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展示了在 MATLAB 中如何为一个分段函数进行数值积分,并比较不同的积分方法的结果。以下是代码逐行分析以及方法的解释:
[! p0 k. Q/ L% w# c- O0 m
; ?0 q( ]3 e' d### 1. 定义分段函数 W% r$ L J6 {
```matlab) R1 H* _8 O- H9 i @
x = [0:0.01:2, 2+eps:0.01:4, 4]; % 在 [0, 2] 和 (2, 4] 的范围内定义 x
* C3 V7 l4 Z( o: j4 f6 ny = exp(x.^2).*(x <= 2) + 80./(4 - sin(16 * pi * x)).*(x > 2); % 定义分段函数. P: p9 o& M6 f, h) u+ n/ ]/ a
y(end) = 0; % 确保 y 在 x = 4 处的值为 0' o5 y% a; L& f' ?: m
x = [eps, x]; % 在 x 的开始处添加一个很小的正数 eps; w3 A6 w+ y& |, Q
y = [0, y]; % 在 y 的开始处添加值 0& _3 k8 Y) q! M; `* [, x8 |& O
fill(x, y, 'g'); % 绘制填充的图形8 r7 Y' [+ Q- j! A5 A9 @ T
```5 x/ R; P" ]8 w5 R
- 这段代码定义了一个分段函数 \( y \),在区间 [0, 2] 使用 \( y = e^{x^2} \),在 (2, 4] 使用 \( y = \frac{80}{4 - \sin(16\pi x)} \)。
% h2 m9 j6 ]% Q1 I5 r- `eps` 是 MATLAB 中表示非常小的正数,以防止在 x=0 处出现计算错误。
# N* J+ V' ]! |( T6 t6 q2 v
1 W1 i1 x5 N+ U- o% f9 O### 2. 使用 `inline` 函数定义被积函数$ Q1 g. W, a0 Y5 J; G2 }% X% w
```matlab
' P4 `0 C0 _$ _# ?: ef = inline('exp(x.^2).*(x<=2) + 80*(x>2)./(4-sin(16*pi*x))', 'x');! @" \# ~! A5 u; f
I1 = quad(f, 0, 4); % 使用 quad 进行数值积分 ~4 O" ~* L U+ f x. B3 m) ^
```
) N6 I0 W: X/ V! O' ~6 N- `inline` 函数用于定义 \( f(x) \) 表达式,这是一个分段函数。
B: Q/ \9 y& t& Z- `quad` 函数计算 \( f(x) \) 在 [0, 4] 的积分。; O; P1 [+ g. Y) g9 L- d9 `. H' t7 f
~. K; ?+ l I& g# X### 3. 使用 `quadl` 进行数值积分6 E: I; h9 }- U( `, F5 j; s& \
```matlab
3 h0 q0 i9 |6 J6 I5 u& a: |9 t4 Q* ~: b' p1 }I2 = quadl(f, 0, 4); % 使用 quadl 进行数值积分
P% k; Z. o" O% q1 V``` f* W% _! [- p
- `quadl` 是 MATLAB 中的另一种数值积分方法,通常能提供更好的精度以及对不规则函数的更好处理。
. z i- {: }4 H2 X
) W+ a% q# L) ^+ [ ~0 p### 4. 符号积分6 ? |6 H: P; t! T3 s* |! S' A
```matlab7 o4 u2 C. J0 n/ F
syms x;
3 W# l/ j9 @* ]8 j. e* L8 `I = vpa(int(exp(x^2), 0, 2) + int(80/(4 - sin(16*pi*x)), 2, 4)); % 符号积分
( W2 P) {, I6 `. c4 a' I* }```! k/ |$ s' B& i+ L& ]6 ~! B0 A
- 这里使用符号计算来评估分段函数的积分。`vpa` 将结果以高精度浮点数的形式输出。
$ m' _; E* u u a/ z. V% g3 V& s* r: g8 e
### 5. 分别对各段进行积分
& w7 m5 x. s" Y```matlab
7 Q6 [7 M& m. G) Mf1 = inline('exp(x.^2)', 'x'); % 定义第一段函数7 J) k G# g g) J$ `+ J) m
f2 = inline('80./(4 - sin(16*pi*x))', 'x'); % 定义第二段函数
' H# W" _; M7 _7 vquad(f1, 0, 2) + quad(f2, 2, 4); % 分别计算两个部分的积分# Y4 s% g" K) T% i0 Z, y8 N
```
- r3 t3 c# q5 Y) _ c, A- 使用 `inline` 函数分别定义两个子函数 `f1` 和 `f2`,然后分别计算它们的积分并求和。' D. J' i) Y( D7 s2 T0 o2 l
) @+ P: Q, @4 G% z1 y8 R% J! i5 F6 H( R) c### 6. 使用 `quadl` 计算
( \- T3 P3 I( F' c' p```matlab2 |! {* j# V: N {; l/ C7 W! r
quadl(f1, 0, 2) + quadl(f2, 2, 4); % 使用 quadl 进行分段积分/ t. n1 Q8 c( L) k! |5 s
```
S5 A6 v3 b! c0 Z6 W% X- 再次重复计算,使用 `quadl` 函数对分段积分进行处理。9 y5 Y' O% f3 f
, P |: D I7 d- p$ E$ G: Z### 7. 高精度积分9 \8 y7 b+ }# ]5 U l4 w" B
```matlab
- l. h7 V/ ]) T# j$ Equadl(f1, 0, 2, 1e-11) + quadl(f2, 2, 4, 1e-11); % 手动设置精度限制
+ Y* C, x: j) V& ]" V% y2 J```
6 x V4 W6 W; D5 }3 N0 P- 在 `quadl` 中手动指定了精度限制 \( 1e-11 \) 以获得更高的准确度。) Z4 `) w: f5 N5 |) Y
3 a$ C! v$ ~7 f! A7 g3 {1 v
### 总结
( F2 o9 W) x& V' f这段代码展示了 MATLAB 中处理和积分分段函数的不同方式。通过对分段函数分别使用不同的方法进行积分(`quad`、`quadl` 和符号计算),显示了如何通过这些方法来求解积分的问题。通常,`quadl` 在处理具有尖刺或分段的不规则情况时表现更好,并且在有时需要控制精度时也能更灵活地进行设置。
6 h) C9 Y1 x) t8 j |8 w; a3 S
. I5 T! T- k4 i6 f7 ] _4 N% a! \1 L
. @+ N6 l" X5 B) r |
zan
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