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[已经解决] 沙子开采问题！

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发表于 2011-9-2 13:53 |只看该作者 |倒序浏览

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开采沙子问题
摘要
本题主要针对所给区域的含沙量，以及沙子的开采方案进行估算推理。
问题一：我们利用已有数据（网格中1—7行，B—N列的数据）进行填写，采用二维插值的方法对这些数据进行数值估算，并借助Matlab软件进行三次分布图形模拟，得出因所在房屋问题而未能测的数据（其中第7行第N列采用几何方法先计算出来）。将网格补充完整后，对每个网格中沙子厚度（沙层顶部高度—沙层底部高度）进行求和，得出所给区域内沙子的总厚度，然后再根据网格数算出沙子的平均高度。再求出沙子总体积，从而得出沙子的总质量在664万吨左右。
问题二：在问题一中我们已经推算出沙子的总质量大于400万吨，且通过计算得出表土与沙子的体积比为18.41%，满足蓝天公司给出的条件。在满足蓝田公司的一定获利的条件、不考虑月贴现率的情况下做出初步估算，可获利在11235642.21元左右（全部开采），并得出结论：该公司可以对所给区域进行投资开采。
问题三：在沙子开采的问题上，结合实际，考虑到部分沙土分布不均匀，存在表土层厚而沙层薄的情况，若全部开采不仅工期较长，而且总体效益不是很好。因此我们给出部分开采的开采方案，并从工程所需时间短、开采利润大的角度出发，假设表土跟沙子交界处沙子跟表土是绝对分开不存在质量不好的那部分沙子，在进行模型的构建时，采用网格法将所给区域分成若干个网格，以网格为单位分别推算出各网格的沙子厚度、表土层厚度、单位所得利润及所需单位开采的时间等相关数据，借助Matlab所得三维图像进行综合分析，得出部分开采方案。

关键字：二维插值 MATLAB  部分开采  月贴现率

1问题重述
开采沙子时由于表土的松散结构，开采沙子不能采用地下开采的方式，而只能露天开采，这就必须将表土移至别处，然后才能将沙子挖出．
现在有一块开采地,其面积为 ,在依据开采地画出了如图所示的方形网格．开采地上有部分的房屋和农田等．
                        图1


蓝田公司委托一支地质队在上图中的网格点处用空心管垂直钻入地下取样．利用进入空心管中表土和沙子的数量可得到附表中网格点的个数据，其中每个网格点中最上面一项是地表高度，中间一项是沙层顶部的高度，最下面一项是沙层底部的高度．由于地表有房屋等设施所限，部分网格点的数据没有取样采集到，也即是附表中的空白网格点处．
蓝田公司现将相关材料提供给你，要求你完成下面几项工作：
（1）根据附表中的相关数据选用适当的方法将空白网格点处的数据填补完整，并计算出此沙矿中所含沙子的总数量.
（2）如果蓝田公司给出下面的条件：该矿含沙量超过万吨，并且表土体积小于沙子体积的，则开采一定获利．由你做出判断蓝田公司是否应该对这项工程投资．
（3）如果可以投资，蓝田公司要求你对该工程做一个经济分析，确定一个好的开采方案，使所得利润最大，并求出相应的利润；如果不能投资，给出你的理由.

2问题分析
问题一：要补充完整表格就要分别把表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的数据分析求解出来，根据网格中已有的相关数据，取一个数据较完整的区域（网格中从1—7行，B—N列，第7行第N列利用几何法先估算出来）利用二维插值法进行数据处理，然后用Matlab编程运算分别得出表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的三维地貌图，再根据各个图中横、纵坐标所对应的Z坐标的数据就得出由于地表有房屋等设施所限，部分网格点的数据。网格点补充完整后就根据网格点中的数据分别算出每个小区域的表土厚度（表土高度-沙层顶部高度）和沙层厚度（沙层顶部高度-沙层底部高度），我们将所有的沙土汇集在单位网格内进行计算，用累加法求出沙层、土层在单位面积里的总厚度，乘上各个小区域的平均面积就得出所给区域的含沙总量以及表土总量。
问题二：在满足总沙量超过400万吨、体积比小于19%，在不考虑月贴现率的情况下对所有地进行开采，算出蓝田公司获利在11235642.21元左右，得出蓝田公司应该对这项工程投资。
问题三：通过对单位网格的利润进行二维插值，经Matlab计算得出图像，再结合单位网格工期以及前面沙的厚度等进行综合量化和分析。对那些沙层薄的地方且工期长利润少得地方抛弃不开采。从而划分出要开采的地方，求出利润。

