哥德巴赫猜想的一种简易证法 （修改稿）

米米叔叔

哥德巴赫猜想的一种简易证法 （修改稿）                  

李君池                  

! a6 P* c/ B' l% r' R+ W    对于哥德巴赫猜想，很多人想了各种各样的证明方法，但至今没有取得成功。本文采用了一种简易的证明方法，既简单又实用，一般具有普通文化知识的人都能看得懂。在证明之前，先做一些必要的准备：

名词1.偶数递推法。这种简易证法，名叫“偶数递推法”。所谓“偶数递推法”就是首先假定任一偶数N自身的哥猜等式是成立的，运用N所包含的素数，解决下一个偶数N+2的哥猜等式问题，如此下去，川流不息，即可解决自然数中所有偶数的哥猜等式问题。

偶数递推法的表现形式为：从最小的哥猜偶数6开始，将6加上2等于8，用6所包含的素数3和5解决8的哥猜等式，使8的哥猜等式得以成立。接着再次用8包含的素数解决8+2=10的哥猜等式，10=5+5=7+3，下一步即是用10包含的素数解决12的哥猜等式，12=7+5，...如此连续下去，从最小的偶数开始，一个不落地向后递推，用N中所包含的素数解决N+2的哥猜等式。这种递推法的最终结果是：使自然数中所有偶数的哥猜等式都得到解决。

对于“偶数递推法”，我们有几个形象的比喻，“偶数递推法”具有三种“精神”：1.永不停息。到目前为止，人们已经验证了1.75×10的18次方都是成立的，而这所有已知的哥猜等式都是可以用偶数递推法予以解决的，随着科学技术的进步，这一纪录将会被不断刷新；2.团结友爱。任一偶数N，它所包含的素数总能解决小于或等于自身的所有偶数的哥猜等式。如20所包含的素数3 5 7 11 13 17 19能够解决不仅20自身，同时也能解决小于20的所有偶数的哥猜等式问题；3.乐于奉献。任一偶数N，不仅可以解决自身的哥猜等式问题，还可以解决下一个，甚至下面几个、几十个、几百个、...偶数的哥猜等式问题。如20所包含的素数就可以解决那些大于20的哥猜等式问题：11+11=17+5=19+3=22,13+11=24,13+13=26，这样就解决了22,24,26的哥猜等式问题，随着数字的增大，可以解决的哥猜等式就越多。本文着重所要讨论的是：为什么任意偶数N所包含的素数都能解决下一个偶数N+2的哥猜等式？

当然，任何一种好的证明方法都需要通过实际证明且准确无误，才能得到普遍的承认。对于 “偶数递推法”，它的证明过程虽然简单，但也不可以是一蹴而就的。我们在给这一方法证明之前，再给大家介绍一个名词：
( I. m. i. s% s0 _1 ~5 M- k2 t

名词2.素数对。对于任意一个大于6的偶数n，以n/2为分界把n分成两个部分，我们把n向下至n/2的这一部分叫做“下半区”，把n/2向下至3这一部分叫做“上半区”，在下半区和上半区的素数中，相加之和等于n的那两个素数，我们称这两个素数（有时是一个，当中位数是素数时）为“素数对”。如14=11+3=7+7，11和3是一个“素数对”，7和7也是一个“素数对”。
    哥德巴赫猜想等式的本质是：任一偶数N包含有素数对（简称素对）。
   

这里，为了保持文章的统一性、完整性，有一个强制性的规定，即为：无论中位数（n/2）是否为素数，都将这个数划归为下半区。如：26/2=13,13划归为下半区；18/2=9,9也划归为下半区。下面，再给大家介绍一个公理：

6 D9 F$ y0 g, z& _公理1：素数在自然数中的出现是不规则的。并且，任意一个偶数N（N>18），它的上、下半区所包含的素数出现的规律是各不相同的。既没有相同的规律，也没有相反的规律。

这个公理的来源，可以参见这两部分：（1）素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。——摘自《素数分布-搜搜百科》；
4 E6 t" `- _  J$ n2 u0 o    （2）质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。——摘自《质数-360百科》。
     

我们的证明，从最简单的偶数6开始：6=3+3，有素对；
- G+ Q5 d5 z% b$ C4 G" d% M7 Y" _   当N=8时，8=5+3，有素对；

下一个数字10，10=5+5=7+3，有素对；

数字12, 12=7+5，有素对；

当N=16时，16=11+5=13+3，有素对；

当N=18时，18=11+7=13+5，有素对；
......................

