- 在线时间
- 4 小时
- 最后登录
- 2019-4-28
- 注册时间
- 2007-11-20
- 听众数
- 5
- 收听数
- 23
- 能力
- 0 分
- 体力
- 5138 点
- 威望
- 0 点
- 阅读权限
- 200
- 积分
- 1678
- 相册
- 1
- 日志
- 8
- 记录
- 6
- 帖子
- 254
- 主题
- 24
- 精华
- 0
- 分享
- 0
- 好友
- 46
TA的每日心情 | 开心 2019-4-28 22:45 |
---|
签到天数: 7 天 [LV.3]偶尔看看II
- 自我介绍
- 师范院校数学专业毕业,学的全面但不深入,请各位多多关照。
 群组: 数学建模 群组: LINGO 群组: Matlab讨论组 群组: 第三届数模基础实训 |
本帖最后由 huaer 于 2010-2-11 15:36 编辑 4 C ]' j" @3 G
( I0 C$ o& \8 E0 a$ \9 Y# o" m
/ Y; b, I0 B! p4 W T- Q M* r) f( A- |+ t( i, P
在1882年,著名数学家菲立克斯·克 莱因(Felix Klein)发现了后来以他的名字命 名的著名"瓶子"。这是一个象球面那样 封闭的(也就是说没有边)曲面,但是它 却只有一个面。在图片上我们看到,克莱 因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶 底,它的瓶颈被拉长,然后似乎是穿过了 瓶壁,最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如 果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相 连的话,我们就会得到一个轮胎面。
5 O4 E3 b, }; `- y+ V
5 H3 L" k! w3 p E 我们可以说一个球有两个面--外面和内面,如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行,那么如果它不在球面上咬一个洞,就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样,有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同,我们很容易想象,一只爬在"瓶外"的蚂蚁,可以轻松地通过瓶颈而爬到"瓶内"去--事实上克莱因瓶并无内外之分!在数学上,我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型,而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
' k" a, w& Y5 }7 ]& v; L, v, ]7 i+ ]1 H, B6 F: d e
( I& m. |: @3 O+ P( A% \菲立克斯·克莱因
- r0 Z1 X# g: m+ a0 P0 e |0 C, e4 M4 {; L. e, S9 [/ i1 A
如果我们观察克莱因瓶的图片,有一点似乎令人困惑--克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的,换句话说,瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如此。事实是:克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面,如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中,我们只好将就点,只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上,克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的,并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢?& \ t4 e+ A' B8 x+ Y
& q; ?) g2 M1 g- c7 ]4 ~我们用扭节来打比方。看底下这个图形,如果我们把它看作平面 上的曲线的话,那么它似乎自身相交,再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白,这个图形其实是三维空间中的曲线,它并不和自己相交,而且是连续不断的一条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样,但是如果有第三维的话,它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时,只好将就一点,把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样,这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中,即使是最高明的能工巧匠,也不得不把它做成自身相交的模样;就好象最高明的画家,在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。题图就是一个用玻璃
9 F2 a1 Y$ E2 R, O5 S吹制的克莱因瓶。! c U( ~' M N5 I- D, j
; G% R; E" T, F5 h 大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭180度,再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一 莫比乌斯带个面的曲面,但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是,它有边(注意,它只有一条边)。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来,你就得到了一个克莱因瓶(当然不要忘了,我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合,否则的话就不得不把纸撕破一点)。同样地,如果把一个克莱因瓶适当地剪开来,我们就能得到两条莫比乌斯带 除了我们上面看到的克莱因瓶的模样,还有一种不太为人所知的"8字形"克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同,但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面--克莱因瓶。 |
zan
|