3模型假设
1、沙子的销售单价及沙子和表土的运费都不变。
2、沙子开采时机器都是正常运行的。
3、区域的变化对表层土和沙子的运费等开采费用不增加。
4、沙子和土厚度为连续变化。
5、开采过程中，一定区域的表层土移走后，垂直下层的沙子能完全被开采。
6、开采过程只对利润贴现，而不对所有投入贴现。
7、每月所能开采的沙最大体积和土德相同相同。
8、开采时不考虑房屋对工程进度的影响。
9、沙子跟表土是绝对分开的，不存在沙子和表土混合质量不好的那部分沙子。

4符号说明
：沙子的总量（体积）
：表土的总量（体积）
：第i行第j列所含沙子的高度  i=1，2……9、j=1，2……15
：第i行第j列所含表土的高度  i=1，2……9、j=1，2……15
  ：每个网格的平均面积
：开采地的总面积
：沙子的总质量
：表土的总质量
：沙子的平均密度
：表土的平均密度
  ：月贴现率
：沙子的最大月开采量
：补偿对现有农作物和房屋的损失
：开采后修建美化的支付费用
：开采每吨沙子付地区使用费用
：每倾倒一吨表土所付费用
：表土挖出运到附近每吨所付费用
：开采每吨沙子并运到市场费用
：沙子的每吨销售单价
：每个网格若开采所需要的时间
：土的月最大开采量
：单位网格开采所获初步利润
：方案开采的利润
：总利润

5 模型的建立与分析求解
5.1关于问题一的模型于建立与求解

5.1．1填充网格中所空白数据
对于网格中的所给出的数据进行分析，X、Y是给定的网格点的横、纵坐标，Z地表高度，先做出网格点中所给的部分数据的分布图，然后分别作出地表高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的地貌图（matlab数据程序见附录）
插值后的地表高度结果见图5—1：

图5—1
插值后的沙层顶部高度结果见图5—2：

图5—2
插值后的沙层底部高度结果见图5—3：

图5—3

根据图5—1、5—2、5—3中相应坐标可分别得出所要补充的网格中的地表高度、沙层顶部高度、沙层底部高度空白数据,补充的网格点数据如下表5—4。（把横行A,B,C……O换成1，2……15，把列行0，1，2……8换成1，2……9方便下边使用）。

A B C D E F G H I J K L M N O
0 21.5
18.2
15.9 21.9
19.2
13.7 22.2
19.5
11.7 22.3
19.7
9.9 22.9
19.8
5.9 23.0
19.6
3.8 23.1
19.5
2.8 22.4
19.4
2.5 21.0
16.7
2.9
1 22.0
19.1
13.1
2 22.3
19.8
10.7
3 22.4
20.1
8.4
4 22.6
19.9
6.2

5 22.6
18.5
10.2
6 22.1
17.9
13.7
7 22.0
18.3
16.3 21.4
17.1
16.4
8 23.1
17.1
2.1 22.4
20.4
1.3 21.9
20.6
1.8 22.6
20.6
2.6 22.4
20.3
3.6 21.4
19.4
6.1 21.5
18.9
9.4 20.4
18.5
9.1 20.4
18.1
9.7 20.3
17.3
10.5 19.6
16.1
12.1

表5—4

5.1．2砂矿中所含沙子总量

表5—5
根据表格中所得表土厚度和沙厚度可计算出沙子总量和表土总量。
由于每个网格的平均面积
4573170（表示第行第列的沙子的高度）
883109.2 （表示第行第列的表土的高度）
5.2关于问题二的模型及求解

根据问题一中所得出的数据，可得出：
由质量公式

其中，得出：
沙子的总质量 1.62 4573170=7408535.4
表土的总质量 =1.35 883109.2=1192197.42

假设不考虑月贴率、对开采地全部开采、每月开采量都达到最大.则蓝田公司盈利为：

=
=
其中：
c=2.96元, 元, 元, 0.5472元, 0.121元, 0.3672元, 0.4592元
得 =12691283.976996元。
显然在没考虑月贴现率的情况下蓝田公司就能盈利的，所以我们判断蓝田公司应该对这项工程投资。

