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MATLAB 中如何为一个分段函数进行数值积分

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发表于 2024-9-30 10:55 |只看该作者 |倒序浏览
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展示了在 MATLAB 中如何为一个分段函数进行数值积分,并比较不同的积分方法的结果。以下是代码逐行分析以及方法的解释:
, m, I) v9 f6 ^. m
8 M# o4 c* X. Q: j) s5 `### 1. 定义分段函数. ^2 i! A6 S% C8 O7 a: R+ w
```matlab, n6 b8 w1 Q9 D. X% E+ H! J+ \
x = [0:0.01:2, 2+eps:0.01:4, 4];  % 在 [0, 2] 和 (2, 4] 的范围内定义 x
# ~" N0 @5 d6 I$ Y( h3 t" Fy = exp(x.^2).*(x <= 2) + 80./(4 - sin(16 * pi * x)).*(x > 2);  % 定义分段函数
5 {$ o+ r  D! A  W9 H) Vy(end) = 0;                         % 确保 y 在 x = 4 处的值为 0
+ f8 m: ]; v& g+ U0 ex = [eps, x];                      % 在 x 的开始处添加一个很小的正数 eps) X! K3 j, z4 w" W8 Q3 T+ Z6 p
y = [0, y];                        % 在 y 的开始处添加值 0
  [9 l9 s; w5 C; Q: n: afill(x, y, 'g');                  % 绘制填充的图形
8 m" }; o3 r: U6 W5 }6 @3 o```
5 z1 x) a4 u$ N- 这段代码定义了一个分段函数 \( y \),在区间 [0, 2] 使用 \( y = e^{x^2} \),在 (2, 4] 使用 \( y = \frac{80}{4 - \sin(16\pi x)} \)。
1 x' H" r6 B0 }- `eps` 是 MATLAB 中表示非常小的正数,以防止在 x=0 处出现计算错误。6 |1 w7 @- ]8 j( |$ J$ W- P

9 p# y& W( j2 a* B* m- D; O8 k' h( n### 2. 使用 `inline` 函数定义被积函数& X' @/ r" l7 d7 W, \9 B  t- T
```matlab& f1 N7 b" W. H0 P
f = inline('exp(x.^2).*(x<=2) + 80*(x>2)./(4-sin(16*pi*x))', 'x');
) N+ @8 y% b2 ~. r4 `0 s' YI1 = quad(f, 0, 4);  % 使用 quad 进行数值积分# v" N! h! o3 D# k' _* ~2 o  U
```
: {6 C) i) ~+ e- `inline` 函数用于定义 \( f(x) \) 表达式,这是一个分段函数。
) ]0 t5 a/ X5 e/ H- `quad` 函数计算 \( f(x) \) 在 [0, 4] 的积分。) z) `1 Q8 K* M3 [, I; ]/ \& x
' p( w+ u3 t3 A
### 3. 使用 `quadl` 进行数值积分1 Y6 |4 V: A; C1 @- Q- k4 S7 `6 T
```matlab
: C) E) J$ P3 x* D  pI2 = quadl(f, 0, 4);  % 使用 quadl 进行数值积分, N* Q  b" ]6 b7 J4 ^* ^' G3 y
```
. }/ x9 [& k3 j3 D$ I  ^) G7 C0 J- `quadl` 是 MATLAB 中的另一种数值积分方法,通常能提供更好的精度以及对不规则函数的更好处理。
. m: i# `7 _4 H/ Q: H) H
* ~! |0 E$ F! _& i9 a4 W### 4. 符号积分
( R! U, P  T2 j' r6 n* y8 v# ]```matlab
4 v( L5 y/ k, ^8 usyms x; & i- \; V8 H/ [1 M% I; Z9 k
I = vpa(int(exp(x^2), 0, 2) + int(80/(4 - sin(16*pi*x)), 2, 4));  % 符号积分$ i) k! i, }; v3 g
```
9 @; V' M. r$ V  i- 这里使用符号计算来评估分段函数的积分。`vpa` 将结果以高精度浮点数的形式输出。
8 r& l, X# M+ z( Q$ N0 t3 V8 M8 ]
1 B) Y: |2 v- j& q### 5. 分别对各段进行积分6 l" Y( D; _  K) Z( r2 w
```matlab% Z1 V4 m0 @5 X  ~% e0 s0 A
f1 = inline('exp(x.^2)', 'x');       % 定义第一段函数  ]4 Z: `# J) ~
f2 = inline('80./(4 - sin(16*pi*x))', 'x');  % 定义第二段函数
$ B3 \4 K# b; \: Mquad(f1, 0, 2) + quad(f2, 2, 4);       % 分别计算两个部分的积分" F& u/ `8 q& _! u: M- X" @/ v
```% c' i- s4 e: e9 W$ k
- 使用 `inline` 函数分别定义两个子函数 `f1` 和 `f2`,然后分别计算它们的积分并求和。
2 ^' f5 w9 S% A; [) V  ^; \) o! f# c& \, h# M3 i
### 6. 使用 `quadl` 计算/ |) s( J2 g# K1 h  t* z, [5 c
```matlab; V: |- s7 F! w' E- g4 ^! n& X
quadl(f1, 0, 2) + quadl(f2, 2, 4);    % 使用 quadl 进行分段积分- x3 C! Y' d: R/ M1 b: i9 ~  p
```
5 i# ~( `  |, ^! ?) P- 再次重复计算,使用 `quadl` 函数对分段积分进行处理。6 J7 s5 U4 S3 Q& h5 S9 ^) S  B

8 p2 R4 ]- i2 |5 X6 [9 _### 7. 高精度积分
* A% V- }1 E3 i( x6 S* U$ {9 m, c: o```matlab: f( L' Z) v# j
quadl(f1, 0, 2, 1e-11) + quadl(f2, 2, 4, 1e-11);  % 手动设置精度限制
5 }6 k9 @) D7 _7 C5 e# f```+ }9 X7 u3 \! m/ v: F
- 在 `quadl` 中手动指定了精度限制 \( 1e-11 \) 以获得更高的准确度。
- N" r) C! [# H( u+ q( N, Q9 D6 d, M. N+ H2 n& T1 R
### 总结9 a* _# c. t# x% Z* ]2 f: v
这段代码展示了 MATLAB 中处理和积分分段函数的不同方式。通过对分段函数分别使用不同的方法进行积分(`quad`、`quadl` 和符号计算),显示了如何通过这些方法来求解积分的问题。通常,`quadl` 在处理具有尖刺或分段的不规则情况时表现更好,并且在有时需要控制精度时也能更灵活地进行设置。
; H& Y6 D9 ]5 e' M; n
6 j7 @% ~$ N) p! c
6 Q7 }# b4 ]$ X" X. M
, b; z* e# M& {9 _" t) m! V2 {

examp3_32.m

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