微分方程的解

xiaoguansheng

微分方程的解通常是一个函数表达式
4 s+ `5 O" s  T- w3 g（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：
% @8 Z7 q+ A9 _) N# x
: n3 r2 T7 v0 v# V  d的解是
' q  i8 S5 G5 Q5 F. N
其中C是待定常数；
; b* s% i7 `9 a4 K) U如果知道
* p! E6 y6 j1 M4 X
2 h8 {; N; l3 Y- n4 s则可推出
. O3 U" o. E: O# L5 M3 ]: Q# t

[编辑] 微分方程的线性化大部分非线性微分方程，都不能得出通解。但是，可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解。例如：
! y8 }0 N2 a  k# c1 [5 Q9 Y
在
3 }5 u/ G/ ~( d  D的情况下，
$ n4 E# X  R; M( K# U9 L5 v0 I2 m ，我们得到近似线性微分方程
. L1 h% Z4 j' S$ R  q' i
它是可解的。
3 ^* b# r# |( ]2 k4 g5 j5 M; A2 l! B有许多特殊函数，都是为了无法得出多项函数或超越函数型式的解析解的微分方程而定义出来。这些特殊函数之所以重要，是因为它们描述了自然界中的某些现象，例如，电子的活动、鼓皮的振动、钟摆的摆动等等。
8 F$ m3 k' c( A/ K! L& L
& t- O+ \5 `5 u6 Y, C" N& _[编辑] 各种线性微分方程
' V- J5 |; k" f/ B: t  k1 |" F% g[编辑] 常系数齐次线性全微分方程常系数齐次线性全微分方程

" g; {2 v$ h6 O8 _它的解取决于以下的特征方程：
& y2 e; G. ~8 b$ J5 ?* c  x9 S
, ]& {8 d3 E& h, e上式中
2 U( Q3 S$ G0 c9 V取代了
& @7 U0 s0 F$ u% B5 p; Y
/ B  I9 \  a: z3 l. E7 ^5 _
有以下特征方程
: m9 t  e: f6 [! p2 l% T1 ~
它有
( `! W# {0 q. @  [" H1 o7 v/ I& ] 四个解，解基为：
6 p% S+ ^  e' @* g# @
% `7 l0 n8 G' m" J8 I这和以下实数解基相对应：
- g2 z( _) [8 d1 V9 o* r1 j
如果
是
! B7 n, d) ]) w(很可能不是实数)的根，且
那么
是微分方程的一个解. 这些方程组成了这个微分方程的基 .
) |. z8 T: k  ?% x如果
是实数，那么我们更喜欢得到实数解. 因为非实数
" O8 A# [. c  M8 o0 p) ^; e值会引入共轭对, y的情况也类似; 将原来各对替换为它们实值部分Re(y)和虚值部分Im(y)的线性组合.
/ B8 Y1 _2 f9 J; ?  B复根的情况可以应用欧拉公式来解决：
1 X& r7 O8 @! P* V, `, Z

• 例如: 对于
  . 特征方程是
  有以下几个根2 + i and 2 − i. 因此，解基 {y1,y2} 为
  + O- T  [( ?# p1 B$ x/ w9 X3 v1 ]% g. y是根当且仅当
  1 c) p# G1 A$ a3 G/ b- @；
  4 ?& Z, o# z$ E1 Y7 j0 w2 G) w.

因为系数是实数
3 u* @9 m' `7 W

• 我们对复数表达式不太感兴趣;
• 我们的基是共轭表达式.

以下线性组合
: e( ~( S& ^- U. Q4 h
和
可以给我们关于
, G: [. v$ m2 ^* L( R' ?$ J9 C" M) F的实数表达式.
. J6 N8 P+ s* [7 Y: y
[编辑] 常系数非齐次线性全微分方程y=xt

chinaming20008

路过.............

mathcd

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大笨象

题目好像不全。连个方程都没有~

大笨象

题目好像不全。连个方程都没有~