5.3关于问题三的模型及求解

经过问题二初步判断得出蓝田公司应该对这项工程投资。对表5—5进一步进行分析。
可得出每个网格若开采所能获初步利润（包含美化所需费用和房屋破损所应付的费用）：

得结果为：

表5—6

用Matlab将表5—6的值进行插值得到下图。

图5—7 （详见附录2）

由于沙子的最大月开采量为万吨。我们假设每月能开采的体积为定值，
经过公式：对土的最大月开采量进行估算得道为8.5万吨。
由此，我们经过将表5—5进一步计算得到每个网格若开采所需要的时间及总的时间 =72.895.

　 A B C D E F G H
1 0.189 0.269 0.349 0.416 0.559 0.572 0.642 0.675
2 0.296 0.396 0.476 0.556 0.572 0.662 0.725 0.749
3 0.392 0.479 0.612 0.689 0.699 0.728 0.768 0.772
4 0.466 0.552 0.646 0.706 0.712 0.742 0.765 0.769
5 0.549 0.622 0.669 0.716 0.729 0.742 0.765 0.779
6 0.619 0.649 0.672 0.709 0.739 0.756 0.766 0.776
7 0.672 0.718 0.712 0.722 0.746 0.746 0.746 0.749
8 0.732 0.791 0.785 0.749 0.736 0.709 0.703 0.663
9 0.698 0.801 0.778 0.732 0.706 0.673 0.666 0.629
　 I J K L M N O 　
1 0.669 0.735 0.751 0.761 0.768 0.749 0.602 　
2 0.749 0.772 0.778 0.775 0.772 0.762 0.542 　
3 0.782 0.818 0.812 0.805 0.782 0.762 0.585 　
4 0.782 0.792 0.802 0.805 0.775 0.729 0.549 　
5 0.779 0.795 0.789 0.779 0.749 0.586 0.546 　
6 0.779 0.785 0.779 0.575 0.522 0.469 0.415 　
7 0.752 0.736 0.629 0.492 0.422 0.372 0.278 　
8 0.656 0.639 0.512 0.392 0.279 0.192 0.162 　
9 0.582 0.516 0.406 0.383 0.356 0.329 0.245 　
表5—8
表5—8的图详见附录2（单独说明）

综上所述，经过数学分析我们给出部分开采的方案，即开采如下图所对应的区域。
首先从F9的区域进行开采并向别处推进，工程总期限大约为73个月。

　 A B C D E F G H I J K L M N O
1 　　　　　　　　　　　　　　　
2 　　　　　　　　　　　　　　　
3 　　　　　　　　　　　　　　　
4 　　　　　　　　　　　　　　　
5 　　　　　　　　　　　　　　　
6 　　　　　　　　　　　　　　　
7 　　　　　　　　　　　　　　　
8 　　　　　　　　　　　　　　　
9 　　　　　　　　　　　　　　　
图5—9

对于图5—9给定的区域我们进行利润求解：

由于表5—6中已经计算出每个网格中的利润，我们结合开采区域（即图5—9），利用Excel中的SUM函数求和，得出结果为10844981.42元。
所以利润元。

若考虑月贴现率则
；
；
由上式得到：
      总利润为：
      得元。

6模型的评价与改进
优点：利用表土高度、沙层顶部高度、沙层底部高度的三维图的空间Z坐标直接得出的数据显而易见，比较明了误差相对较小，用表格的形式表示，使人能更加直观的观察数据，做出相应的理解。
缺点：因为是利用局部数据插值得出的三维图里得的数据与实际数据存在一定的偏差，且问题三中对开采区域的划分过于主观，导致最终结果存在一定误差。
对于上述模型所存在的问题，我们对模型进行补充。在考虑样本差值时可以选用更多的样本点来进行估算，尽可能来缩小估算误差。在绘制三维坐标图时采用十乘十的网格坐标进行操作可以使图形更具体、明了。

参考文献
[1]：颜文勇《数学建模》北京  高等教育出版社出版；
[2]：马莉  《MATLAB 数学实验与建模》北京清华大学出版社出版；
[3]：郭培俊毛海舟《高等数学建模》浙江浙江大学出版社出版；
[4]：新世纪高职高专教材编审委员会《高等数学简明教程》大连大连理工大学出版社出版；

zan