下面，即有：命题P(n)=素数+素数。

（1）   人们在长期的实践中，通过验证证明n,从6开始，一直到n0=1.75×10的18次方时命题P（n）成立；

（2）   假设当n=k(k是>=n0的非具体的自然数)，即N=2k时，命题P(n)成立，下面要证明的是n=k+1,即N=2k+2时，命题P(n)也成立。说的直白一点，就是：假设N成立，如何证明N+2成立。

证明如下：
/ L3 X2 ]" Q# @4 I3 i设任一偶数N（N>18），其哥猜等式是成立的，即N=素数+素数，并且，其

上、下半区的素数分别为：
下半区： p1、p2、p3、p4、p5、p6、...、pi、...、pn;
上半区： 3、5、 7、11、13、17、...、pf、...、ph。

对于下一个偶数N+2：

假设：N+2的哥猜等式有可能成立，也有可能不成立。

如果不成立，必然有：我们先从下半区的素数pn开始考虑：此时的pn不可能比N小1，否则，pn+3=N+2， N+2的哥猜等式成立。同样道理：Pn不可能是这样的一些素数：pn+5=N+2，pn+7=N+2，pn+11=N+2，pn+13=N+2，...，pn+ph=N+2，也就是说，pn是这样的素数，它不可能和上半区任意一个素数相加之和=N+2，如果是两个素数在相加，则N+2的哥猜等式就成立了。继续向前：pi也是这样一个素数：pi也是不能+3、+5、+7、+11、+13、+17、...、+ph=N+2的素数。继续向前：可以推断的是：p6、p5、p4、p3、p2、p1所有的下半区的素数都是pi这一类的素数.因为下半区的素数中，只要有一个pi+ph=N+2成立，则N+2的哥猜等式就成立了。下面继续：将以上的内容归纳，可以得到这样一组的不等式：
" `( H  p+ G5 ~5 u8 J! f. DPn+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2
......
+ K5 c9 h+ v5 N: i. M  ^+ {5 vPi+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2
......
) U5 \  M0 }/ a( D: ^: V0 \P3+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2
P2+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2
P1+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2。
, A; r& ~! z: l. X6 u" ~3 N. E    然而，当N确定之后，上、下半区的素数也随之确定，我们以pi来代替下半区的任一素数，以上几个不等式就可以简化为一个：
- C6 c# m7 P& [- E2 mPi+(3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph)不等于N+2   ......（1）

由于3、5、7、11、13、17、... pf、...、ph即是N上半区的素数，（1）式可简化为： Pi+（上半区素数）不等于N+2 ......（2）

对于（2）式，如果我们并不硬性规定Pi的限制，只是采用下半区的奇数与上半区的素数相加，必然有：

J1+3=J2+5= J3+7= J4+11= J5+13=...= Ji+Pf=...= Jn+Ph=N+2.......(3)

式中Ji表示下半区的奇数。比较（2）式和（3）式，这就产生了一个非常奇特的结果：（3）式下半区中的所有奇数只能是奇合数而不能是奇素数，如果是奇素数则（3）式则变成了（2）式，即：{Pi+（上半区素数）不等于N+2}。这种“非常奇特的结果”，真的是让人哭笑不得。

如果是这样“奇特”的话，（3）式就会产生如下一些“讨论”：

① 一个寻找奇合数的一个简易方法：设，某一偶数N，其上半区的素数为3 5 7 11 13 ...Ph，用下半区的奇数与之相加：J1+3= J2+5=J3+7= J4+11= J5+13=...= Ji+Pf=...= Jn+Ph=N+2，这个等式中的任意一个Ji都是奇合数而没有一个素数。然而，这样的寻找奇合数的“简易方法”，真的是让人目瞪口呆，就连最小的哥猜偶数6、8、10、12...，也不可能找到全是奇合数。虽然现实中人们无法找到，但还是有人认为：“理论上会有这样的结果”。

   既然理论上有结果，它就吸引着一代又一代的数学家和“哥迷”们为之不辞辛劳，忘我奋斗，可是，这样的奋斗能有结果吗？小的数字不说，当N>1.75×10的18次方时,下面的公式能够成立吗？

