勾股定理的证明方法

p31415

请大家帮帮忙，收集一些有关勾股定理的证明方法。谢谢

p31415

几种拼图证明。

梁卷明

4 G1 q) N3 @5 J% x3 N# y
5 s% X4 {3 `2 u- f6 j+ W2009年3月28日下午，梁卷明老师在研究中发现了证明勾股定理的一个奇妙证法，如图所示.

梁卷明

梁卷明证明：分别以AC、CB、BA为边作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，又过点P作PT垂直AC于点T，连结SR, ∵AB=PA, ∠ACB=∠PTA=90°, ∠CBA=∠TAP=90°-∠CAB，
4 }# l. \( z. Z( v0 t" b∴⊿ABC≌⊿PAT（AAS）.∴AT=BC=BS,又AT∥BS,故得□ABST, ∴ABTS,又ABPR,∴ABTSPR,从而可将△BSR沿BA方向平移得△ATP.

8 j, K9 z/ @3 Q" p显然PT∥AM,PT=AC=AM,故得□ PTMA, ∴APMT ，又MN=AC=AT+TC=BC+TC =CQ+TC=TQ,又MN∥TQ, 故得 □ MNQT,∴MTNQ ，APBR,  ∴APMTNQBR,
" K0 ^1 a$ m7 m从而可将梯形ABNM沿BR方向平移至梯形PRQT的位置！ 遗憾的是梯形PRQT中的△KQR位于正方形ABRP的外部。又由NQBR得□ NQRB, ∴QR∥NB∥BC,又∵QS∥BC, ∴点Q必在SR上！从而△KQR与梯形KQSB恰好合成一个△BSR！再把△BSR平移到△ATP的位置即可得正方形BAPR.
# E2 P' L* k  M
* c/ L0 }- a7 e' S1 g; x9 S故有：S正方形ACNM+S正方形CBSQ=S正方形BAPR .    即：AC2+BC2=AB2. 证毕！
评注：
1.此证法采用了平移的思路来证，抓住了问题的核心！当然直接证明：△BSR≌△BCA≌△ATP，梯形ABNM≌梯形PRQT也可；
2.巧用□ NQRB的性质证明三点S，Q， R共线很简洁。

sea_star666

真是不错啊！

20077066

5的平方=3的平方+4的平方
# {- w5 Z1 M: _在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。

0 E" j9 b" {+ I; p: J+ S% ~这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！
  V+ C- u* t0 D) D; u: _
这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
- u7 Z  A; z4 }$ B' T/ z+ Y
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。
$ j, M1 \, X5 M1 Z

: B& `6 ]0 ~! Y9 I6 s" L: }+ A图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

( X1 @: i! W* b% i(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
; [  L% ]  s$ T. d& A展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
% S; Z8 t0 |# k- u1 d3 u8 l! V% x化简得 a2 + b2 = c2

5 G8 ^8 `+ [4 x; e/ l5 Y
, H0 D+ i* Q( d% L- S8 j$ t) |: \由此得知勾股定理成立。
+ ^1 T# G5 C) H3 ?) Z
2 U4 B3 y, F2 W- D5 a+ G( n  H证明二可以算是一个非常直接了当的证明。最有趣的是，如果我们将图中的直角三角形翻转，拼成以下的图三，我们依然可以利用相类似的手法去证明勾股定理，方法如下：
+ H) T0 l3 w& g6 y" c4 C; |7 q; [图四一共画出了两个绿色的全等的直角三角形和一个浅黄色的等腰直角三角形。不难看出，整个图就变成一个梯形。利用梯形面积公式，我们得到∶
2 f2 X9 W; a+ u5 e1 \0 E9 X
) t) ?+ _( ~) `1/2(a + b)(b + a) = 2(1/2 ab) + 1/2 c2
  t- w& a/ }% |! a* O) ?8 U  N展开得 1/2 a2 + ab + 1/2 b2 = ab + 1/2 c2
, p- `6 v% B. ]! N化简得 a2 + b2 = c2（定理得证）
$ H2 V. _" Z4 P! {* o9 v
0 B  }" ]8 c6 b
' N8 s! v- W- _( R4 Y) n* D有一些书本对证明三十分推祟，这是由於这个证明是出自一位美国总统之手！

在 1881 年，加菲（James A. Garfield； 1831 - 1881）当选成为美国第 20 任总统，可惜在当选后 5 个月，就遭行刺身亡。至於勾股定理的有关证明，是他在 1876 年提出的。

我个人觉得证明三并没有甚麼优胜之处，它其实和证明二一样，只不过它将证明二中的图形切开一半罢了！更何况，我不觉得梯形面积公式比正方形面积公式简单！

. k) X" [1 r: D: @2 O: P! r/ n又，如果从一个老师的角度来看，证明二和证明三都有一个共同的缺点，它就是需要到恒等式 (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 了。虽然这个恒等式一般都包括在中二的课程之中，但有很多学生都未能完全掌握，由於以上两个证明都使用了它，往往在教学上会出现学生不明白和跟不上等问题。
( ~8 u; T+ ~' v回答者：璎珞0127 - 童生 一级 10-1 16:37
* ^' W) N# S1 _2 X5的平方=3的平方+4的平方
在图一中，D ABC 为一直角三角形，其中 Ð A 为直角。我们在边 AB、BC 和 AC 之上分别画上三个正方形 ABFG、BCED 和 ACKH。过 A 点画一直线 AL 使其垂直於 DE 并交 DE 於 L，交 BC 於 M。不难证明，D FBC 全等於 D ABD（S.A.S.）。所以正方形 ABFG 的面积 = 2 ´ D FBC 的面积 = 2 ´ D ABD 的面积 = 长方形 BMLD 的面积。类似地，正方形 ACKH 的面积 = 长方形 MCEL 的面积。即正方形 BCED 的面积 = 正方形 ABFG 的面积 + 正方形 ACKH 的面积，亦即是 AB2 + AC2 = BC2。由此证实了勾股定理。
1 Y& ^; K% ~& e0 o
这个证明巧妙地运用了全等三角形和三角形面积与长方形面积的关系来进行。不单如此，它更具体地解释了，「两条直角边边长平方之和」的几何意义，这就是以 ML 将正方形分成 BMLD 和 MCEL 的两个部分！

这个证明的另一个重要意义，是在於它的出处。这个证明是出自古希腊大数学欧几里得之手。
; ~% v: D5 y" k
欧几里得（Euclid of Alexandria）约生於公元前 325 年，卒於约公元前 265 年。他曾经在古希腊的文化中心亚历山大城工作，并完成了著作《几何原本》。《几何原本》是一部划时代的著作，它收集了过去人类对数学的知识，并利用公理法建立起演绎体系，对后世数学发展产生深远的影响。而书中的第一卷命题 47，就记载著以上的一个对勾股定理的证明。

图二中，我们将4个大小相同的直角三角形放在一个大正方形之内，留意大正方形中间的浅黄色部分，亦都是一个正方形。设直角三角形的斜边长度为 c，其余两边的长度为 a 和 b，则由於大正方形的面积应该等於 4 个直角三角形和中间浅黄色正方形的面积之和，所以我们有

7 R0 f: ^8 X& I1 n& [( X(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
/ Q; J, }8 c1 J- q5 Y% J% h展开得 a2 + 2ab + b2 = 2ab + c2
化简得 a2 + b2 = c2
; a/ o; q2 v6 k5 Q
由此得知勾股定理成立。