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MATLAB 中如何为一个分段函数进行数值积分

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发表于 2024-9-30 10:55 |只看该作者 |倒序浏览
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展示了在 MATLAB 中如何为一个分段函数进行数值积分,并比较不同的积分方法的结果。以下是代码逐行分析以及方法的解释:
. y! V4 Y( S% g/ E, F) S6 r
) u  x  X  H% L9 `7 E3 y### 1. 定义分段函数
) @% ~1 t/ [0 m5 E```matlab
$ W' L2 m& g: I8 X" p& q4 Tx = [0:0.01:2, 2+eps:0.01:4, 4];  % 在 [0, 2] 和 (2, 4] 的范围内定义 x
. X( H! Z( E- [$ @, r  e, Fy = exp(x.^2).*(x <= 2) + 80./(4 - sin(16 * pi * x)).*(x > 2);  % 定义分段函数
; s8 Y, f% y2 ty(end) = 0;                         % 确保 y 在 x = 4 处的值为 0, D! g0 Z; _# ^. ~/ L1 f- Q' @
x = [eps, x];                      % 在 x 的开始处添加一个很小的正数 eps
0 V2 ~/ }, g+ x6 Ky = [0, y];                        % 在 y 的开始处添加值 0' `6 s$ k: O6 Y% t& P( ~+ J
fill(x, y, 'g');                  % 绘制填充的图形
/ l( w2 c: \+ o' X# O) A) O```- V" M5 ?+ G3 V3 B4 b' q3 `
- 这段代码定义了一个分段函数 \( y \),在区间 [0, 2] 使用 \( y = e^{x^2} \),在 (2, 4] 使用 \( y = \frac{80}{4 - \sin(16\pi x)} \)。1 `) V9 s4 K0 i4 t5 O9 ~" ?
- `eps` 是 MATLAB 中表示非常小的正数,以防止在 x=0 处出现计算错误。
" ], a3 u# N9 r. X
8 N: j9 Z6 B+ d  ^### 2. 使用 `inline` 函数定义被积函数
0 x' M$ f: m( ?9 I' i4 b* w0 x```matlab
) l2 |' S+ l4 U: X, A9 Kf = inline('exp(x.^2).*(x<=2) + 80*(x>2)./(4-sin(16*pi*x))', 'x');
% M, z0 m1 a, w4 I; X5 l7 LI1 = quad(f, 0, 4);  % 使用 quad 进行数值积分
# D( C5 i* M, R! a1 _```/ n: U5 q) j2 ?! T" j- A
- `inline` 函数用于定义 \( f(x) \) 表达式,这是一个分段函数。1 |. C2 P- a/ ~5 T7 J' y
- `quad` 函数计算 \( f(x) \) 在 [0, 4] 的积分。
# l) m! w9 P9 e% O# J' s2 Y) }$ p7 G
### 3. 使用 `quadl` 进行数值积分
8 y+ c6 H  c* S( w- r+ `5 z# d```matlab
+ z; d4 ^3 _0 G; q% e8 Q/ F+ EI2 = quadl(f, 0, 4);  % 使用 quadl 进行数值积分/ C9 _' d# w7 K' h- Q, J6 L' D
```
, \5 L" i4 [0 N8 S- `quadl` 是 MATLAB 中的另一种数值积分方法,通常能提供更好的精度以及对不规则函数的更好处理。
2 Y, ^1 I9 }+ w# t; \# ~& L" f/ G& D/ p$ }, V' z
### 4. 符号积分
4 [$ ^- L/ J  U2 z) S0 T: Y9 N7 m```matlab& @7 B: u1 O$ ~( K: K( O
syms x;
- ^: u8 O+ H, Z; ?* `I = vpa(int(exp(x^2), 0, 2) + int(80/(4 - sin(16*pi*x)), 2, 4));  % 符号积分! @. Y- p* m+ M8 u! T
```  R  X) ^0 \; u" U& D
- 这里使用符号计算来评估分段函数的积分。`vpa` 将结果以高精度浮点数的形式输出。! u  {! q, \( `- G5 t
3 H( Z+ m' k7 v9 [1 F. o
### 5. 分别对各段进行积分
  {2 x) ^2 Q5 n```matlab+ Z' k; o2 Q/ B: ~! e
f1 = inline('exp(x.^2)', 'x');       % 定义第一段函数  O6 T! v3 |/ L$ n5 M; i4 {
f2 = inline('80./(4 - sin(16*pi*x))', 'x');  % 定义第二段函数
2 y( q: l- n- Z2 k/ Z4 J! n) {/ Oquad(f1, 0, 2) + quad(f2, 2, 4);       % 分别计算两个部分的积分
! E6 w" d  S3 l```3 R# x& K; l; v1 O& s; o8 h
- 使用 `inline` 函数分别定义两个子函数 `f1` 和 `f2`,然后分别计算它们的积分并求和。
, C3 L, i2 ~$ f% I) v2 i8 c" T8 `$ J& ]8 P; F# B
### 6. 使用 `quadl` 计算, ~/ F  C9 B7 B. P; H0 [
```matlab
% ~5 i" a& X6 a3 |7 l" ~quadl(f1, 0, 2) + quadl(f2, 2, 4);    % 使用 quadl 进行分段积分% \& u+ Y2 D% A" _5 Q" J! S7 Y$ H' F
```
% e- y$ w: g. r- i  T% V: H- 再次重复计算,使用 `quadl` 函数对分段积分进行处理。
2 n- z; ?! f* F
5 l, E. o4 g, O0 ^### 7. 高精度积分
  ?# [6 @  E+ U+ B  D1 D' h8 [```matlab/ q0 G$ }: V$ K
quadl(f1, 0, 2, 1e-11) + quadl(f2, 2, 4, 1e-11);  % 手动设置精度限制5 J2 E# d/ q3 E* A, \* |" o) L4 Q5 S
```
. w8 @$ E2 Q9 y- 在 `quadl` 中手动指定了精度限制 \( 1e-11 \) 以获得更高的准确度。3 A$ `8 R" I# X1 Y$ |
8 {6 D' V2 |- q5 J
### 总结
" D& b( Q5 P5 T% p2 }5 A6 |这段代码展示了 MATLAB 中处理和积分分段函数的不同方式。通过对分段函数分别使用不同的方法进行积分(`quad`、`quadl` 和符号计算),显示了如何通过这些方法来求解积分的问题。通常,`quadl` 在处理具有尖刺或分段的不规则情况时表现更好,并且在有时需要控制精度时也能更灵活地进行设置。) L, U) V1 `( }6 ~- f7 ]. \
4 T( X: a9 I, g" y4 a
) l' u# n# ^9 q# G+ M: _

# w8 {% o) j) i9 [* v) I0 X

examp3_32.m

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