陈 省 身 演 讲：中 国 的 数 学

数学王子

美 籍 华 裔 数 学 家、 中 国 南 开 大 学 数 学 研 究 所 所 长 陈 省 身 教 授， 在 庆 祝 自 然 科 学 基 金 制 设 立 15 周 年 和 国 家 自 然 科 学 基 金 委 员 会 成 立 10 周 年 之 际， 以 《中 国 的 数 学》 为 题 发 表 讲 演。

以 下 是 这 篇 演 讲 的 全 文， 特 此 刊 出， 以 飨 读 者。

中 国 的 数 学

几 件 数 学 新 闻 和 对 于 中 国 数 学 的 一 些 看 法

陈 省 身

张 存 浩 先 生 要 我 讲 点 数 学， 这 么 短 的 时 间， 而 数 学 这 么 大， 只 好 举 几 个 要 点 谈 谈。 数 学 是 什 么？ 数 学 是 根 据 某 些 假 设， 用 逻 辑 的 推 理 得 到 结 论， 因 为 用 这 么 简 单 的 方 法， 所 以 数 学 是 一 门 坚 固 的 科 学， 它 得 到 的 结 论 是 很 有 效 的。 这 样 的 结 论 自 然 对 学 问 的 各 方 面 都 很 有 应 用， 不 过 有 一 点 很 奇 怪 的， 就 是 这 种 应 用 的 范 围 非 常 大。 最 初 你 用 几 个 数 或 画 几 个 图 就 得 到 的 一 些 结 论， 而 由 此 引 起 的 发 展 却 常 常 令 人 难 以 想 象。 在 这 个 发 展 过 程 中， 我 认 为 不 仅 在 数 学 上 最 重 要， 而 且 在 人 类 文 化 史 上 也 非 常 突 出 的 就 是 Euclid 的 《几 何 原 本》。 这 是 第 一 本 系 统 性 的 书， 主 要 的 目 的 是 研 究 空 间 的 性 质。 这 些 性 质 都 可 以 从 很 简 单 的 公 理 用 逻 辑 的 推 理 得 到。 这 是 一 本 关 于 整 个 数 学 的 书， 不 仅 仅 限 于 几 何 学。 例 如， Euclid 书 上 首 先 证 明 素 数 的 个 数 是 无 穷 的， 这 便 是 一 个 算 术 的 结 论。 随 着 推 理 的 复 杂 化， 便 有 许 多 "深 刻" 的 定 理， 需 要 很 长 的 证 明。 例 如， 有 些 解 析 数 论 定 理 的 证 明， 便 需 几 十 条 引 理。 最 初， 用 简 单 的 方 法 证 明 几 个 结 果， 大 家 很 欣 赏， 也 很 重 要。 后 来 方 法 发 展 了， 便 产 生 很 复 杂 的 推 理， 有 些 定 理 需 要 几 十 页 才 能 证 明。 现 在 有 的 结 果 的 证 明 甚 至 上 百 页， 上 千 页。 看 到 这 么 复 杂 的 证 明， 我 们 固 然 惊 叹 某 些 数 学 家 高 超 的 技 巧 和 深 厚 的 功 力， 但 心 中 难 免 产 生 一 些 疑 问， 甚 或 有 些 无 所 适 从 的 感 觉。 所 以 我 想， 日 后 数 学 的 重 要 进 展， 在 于 引 进 观 念， 使 问 题 简 化。

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先 讲 讲 有 限 单 群 的 问 题。 # ?# D* I9 R0 }+ a1. 有 限 单 群

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我 们 知 道， 数 学 的 发 展 中 有 一 个 基 本 观 念 -- 群。 群 也 是 数 学 之 中 各 方 面 的 最 基 本 的 观 念。 怎 样 研 究 群 的 结 构 呢？ 最 简 单 的 方 法 是 讨 论 它 的 子 群， 再 由 小 的 群 的 结 构 慢 慢 构 造 大 一 些 的 群。 群 中 最 重 要 的 一 种 群 是 有 限 群， 而 有 限 群 是 一 个 难 极 了 的 题 目， 需 要 有 特 别 的 方 法， 特 别 的 观 念 去 研 究。