   §（N下半区的奇合数）+§（N上半区的素数）=N+2. （所有的被加数中N的下半区全是奇合数而没有一个数是素数）

   我们只能为有这样的幻想而感到悲哀。

②N下半区的素数变得非常有规律。在等式（3）中，N下半区的素数为了避开所有的上半区素数，全部隐身不出现，使之所有下半区的奇数加上上半区的素数之和等于N+2之时，下半区的奇数全部都是奇合数，其中没有一个是素数。如果能够得以全部隐藏，则N下半区的素数一定是非常有规律的，它一定可以通过复制上半区素数的规律而得到。有人说：虽然，我们还没有找到某一大偶数N上半区素数的规律，但我们可以将其分成一个个段落，这一个个段落的规律我们还是可以复制的。然而问题是：一个偶数中上、下半区所有的段落规律都可以全面复制，就只能是“理想状态”而已了。这种上、下半区素数的规律可以全面复制，从而达到N上、下半区素数的规律完全相同或者相反的“理想”，既违背了事实，也违背了公理。公理1指出：任意一个偶数N（N>18），它的上、下半区所包含的素数出现的规律是各不相同的。既没有相同的规律，也没有相反的规律。

对于哥猜等式，人们并不习惯于这一公理，因为多年来人们总是在寻找素数的一些规律，并且也有人做出了一些成绩。可是，他们所寻找的只是素数集合中的一些规律，而对于一个个特定的偶数N来说，这一公理是无法推翻的。

③   下面，我们还可以对公理1进行举例验证：

我们为什么要将N定为大于18呢？因为小于18时，素数上下半区的规律有可能相同。如：16的上半区素数为3 5 7 ，其间的规律为：+2+2；下半区的素数为11 13其规律为：+2，和上半区相同；而20的上半区素数为3 5 7，规律为：+2+2；；下半区素数为11 13 17 19，规律为+2+4+2；各不相同。而大于20之后，就某一特定的偶数N来说，就更没有相同和相反的规律了。如：
22：上半区：3 5 7 +2+2； 下半区：11 13 17 19 +2+4+2；
$ C% i( f5 C! c24：上半区：3 5 7 11+2+2+4； 下半区：13 17 19 23 +4+2+4；
1 Z7 |* z6 C2 R) r26：上半区：3 5 7 11+2+2+4； 下半区：13 17 19 23 +4+2+4；
8 g7 N6 n; `. y# C8 s28：上半区：3 5 7 11 :13+2+2+4+2； 下半区：17 19 23 +2+4；
30：上半区：3 5 7 11 13+2+2+4+2； 下半区：17 19 23 29 +2+4+6；
4 Z3 ~6 {5 Y- m+ R32：上半区：3 5 7 11 13+2+2+4+2； 下半区：17 19 23 29 31 +2+4+6+2；
+ w6 b8 q; s# ]0 _; D# A2 C& N$ d34：上半区：3 5 7 11 13+2+2+4+2； 下半区：17 19 23 29 31 +2+4+6+2；
36：上半区：3 5 7 11 1317 +2+2+4+2+4； 下半区：19 23 29 31 +4+6+2；
3 R1 W0 d0 J0 M8 o2 ]8 a9 b6 @38：上半区：3 5 7 11 1317 +2+2+4+2+4； 下半区：19 23 29 31 37 +4+6+2+6；
8 _$ h8 O9 O6 G' ^& U7 o' S0 j40：上半区：3 5 7 11 13 17 19       +2+2+4+2+4+2；

