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Vandermonde 矩阵中各个元素的多项式形式

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发表于 2024-12-31 17:16 |只看该作者 |倒序浏览
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这段 MATLAB 代码使用符号计算的功能,主要涉及生成 Vandermonde 矩阵并进行多项式操作。让我们逐行分析这段代码的作用。
2 p( B5 ^9 D, }3 R! i) r( F1 u, Q$ r9 E4 j2 l  S: r
### 代码分解与说明- d: T; c# [2 v3 B" e0 z

7 d% s8 S/ b5 |6 V% V! s3 [5 M/ q1. **`syms x a1 a2 a3 a4 a5;`**:; `3 G' G2 |' C- J1 C$ K7 h
   - `syms` 是 MATLAB 中用于定义符号变量的命令。在这里,`x`、`a1`、`a2`、`a3`、`a4` 和 `a5` 都被定义为符号变量。
  u4 Z' y5 \9 `* l- J1 M   - 这些变量可以在后续的计算中用于符号表达式和符号计算。
2 R5 `  x7 I! [0 ^* s+ z, S
4 y: `( p( [6 q/ H% h4 P, ^3 c2. **`A = vander([a1 a2 a3 a4 a5]);`**:
  C0 \2 X( H. I4 `   - `vander()` 函数用于生成 **Vandermonde 矩阵**,这是一个广泛应用于多项式插值和数值分析中的矩阵。给定一个向量 \(c = [c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n]\),Vandermonde 矩阵的形式是:( ^. i: l- z8 D' S, D
     \[' @8 v4 K8 q. Q" E; A! I7 o
     V = \begin{pmatrix}. S1 u2 C5 ]; p8 s% |7 [
     1 & c_1 & c_1^2 & \ldots & c_1^{n-1} \\8 [9 `6 x& X/ I
     1 & c_2 & c_2^2 & \ldots & c_2^{n-1} \\7 e  e( g! M6 j* Q
     \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
! z9 x* q! C1 K0 W4 ]     1 & c_n & c_n^2 & \ldots & c_n^{n-1}! V) |6 e$ ]' X8 H7 w2 S% \& M, k
     \end{pmatrix}' y# U8 W" n4 M; B. M0 _0 a9 {
     \]
9 H9 Y% A+ @+ o  N0 O0 Z   - 在这里,`[a1 a2 a3 a4 a5]` 是一个包含五个符号变量的行向量,因此 `A` 是一个 \(5 \times 5\) 的 Vandermonde 矩阵。
- j6 }% f# {# G
6 M1 `! `/ o. Z0 T4 M6 M4 L( ?3 G  q3. **`collect(poly(A), x)`**:
& T$ c, ~8 V* c* R$ O! _   - `poly(A)` 将矩阵 \(A\) 转换为一个多项式系数矩阵。具体来说,它将Vandermonde矩阵的形式转换为针对符号变量 \(x\) 的多项式。# P- U' u8 d; l9 X, B
   - `collect(..., x)` 函数用于收集或整理多项式中的项,按照符号变量 \(x\) 的次数进行归类。即将多项式中的同类项加在一起,输出一个非冗余的多项式表达式。
# |0 W" A' d; u" P
  l; w  A, R4 \" O### 总体功能4 t4 t3 D7 Q" ]- ^
综上所述,这段代码实现了以下功能:
8 l" P5 A: ?. ?% ]% ^9 s0 ]- 定义五个符号变量和一个额外的符号变量 \(x\)。/ b) H" o% h: |8 d/ e1 j6 M6 S; _
- 创建一个基于这五个变量的 Vandermonde 矩阵。
: w5 W2 x& l3 e5 s: c- 将这个 Vandermonde 矩阵视为一个多项式,收集并整理对应于符号变量 \(x\) 的多项式项。  R& d! }! [$ n. v3 C
$ w3 F3 k6 F# ]4 P8 S. d
最终的输出是一个整理后的多项式,反映了生成的 Vandermonde 矩阵中各个元素的多项式形式。这在处理多项式插值、符号计算及数学分析中非常有用。
" p2 q9 N& X1 i: ]9 h/ U% T; K; L
5 ?1 V  u. H/ m- a
% x" o8 A" b. Y+ @3 M

examp4_12.m

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