命 G 为 群， g ∈ G 为 一 子 群， 如 对 任 何 g ∈ G， g -1 H g ∈ H， 则 称 H 为 正 规 的 (normal)。 正 规 子 群 存 在， 可 使 G 的 研 究 变 为 子 群 H 及 商 群 G / H 的 研 究。 这 样 就 有 一 个 很 自 然 的 问 题， 有 哪 些 有 限 的 单 群 (simple group)？ 单 群 除 了 它 自 己 和 单 位 元 (identity) 之 外， 没 有 其 他 的 非 平 凡 的 正 规 子 群 (normal subgroup)。 数 学 上 称 其 为 简 单 群， 其 实 一 点 也 不 简 单。

有 限 群 论 的 一 个 深 刻 的 定 理 是 Fei-Thompson 定 理： 非 交 换 单 群 的 阶 (数) (即 群 中 元 素 的 个 数) 是 偶 数。 更 不 寻 常 的 是 除 了 某 些 大 类 (素 数 阶 循 环 群 Zp， 交 错 群 An (n>=5)， Lie 型 单 群) 外， 后 来 发 现 了 26 个 零 零 碎 碎 的 有 限 单 群 (散 在 单 群， 离 散 单 群)， 现 在 知 道， 最 大 的 散 在 单 群 的 阶 是

241 320 59 76 112 133 17 19 23 29 31 41 47 59 71 = 808,017.. = 1054 这 是 很 大 的 单 群， 由 B. Fisher 和 R. L. Griess 两 位 数 学 家 所 发 现， 数 学 家 称 它 为 魔 群 (怪 物， Monster)。

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单 群 的 权 威 数 学 家 D. Gorenstein 相 信 有 限 单 群 都 在 这 里 了， 这 当 然 是 数 学 上 一 个 很 好 的 结 果。 把 单 群 都 确 定 了， 就 像 化 学 家 把 元 素 都 确 定 了， 物 理 学 家 把 核 子 的 结 构 都 确 定 了 一 样。 可 这 里 有 个 缺 点， Gorenstein 并 未 将 证 明 定 出 来。 他 讲 若 将 证 明 写 出 来 至 少 有 1,000 页， 而 1,000 页 的 证 明 无 论 如 何 很 容 易 有 错 误。 可 是 Gorenstein 又 说， 不 要 紧， 若 有 错 误， 这 个 错 误 一 定 可 以 补 救。 你 相 信 不 相 信？ 数 学 界 有 些 人 怀 疑 这 样 的 证 明 是 否 必 要。 现 在 计 算 机 的 出 现， 许 多 问 题 可 以 验 证 到 很 大 的 数， 是 否 还 需 要 严 格 的 证 明， 已 变 成 数 学 上 一 个 有 争 论 的 问 题。 这 个 争 论 看 来 一 时 无 法 解 决。 段 学 复 先 生 是 我 的 老 朋 友， 是 有 限 群 论 的 专 家， 也 许 我 们 可 以 问 一 下 他 的 意 见。 我 个 人 觉 得 这 个 问 题 很 难 回 答。 不 过 数 学 家 有 个 自 由， 当 你 不 能 做 或 不 喜 欢 做 一 个 问 题 时， 你 完 全 不 必 投 入， 你 只 需 做 一 些 你 能 做 或 喜 欢 做 的 问 题。 ) {( N$ E j4 G$ k, ~5 {2. 四 色 问 题

2 ]% d1 ?/ A+ |) u, ^把 地 图 着 色， 使 得 邻 国 有 不 同 的 颜 色， 需 要 几 种 颜 色？ 经 验 告 诉 我 们， 四 色 够 了。 但 是 严 格 的 证 明 极 难。 这 就 是 有 各 的 四 色 问 题。

