费马大定理的简易证明

马路人群

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5 \$ @: l! K1 \3 u$ w费马大定理的另一种证明
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1 _; z3 x, o: H7 v; H0 u邮箱：yangtiansheng68@sina.com

* q$ J0 o: u% f8 X$ c6 j; @/ H7 N摘要：一个正无理数与一个非0的、不互为倒数[形如n√a的无理数，另一个因数不为n√a^n-1(n次根号a的n-1次方)]的正实数之积仍然是无理数；一个正无理数与一个正实数之和仍然是无理数。当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n没有正整数解。
5 ^' h6 h# r5 O关键词：无理数  费马大定理
# D/ }7 W7 J0 k) }正文：
费马大定理是又称费马最后的定理，由17世纪法国数学家费马提出，而当时人们称之为“定理”，并不是真的相信费马已经证明了它。虽然费马宣称他已找到一个绝妙证明，但经过三个半世纪的努力，这个世纪数论难题才由普林斯顿大学英国数学家安德鲁•怀尔斯和他的学生理查•泰勒于1995年成功证明。证明利用了很多新的数学知识，包括代数几何中的圆锥曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等，分的情况也比较复杂，这里我们给出另一种相对简单的证明方法。
我们已经知道：一个正无理数与一个非0的、不互为倒数[形如n√a的无理数，另一个因数不为n√a^n-1(n次根号a的n-1次方)]的正实数之积或和仍然是无理数。
下面我们再证明n√4（n次根号4）、n√2（n次根号2）是无理数（n＞2）。
( ^7 C) }9 s/ d) u, h& U5 q证明：假设n√4（n次根号4）不是无理数，而是有理数。
既然n√4（n次根号4）是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：
9 _2 A& p- m/ F% O5 Y$ j7 `4 v4 e　　n√4=p/q
  @5 {7 Y- K* ]" ~7 N) [- u又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
. e: l( y$ |$ s1 _* {# o把n√4=p/q 两边n次方
) C0 ^5 n2 w2 k) @! r8 `, ^6 n得4=(p^n)/(q^n)
即 4(q^ n)=p^ n
由于4q^ n是偶数，p 必定为偶数，设p=2m
由 4(q^ n)=2^ n (m^ n)
& g' f0 t8 B4 ?  v得 q^2=2^ (n -2)m^2
3 h: Y5 {0 Y8 g, l  j同理q必然也为偶数，设q=2n
. [$ H/ o/ G- Z既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设n√4是有理数引起的。因此n√4是无理数。
1 P$ l8 u, g6 F% y- r* v: m同理可证n√2是无理数。
2 d! k  e- ~3 \. ~费马大定理：当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解。
, \( [( s3 I3 H2 ~, {4 U证明：要想证明当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解，只需要证明对n > 2时，关于x, y, z的不定方程 x^n + y^n = z^n中任何一个未知数不可能为正整数即可。
1 o9 H! D8 {3 J4 Z# O我们知道：x^2+y^2=z^2的通解为：x=2ab；y=a^2-b^2；z= a^2+b^2（ab≠0， a、b为正整数，a＞b）。
1、当n=2k即n为偶数时（k＞2），有：
(x^k) ^2+(y^k) ^2=(z^k) ^2
∴x^k=2 ab；y ^k=a^2-b^2；z ^k= a^2+b^2。
∴x =k√2k√ab（k次根号2乘以k次根号ab）
+ t4 r$ E+ S. Q$ Q+ J: w: I: l而k＞2时，k√2（k次根号2）是无理数，且k√ab与k√2不可能互为倒数，也不会为0（a、b为正整数），ab也不等于2^ k-1。假如ab=2^ k-1，由于a＞b，不妨令：
a=2^ k-2  b=2（事实上，a=2^ k-3  b=2^2等情况可以得出同样的结论），
由此得：
y^k=（2^ k-2）^2-2^2
故 y= k√2^2 k√【（2 ^2 k-4）-1）】
' O* r6 a- Z: Y5 ?而k√2^2是无理数，且【（2^2 k-4）-1】不能为2^k-2，
可以得出y是无理数，原方程无正整数解。那么就有：
x =k√2k√ab（k次根号2乘以k次根号ab）也是无理数,因此，当n=2k时（k＞2）时，不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解。
5 ?1 h) V( Y+ l: b2、当n=2k+1即n为奇数时（k＞2），有：
8 D% f9 Y6 z% h+ L+ \(x^k√x) ^2+(y^k√y) ^2=(z^k√z) ^2
* B" @' R  r. H; h3 w  Z2 T∴x^k√x =2 ab；y ^k√y =a^2-b^2；z ^k√z = a^2+b^2
2 f: S$ C1 \8 W- q8 s5 Q+ b∴x^2k+1=4 a^2b^2；y ^2k+1 =(a^2-b^2) ^2；z ^2k+1 =(a^2-b^2) ^2
∴x=(2k+1)√4(2k+1)√ a^2b^2（2k+1次根号4 乘以2k+1次根号a^2b^2）
而(2k+1)√4是无理数（k＞2），且(2k+1)√a^2b^2与(2k+1)√4不可能互为倒数，也不会为0（a、b为正整数），a^2b^2也不等于4^2k（理由同上）。
故x =(2k+1)√4(2k+1)√ a^2b^2（2k+1次根号4 乘以2k+1次根号a^2b^2）也是无理数。因此，当n=2k+1时（k＞2）时，不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解。
   综上所述，不定方程 x^n + y^n = z^n在n＞3时无正整数解。

飞连天

看不懂。。。不过这么难的定理这么短就能证明出来？

马路人群

不要看是否简单，关键看是否正确。

马路人群

呵呵，咋么不热闹呀。

马路人群

1。假如ab=2^ k-1，由于a＞b，不妨令：
a=2^ k-2  b=2（事实上，a=2^ k-3  b=2^2等情况可以得出同样的结论），
4 j5 }0 ?+ G% A  M7 p由此得：
0 v& n2 Q/ r6 s2 l6 ^y^k=（2^ k-2）^2-2^2
故 y= k√2^2 k√【（2 ^2 k-4）-1）】
4 }/ R- X& f( y- p- L+ ^而k√2^2是无理数，且【（2^2 k-4）-1】不能为2^k-2，
$ f) A- v2 y9 F/ U1 `: D* h可以得出y是无理数，原方程无正整数解。那么就有：
. c4 l, a. Q5 b- G; G5 @4 B* mx =k√2k√ab（k次根号2乘以k次根号ab）也是无理数,因此，当n=2k时（k＞2）时，不定方程 x^n + y^n = z^n无正整数解。
& `" k: r3 Q" R6 x" Q  f" I8 Z& z

马路人群

已知a,b,c为正整数，今天为星期天，那么a∧b∧c是星期几？

马路人群

不定方程 x^n + y^n = z^n在n＞3时无正整数解。
, G  X8 C* [8 ^( S+ g

马路人群

不定方程 x^n + y^n = z^n在n＞3时无正整数解。

马路人群

请多指教。

马路人群

一个正无理数与一个非0的、不互为倒数[形如n√a的无理数，另一个因数不为n√a^n-1(n次根号a的n-1次方)]的正实数之积仍然是无理数；一个正无理数与一个正实数之和仍然是无理数。