下半区： 23 29 31 37            +4+6+2+6；

42：上半区：3 5 7 11 13 17 19       +2+2+4+2+4+2；

下半区：19 23 29 31 37 41       +4+6+2+6+4；

44：上半区：3 5 7 11 13 17 19       +2+2+4+2+4+2；

下半区： 23 29 31 37 4143      +4+6+2+6+4+2；

46：上半区：3 5 7 11 13 17 19       +2+2+4+2+4+2；

下半区： 23 29 31 37 4143      +6+2+6+4+2；

48：上半区：3 5 7 11 13 17 19 23    +2+2+4+2+4+2+4；

下半区： 29 31 37 41 4347      +4+6+4+2+4；

50：上半区：3 5 7 11 13 17 19 23    +2+2+4+2+4+2+4；

下半区： 29 31 37 41 4347      +4+6+4+2+4；

.......。

   从中，我们能够发现：1.不管偶数N是如何增大，它的上半区素数的前几位总是固定的： 3 5 7 11 13 17 19 23...；而下半区素数是动态变化的。2.在上半区的素数3 5 7 11 13 17 19中，隐含着两个“四生素数”，它们是：5 7 11 13和11 13 17 19。这样连续两个隐含四生素数的现象在自然数中是绝无仅有的。这种上半区素数+2+2+4+2+4+2...的规律，是独特的，是下半区素数不可能模仿复制的。随着偶数的增大，上、下半区素数出现的规律更加杂乱无章，我们更加无法将其从整体上配对、复制。所以，任意一个偶数N（N>18），它的上、下半区所包含的素数出现的规律是各不相同的。既没有相同的规律，也没有相反的规律。

    至此，我们已经证明了（3）式这种全部是奇合数的等式是不存在的，由于（3）的不存在，必然有N+2=素数+素数的存在。原命题得证。

由此，我们得到如下结论：

结论：对于任一偶数N（N>18），当我们用N下半区的奇数加上上半区的素数，使之和等于N+2时，在得到的所有等式中，必然会有下半区的素数，即N+2的等式中必有“素数+素数”这种情况的存在，即哥德巴赫猜想等式必然永远成立。

   

偶数递推法能够成立的理论基础只有一个。即：任一偶数N（N>18），其上、下半区素数的出现都是有着各自不同规律的。正是这各自不同的规律，使之在用下半区的奇数加上上半区的素数，所得之和为N+2时，所有的等式中必然包括有“素数+素数”这样的等式存在，从而使N+2的哥猜等式成立。那种幻想着到了某个大数时，下半区的素数为了“躲避”与上半区的素数相碰撞，一下子就全部隐身，全部变成了奇合数的想法是不切实际的，是不可能的。

最后，我们再举一个稍大的数字对这一方法进行验证：设N=9066。
这9066上、下半区的素数分别为：
上半区：3 5 7 11............ 4513 4517 4519 4523，共614个；
& F4 d. v; \+ p( ~$ e$ S- _下半区：4547 4549 4561 4567.......... 9041 90439049 9059，共511个。
& U5 z- ^% S3 A现在，我们用偶数递推法来解决9068的哥猜等式：用上半区的614个素数与下半区的奇数相加，使之和为9068，这614个等式为：9068=4545+4523,
4549+4519,4551+4517,4555+4513，............，9057+11,9061+7，9063+5,9065+3。
根据公理1以及以上的证明，我们可以直接得出判断：在这614个等式中必有“9068=素数+素数”存在，9068的哥猜等式必然成立。事实正如我们的判断，9068的哥猜等式共有92次，它们是：9068=
  4549+4519,4561+4507,4621+4447,4729+4339,4909+4159,4957+4111,

4969+4099,5011+4057,5101+3967,5179+3889,5431+3637,5437+3631,

5521+3547,5527+3541,5557+3511,5569+3499,5737+3331,5749+3319,

5839+3229,5851+3217,5881+3187,6007+3061,6067+3001,6151+2917,

6211+2857,6217+2851,6271+2797,6277+2791,6301+2767,6337+2731,

6361+2707,6379+2689,6397+2671,6421+2647,6451+2617,6529+2539,

6547+2521,6679+2389,6691+2377,6781+2287,6829+2239,6907+2161,
! c% N$ W8 j2 U5 g7039+2029,7057+2011,7069+1999,7207+1861,7237+1831,7309+1759,

7321+1747,7369+1699,7411+1657,7459+1609,7489+1579,7537+1531,

7621+1447,7639+1429,7669+1399,7687+1381,7741+1327,7789+1279,

7867+1201,7951+1117,8017+1051,8059+1009,8101+967,8161+907,

8191+877,8209+859,8311+757,8317+751,8329+739,8377+691,8461+607,

8467+601,8521+547,8527+541,8581+487,8629+439,8647+421,

8689+379,8719+349,8731+337,8737+331,8761+307,8839+229,

8887+181,8929+139,8941+127,8971+97,9001+67,9007+61,9049+19。

我们完全可以运用偶数递推法得到：9070、9072、...、N+2,的哥猜等式都是成立的。

米米叔叔

真诚希望《数学中国》中的老师给出批评、建议。恭候老师的实质性的批评。