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地 图 不 一 定 在 球 面 上， 也 可 在 亏 格 高 的 的 曲 面 上 (一 个 亏 格 高 为 g 的 曲 面 在 拓 扑 上 讲 是 球 面 加 g 个 把 手； 亏 格 为 1 的 曲 面 可 设 想 为 环 面)。 可 惊 奇 的 是， 这 个 着 色 问 题， 对 于 g>=1 的 曲 面 完 全 解 决 了。 可 以 证 明： 有 整 数 χ (g)， 满 足 条 件： 在 亏 格 为 g 的 曲 面 上 任 何 地 图 都 可 用 χ (g) 种 颜 色 着 色， 使 邻 国 有 不 同 颜 色， 且 有 地 图 至 少 需 要 χ (g) 种 颜 色。 这 个 数 在 g>=1 时 可 以 完 全 确 定。 我 们 知 道 χ (1) = 7， 即 环 面 上 的 地 图 可 用 七 色 着 色， 四 色 不 够。

令 人 费 解 的 是， 证 明 地 球 上 四 色 定 理， 困 难 多 了。 现 有 的 证 明， 需 要 计 算 机 的 帮 助， 与 传 统 的 证 明 不 同。 而 我 们 觉 得 最 简 单 的 情 况， 即 我 们 住 的 地 球 球 面 上 的 着 色 问 题 反 而 特 别 复 杂。 把 扩 充 的 问 题 解 决 了， 得 到 了 很 有 意 思 的 结 论。 但 是 回 到 基 本 问 题， 反 而 更 难。 这 种 现 象 不 止 这 一 个， 还 有 很 多， 一 个 例 子 是 所 谓 的 低 维 拓 扑， 即 推 广 的 问 题 更 简 单， 而 本 身 核 心 的 问 题 反 而 不 易 克 服， 这 确 是 数 学 神 秘 性 的 一 面。 ; S0 V4 M/ @- y5 _5 x* x# e9 l1 X3 b7 N3. 椭 圆 曲 线

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' U/ Y! H7 Y2 y) X, e% m+ c最 近 的 数 学 进 展， 最 受 人 注 意 的 结 果 就 是 Fermat 大 定 理 的 证 明。 Fermat 大 定 理 说： 方 程 式

xn + yn = zn ， n > 2 没 有 非 平 凡 的 整 数 解 (即 x y z < > 0)。 这 个 传 说 了 300 年 的 结 果 的 证 明， 最 近 由 Princeton 大 学 的 教 授 Andrew J. Wiles (英 国 数 学 家) 给 出。 但 证 明 中 缺 一 段， 是 由 他 的 学 生 Richard Taylor 补 充 的。 因 此， Fermat 定 理 现 在 已 经 有 了 一 个 完 全 的 证 明。 整 个 文 章 发 表 在 最 近 一 期 的 "Annuals of Mathematics" (Princeton 大 学 杂 志， 1996， 第 一 期)， 整 个 一 期 登 的 是 Wiles 与 Taylor 的 论 文， 证 明 Fermat 定 理 (Wiles 为 此 同 Robert Langlands 获 得 了 1996 年 的 Wolf 奖 与 National Academy Science Award in Mathematics)。

有 意 思 的 是， 证 明 这 个 定 理 的 关 键 是 椭 圆 曲 线。 这 是 代 数 数 论 的 一 个 分 支。 有 以 下 一 则 故 事： 英 国 的 大 数 学 家 G. H. Hardy (1877-1947) 有 一 天 去 医 院 探 望 他 的 朋 友， 印 度 天 才 数 学 家 S. A. Ramanujan (1887-1920)。 Hardy 的 汽 车 号 是 1729。 他 向 Ramanujan 说， 这 个 数 目 没 有 意 思。 Ramanujan 说， 不 然， 这 是 可 以 用 两 种 不 同 方 法 写 为 2 个 立 方 之 和 的 最 小 的 数， 如

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1729 = 13+ 123 = 93 + 103 / R2 z W# v: J0 f! i这 结 果 可 用 椭 圆 曲 线 论 来 证 明。

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* t, C. Q5 x g5 x& C1 {我 们 知 道， 要 找 一 个 一 般 方 程 的 解 不 容 易 的， 而 要 找 一 个 系 数 为 整 数 的 多 项 式 方 程

