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多种方法来数值计算定积分

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发表于 2024-9-30 10:39 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码展示了在 MATLAB 中使用多种方法来数值计算定积分的过程,包括使用 `inline` 函数、M 函数以及符号积分。下面是每个部分的详细解析:
, a: f1 p) T7 ^% y. G& b' a9 n, t' N; L( v0 H- V( E, q+ Y
### 1. 使用 `inline` 函数定义被积函数8 T, J( X" z+ ]) Y$ n
```matlab, ]$ g8 ]* N6 h7 y2 s
f = inline('2/sqrt(pi)*exp(-x.^2)', 'x');
5 x1 H0 K5 D  Y& ~9 ?/ f* P```
9 W& \; s7 W$ R4 s; I# ?) K% J- 这里 `f` 是一个 inline 函数,表示函数 \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2} \)。`inline` 函数虽然在早期版本的 MATLAB 中常用,现已逐渐被 `anonymous functions` 取代。
/ x! s- C* ?: K7 z+ k
) t, `+ h, l( A% m3 |" m### 2. 数值积分
2 \3 i. p9 T" C2 g9 g```matlab. ?6 _! ]' b* Y6 K  Q
y = quad(f, 0, 1.5);  % 使用 inline 函数进行数值积分2 c6 C1 t- T# ^1 l+ m
```
( ~9 Y* ?0 |7 M- `quad` 是用于数值积分的 MATLAB 函数,这里它对函数 `f` 在区间 [0, 1.5] 上进行积分。
: c) x& i; E5 g% Y3 Q$ t
6 S; B' s3 D1 q### 3. 使用 M 函数定义被积函数
) t4 Z* m$ ?  n```matlab- p1 w5 J9 \# m3 f, y
y = quad('c3ffun', 0, 1.5);  % 使用 M 函数进行数值积分
- c' [: C% {/ x0 J( g& s1 L( |```9 b# ~* V, n5 T! W5 `, J9 [
- 这里的 `c3ffun` 应该是一个用户定义的 M 文件函数,必须在 MATLAB 的路径中。如果这是一个定义了与 `f` 相同数学表达式的函数,`quad` 函数将调用该文件进行积分。8 y& R2 g, j- D7 a& e9 H

- X6 x5 I3 f$ X( y4 q### 4. 使用符号积分- D/ Z, f* A. b$ Z; T- i
```matlab
) `, Z5 H9 `! w' zsyms x, y0 = vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2), 0, 1.5), 60);
6 Z! H/ o$ }% O0 {5 a: F: y```
% B/ ]7 L) B5 R1 b) f: m- P+ ^- `syms x` 定义了符号变量 `x`。) A$ M8 f7 @0 W( m  k! _
- `int(...)` 计算了公式的定积分,`vpa(..., 60)` 将结果以高精度形式输出,保留60位有效数字。
% L9 F' P7 s2 Y  {
( I" t: i, q1 [5 a, J9 i( q- [- H### 5. 使用 `quad` 函数设置高精度
( R- e  X* g4 r+ ~) w) j7 f/ J- ^# i```matlab9 x3 T& {2 y2 i0 d. l
y = quad(f, 0, 1.5, 1e-20);  % 设置高精度积分,但方法失效
7 N& v6 j1 G' X3 ?. Z  ]6 c```# K" z7 I% O5 Q: Q1 P0 Z8 Z+ r
- 尝试在 `quad` 函数中设置一个非常小的容忍度(`1e-20`)来提高积分精度。  {& l( ?, w* g
- 但是,这种写法可能会导致积分不成功,`quad` 函数有时在处理非常小的相对误差时可能不稳定。
; ^9 |8 Z4 s; @% J- R2 h4 ?2 o( ?( @) {) r) b8 P
### 解决方法与建议
& {2 S) K: I6 p+ |# i6 L$ M1. **替代 `inline` 函数**: 推荐使用 `@(x)` 的结构定义匿名函数。例如:7 n) a8 T, Y: U: J! t
   ```matlab$ Y. Z1 V& a: y) K6 ?
   f = @(x) 2/sqrt(pi) * exp(-x.^2);
) ]! N$ B! l8 x$ _2 N/ ^) C7 f' K   ```
2 S- s8 F2 i9 v1 y9 i- k; g- T. D3 m8 J& Z) {1 O& o
2. **使用 `integral` 函数**: 近年来,MATLAB 推出了 `integral` 函数,它比 `quad` 更为强大和可靠,特别是对于不规则的积分区域或高度振荡的函数。可以这样使用:& P# q- S; `( N$ T0 r2 _
   ```matlab
. T$ r1 K: \8 W  M$ N   y = integral(f, 0, 1.5);
( F4 b  J3 e% _8 U% p( `! ]6 I   ```4 k. f+ F9 m8 I9 T+ o" X
' p. U, e- I+ R/ N. I  N
3. **优化高精度设置**: 尝试使用 `quadgk`(高斯克鲁特方法)进行高精度计算:
: S4 o( J( b+ g  f6 X+ E   ```matlab; ~5 A- H5 H5 {: H" r
   y = quadgk(f, 0, 1.5, 'RelTol', 1e-20);5 W1 w  T8 `  H  s
   ```9 F2 t) F7 j6 a  L' f

0 y" x" {0 @1 p! n9 T* J. @, \$ T### 总结
' W5 ^: k; L" e, u7 D! C这段代码演示了多种在 MATLAB 环境中进行定积分计算的方法,包括传统的 `inline` 函数和符号计算,能够帮助研究者比较不同方法的结果和精度。为了提高稳定性和精确度,使用更现代的方法和函数是推荐的做法。- N( K7 j: o# Z4 P5 E5 E

# K% X8 ^3 J: v* g  v+ h
( O" _" J$ P) }
9 X& ^) N1 f4 H7 r: _- J% q

examp3_30.m

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