ ~* ^% f& b" ~3 \! F; x\[  o( b0 i/ J, w: F  f  g
x \geq 0
6 B" Z% _/ U+ f. U/ j\]
& s' {8 ]  b' c* G+ L9 D1 D3 P
& @# W2 _* ~0 N' C9 U其中,\(Q\) 是一个对称正定矩阵,\(c\) 是一个向量,\(A\) 是约束条件的系数矩阵,\(b\) 是约束条件的右侧向量。
" h2 |5 M% S. C# g; f) r- t
- K0 e4 K; ^0 Q: t### 起作用集法的步骤. S$ ^, {4 v" S

+ N, G0 P% j9 c1 e: y+ g9 ]6 S1. **初始化**:# K4 {$ U" P0 R( M* r- g: R
   - 选择一个初始可行解 \(x_0\)。( M1 s4 a# z- ^6 k& q# S4 B, q
   - 确定初始的起作用集(即当前活动的约束条件)。- Q4 k% d) @" o0 }
2 S, V; p) A; u8 R  s% l2 ~8 k
2. **构造拉格朗日函数**:: C# A) \' [: h& n0 c& X
   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数:$ v8 |& P' _6 k0 N1 w
2 t, l; o0 i* z+ q: w4 N
   \[
; E- s" R! @$ Q9 r   L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax): d6 p8 t5 O4 Z, E$ Q6 x
   \]4 \: |% s( H% F* e2 c$ M* E
6 C7 Z+ N! p8 `# V) k* S
3. **求解一阶条件**:
8 n3 w! U8 f* [4 ?   - 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数,并令其等于零,得到一个方程组。& q$ b3 U1 {  s' C

9 O6 m$ W4 w; a% `$ B; B. H1 T2 q4. **更新解**:
. B7 J: s  }4 \1 [* i   - 通过求解上述方程组,得到新的解 \(x\)。% L$ Y9 V8 p* c" \7 R
   - 检查新的解是否满足所有约束条件。3 ?3 B( f9 i! ]7 S- M) m2 b" A
% l9 t  w# M( P2 ~7 e
5. **更新起作用集**:
- ~- C' f2 p* b7 y   - 如果新的解违反了某些约束条件,则将这些约束条件加入起作用集。
4 K0 U+ z0 l6 C8 [3 a9 s   - 如果新的解满足所有约束条件,则检查是否可以退出当前的起作用集。
# N, m# r- H( g/ H
1 @1 Z6 f0 ]( a! @( X5 f. a6. **迭代**:
1 n  a' S' E5 t) V# h   - 重复步骤 2 到 5,直到满足收敛条件(例如,目标函数值的变化小于某个阈值)。# z# N) G& ^/ Z

" u- }: T- I; n4 V& n( e7. **确定最优解**:
9 m- i% M; P/ f' L2 @   - 当达到收敛条件时,当前解即为最优解。6 d. v% p. {" e. C1 @
1 Q: o! a3 E/ p9 f, U2 Q
### 示例# x# r- Q9 |; v, B/ @
' [5 J/ V4 L; W# l
假设我们有一个简单的二次规划问题:) K  u% L" Y+ p# A6 i) B# t

& K. U* V6 z% b5 N# `( q7 K\[
& z% p$ c' F/ b\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^2/ V, D  y; R4 v+ t" |
\]
  m5 ?$ K4 U! k
. V% S) I# h. }' u# S& P1 ^" E约束条件为:
5 A4 n$ g8 x8 ~* ]% m6 B. o9 }: `
6 ^8 V8 `- |8 H5 c# g/ _8 `! g\[1 X' g; n7 B$ f: l4 y
x_1 + x_2 \leq 1
3 Z/ \& \7 W) v1 X3 q\]
7 E+ a' |0 |8 n4 S/ G
: P1 |3 @$ W; b, q8 I/ P) {1 [\[! P; P9 y+ O% ]# F( Q+ a
x_1, x_2 \geq 0
: Q0 s% `) a0 Q; F3 @2 p0 D\]- B1 p, }* r5 l  Q1 h$ j1 Q

  h) I6 d' E8 ^; _" p- M% `! s**步骤**:
# p4 i8 X% r: P: y# j, D
8 u8 P5 x; p7 E* Q5 c' [- B1. **初始化**:
# Q2 _' h3 ?! r; f# u7 i   - 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\),起作用集为空。( y' J7 v& x& c4 h9 d0 i
! G) b- k5 e" d/ S3 D' ^+ k* G$ R
2. **构造拉格朗日函数**:
4 x; n8 B: [+ O' |   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数。! Z: X" {" F5 G
5 G* Y. |) c* @5 q
3. **求解一阶条件**:; F8 L( V3 I) q! l
   - 计算偏导数并求解。7 _) H- \% j9 x% j! E1 U6 J: z
/ M% V( \6 N- P1 o# Z0 e
4. **更新解**:
7 C; j7 @9 h6 ~3 q   - 得到新的解 \(x\),检查是否满足约束。7 b; n) `0 J5 `, @) F4 [, B; [

" G& H/ U. @( z4 n1 @9 V0 s/ a1 m5. **更新起作用集**:- z5 I' g1 e( J  V% s8 J2 V& R# B# }
   - 如果 \(x_1 + x_2 > 1\),则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。
# d/ C0 T" X9 k$ d$ d& F$ y) [& w3 @" m7 Y: z0 x: l- [# R$ I1 F6 O- `9 |
6. **迭代**:
4 y$ O; ~5 ~! d1 h7 H8 f   - 重复上述步骤,直到收敛。/ f8 v6 e9 H# }+ N0 b+ B8 O
6 C/ R9 o) f7 z& ?
7. **确定最优解**:$ h) L0 `2 e! O
   - 最终得到的解即为最优解。; @2 k1 s, u) t# p/ }7 U

: X- t7 @9 h6 Z, `- |4 a### 总结
0 h: b. k9 P( a% t
4 H* z" R9 f0 I起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法,通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题,尤其在约束条件较多的情况下表现良好。
0 l2 b4 k! z. ~0 v$ ^* H+ ]! _) S$ z1 u  ~
8 V- l- e9 L/ \

8 d' _+ X; E8 Q7 j6 ]: C  M

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