P (x, y) = 0 (传 统 上 叫 Diophantine 方 程) 的 整 数 解 更 困 难。 因 为 普 通 的 解 不 会 是 整 数， 这 是 数 论 中 的 一 个 主 要 问 题。

3 x2 ]9 f8 d$ `+ l6 v8 q需 要 说 明 的， 在 Wiles 完 成 这 个 证 明 之 前， 我 有 一 位 在 Berkley 的 朋 友 Kenneth A. Ribet， 他 有 重 要 的 贡 献。 他 证 明 了 一 日 本 数 学 家 Yutaka Taniyama 的 某 一 个 关 于 椭 圆 曲 线 的 假 设 包 含 Fermat 定 理。 于 是 可 将 Fermat 定 理 变 为 一 个 关 于 椭 圆 曲 线 的 定 理。 Wiles 根 据 Ribet 的 结 果 又 继 续 经 过 了 许 多 步 骤， 以 至 达 到 最 后 的 证 明。 即 在 复 平 面 内 得 到 曲 线。 由 复 变 函 数 论 知 道， 复 平 面 内 的 曲 线 就 成 为 一 个 Riemann 曲 面。 Riemann 曲 面 为 定 向 曲 面， 它 可 以 是 球， 也 可 以 是 球 加 上 好 多 把 手。 其 中 有 一 个 最 简 单 的 情 形， 就 是 一 个 球 加 上 一 个 把 手， 即 一 个 环 面。 环 面 是 个 群， 且 为 可 交 换 群。 所 谓 椭 圆 曲 线， 就 是 把 这 个 曲 线 看 成 复 平 面 内 亏 格 (genus) 等 于 1 的 复 曲 线。 亏 格 等 于 1 的 曲 线 有 一 个 非 常 深 刻 而 巧 妙 的 性 质。 即 它 上 面 的 点 有 一 个 可 交 换 群 的 构 造。 两 个 点 可 以 加 起 来， 且 有 群 的 性 质。 这 是 很 重 要 的 性 质。 椭 圆 曲 线 与 椭 圆 无 关。 原 因 是， 若 所 有 曲 线 的 亏 格 大 于 1， 相 当 于 Riemann 曲 面 有 一 个 Poincare 度 量， 它 的 曲 率 等 于 1， 所 有 曲 面 若 其 曲 率 等 于 - 1， 则 叫 做 双 曲 的。 亏 格 等 于 1 的 叫 椭 圆。 亏 格 等 于 0 的 叫 抛 物 线。 椭 圆 曲 线 的 研 究 是 数 论 中 非 常 重 要、 非 常 有 意 思 的 方 面。 最 近 一 期 的 科 学 杂 志 (Science)， 有 位 先 生 写 了 一 篇 关 于 椭 圆 曲 线 的 文 章。 椭 圆 曲 线 在 电 报 的 密 码 上 有 应 用。 而 中 国 也 有 很 多 人 在 做 代 数 几 何 与 代 数 数 论 方 面 的 工 作。 最 近 在 黄 山 有 一 个 国 际 性 的、 题 为 "代 数 几 何 与 代 数 数 论" 的 会 议， 由 冯 克 勤 先 生 主 持。

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从 这 个 定 理 我 们 应 认 识 到： 高 深 的 数 学 是 必 要 的。 Fermat 定 理 的 结 论 虽 然 简 单， 但 它 蕴 藏 着 许 多 数 学 的 关 系， 远 远 超 出 结 论 中 的 数 学 观 念。 这 些 关 系 日 新 月 异， 十 分 神 妙， 学 问 之 奥， 令 人 拜 赏。

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我 相 信， Fermat 定 理 不 能 用 初 等 方 法 证 明， 这 种 努 力 是 徒 劳 的。 数 学 是 一 个 整 体， 一 定 要 吸 取 几 千 年 所 有 的 进 步。 ) A, v$ J, X9 C9 i$ e4. 拓 扑 与 量 子 场 论

5 ~5 D5 J3 Q( ]! y/ p1 x1995 年 初 的 一 天 晚 上， 我 在 家 看 晚 间 电 视 新 闻。 突 然， 我 听 到 自 己 的 名 字， 大 吃 一 惊。 原 来 加 利 福 尼 亚 发 一 种 彩 票， 头 彩 300 万 美 元， 若 无 人 中 彩 的 话， 可 以 积 累 到 下 一 次 抽 彩。 我 从 前 的 一 个 学 生， 名 Robert Uomini， 中 了 头 彩 美 金 2,200 万 元。 他 曾 选 过 我 的 本 科 课， 当 时 还 对 微 分 几 何 很 有 兴 趣。 他 很 念 旧， 以 100 万 美 元 捐 赠 加 州 大 学， 设 立 "陈 省 身 讲 座"。 学 校 决 定， 以 此 讲 座 邀 请 名 学 者 为 访 问 教 授。 第 一 位 应 邀 的 为 英 国 数 学 家 Sir Michael Atiyah。 他 到 中 国 不 止 一 次。 他 是 英 国 影 响 最 大 的 数 学 家， 剑 桥 大 学 三 一 学 院 的 院 长， 卸 任 的 英 国 皇 家 协 会 会 长。 Atiyah 很 会 讲 学， 也 很 博 学， 他 的 报 告 有 很 大 的 吸 引 力。 他 作 了 八 讲， 讲 题 是 "拓 扑 与 量 子 场 论"。

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这 是 当 前 一 个 热 门 的 课 题， 把 高 深 的 数 学 和 物 理 联 系 起 来 了， 导 出 了 深 刻 的 结 果。 现 在 拓 扑 在 物 理 上 有 非 常 重 要 的 应 用， 这 跟 杨 振 宁 的 Yang-Mills 场 方 程 有 很 密 切 的 关 系。 杨 先 生 喜 欢 说， 你 们 数 学 家 写 的 东 西， 我 们 学 物 理 的 人 看 不 懂， 等 于 另 外 一 种 文 字。 我 想 我 们 搞 数 学 的 人 有 责 任 把 我 们 的 结 果， 写 成 不 是 本 行 的 人 也 至 少 知 道 你 讲 的 是 怎 么 一 回 事。 物 理 学、 量 子 力 学， 尤 其 是 量 子 场 论 与 数 学 的 关 系 其 实 并 不 复 杂。 说 到 数 学 的 应 用， 讲 一 下 矢 量 空 间， Euclid 空 间 就 是 一 个 矢 量 空 间。 再 进 一 步， 多 个 矢 量 空 间 构 成 一 个 拓 扑 空 间， 这 就 是 所 谓 的 矢 量 丛， 即 一 束 这 样 的 空 间。 这 样 的 空 间 有 一 些 简 单 的 性 质。 比 如 说， 局 部 来 讲， 这 种 矢 量 空 间 是 一 个 chart， 是 一 个 集， 可 用 坐 标 来 表 示。 结 果 发 现 矢 量 丛 这 种 空 间 在 物 理 上 很 有 用。 物 理 学 的 一 个 基 本 观 念 是 "场"。 最 简 单 的 场 是 电 磁 场， 尤 为 近 代 生 活 的 一 部 分。 电 磁 场 的 "势" 适 合 Maxwell 方 程。 Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge， 不 完 全 确 定 的， 可 以 变 化 的)， 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。

物 理 上 有 4 种 场： 电 磁 场、 引 力 场、 强 作 用 场 和 弱 作 用 场。 现 在 知 道， 这 些 场 都 是 规 范 场。 即 数 学 系 上 是 一 束 矢 量 空 间， 用 一 个 线 性 群 来 缝 住 的。 电 磁 场 的 重 要 推 广， 是 Yang-Mills 的 规 范 场 论。 杨 先 生 的 伟 大 贡 献 就 是 在 SU(2) (special unitary group in two variables) 情 形 下 得 到 物 理 意 义 明 确 的 规 范 场， 即 同 位 旋 (isospin) 规 范 场， 这 种 将 数 学 现 象 给 以 物 理 的 解 释， 是 件 了 不 起 的 工 作， 因 为 以 往 的 Maxwell 场 论 是 一 个 可 交 换 的 群。 现 在 变 为 在 SU(2)， 群 是 不 能 交 换 的。 而 实 际 上， 物 理 中 找 到 了 这 样 的 场， 这 是 科 学 上 一 个 伟 大 的 发 展。 数 学 家 可 以 自 豪 的 是， 物 理 学 家 所 需 的 几 何 观 念 和 工 具， 在 数 学 上 已 经 发 展 了。

杨 先 生 之 所 以 有 这 么 大 的 成 就， 其 中 一 个 很 重 要 的、 很 了 不 起 的 原 因 是 除 了 物 理 的 感 觉 以 外， 他 有 很 坚 实 的 数 学 基 础。 他 能 够 在 这 大 堆 复 杂 的 方 程 中 看 出 某 些 规 律， 它 们 具 有 某 种 基 本 的 数 学 性 质。 Yang-Mills 方 程 的 数 学 基 础 是 纤 维 丛。 这 种 观 念 Dirac 就 曾 有 过。 Dirac 的 一 篇 基 本 论 文 中 就 讲 到 这 种 数 学。 但 Dirac 没 有 数 学 的 工 具。 所 以 他 在 讲 这 种 观 念 时， 不 但 数 学 家 不 懂， 就 连 物 理 学 家 也 不 懂。 不 过， 其 中 有 一 个 到 现 在 还 未 解 决 的 物 理 含 义， 即 有 否 磁 单 极 (magnetic monople)。 可 能 会 有。 就 是 说， 有 否 这 样 的 场， 它 的 曲 率 不 等 于 0 (曲 率 是 度 量 场 的 复 杂 性 的)？ 物 理 上 要 是 发 现 了 这 种 场， 会 是 件 不 得 了 的 事 实。 这 些 观 念 的 数 学 不 简 单。

Yang-Mills 方 程 反 过 来 影 响 到 拓 扑。 现 在 的 基 础 数 学 中， 所 谓 低 维 拓 扑 (二 维， 三 维， 四 维) 非 常 受 人 注 意。 因 为 物 理 空 间 是 四 维 空 间。 而 四 维 空 间 有 许 多 奇 妙 的 性 质。 我 们 知 道 代 数 几 何、 曲 线 论、 复 变 函 数 论 等 许 多 基 础 数 学 理 论 是 二 维 拓 扑。 而 现 在 必 到 四 维， 四 维 有 spinor 理 论， 有 quantum 结 构。 四 维 与 物 理 更 接 近。 它 的 结 构 是 Lorentz 结 构， 而 不 是 Riemann 结 构。 这 方 面 有 很 多 工 作 可 做。 根 据 Yang-Mills 方 程， 对 于 四 维 拓 扑， Atiyah 的 学 生 英 国 数 学 家 Simon Donaldson 有 很 重 要 的 贡 献。 其 中 有 一 个 结 果 就 是 利 用 Yang-Mills 方 程 证 明 四 维 Euclid 空 间 R4 有 无 数 微 分 结 构 与 其 标 准 结 构 不 同。 这 一 结 果 最 近 又 由 Seiberg-Witten 的 新 方 程 大 大 的 简 化 了。 这 是 最 近 拓 扑 在 微 分 几 何、 理 论 物 理 应 用 方 面 最 引 人 注 意 的 进 展。

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二 维 流 形 的 发 展 有 一 段 光 荣 的 历 史， 牵 涉 到 许 多 深 刻 的 数 学， 可 以 断 言， 三 维、 四 维 流 形 将 更 为 丰 富 和 神 妙。 ; U. y0 D F7 Q, s! X+ H5. 球 装 问 题 (Sphere Packing)

l5 C6 P8 e; b) E如 何 把 一 定 的 空 间 装 得 最 紧， 显 然 是 一 个 实 际 而 重 要 的 问 题。 项 武 义 教 授 最 近 在 这 方 面 做 了 很 重 要 的 工 作。 这 里 先 介 绍 一 个 有 关 的 问 题： 围 着 一 个 球， 可 以 放 几 个 同 样 大 小 的 球？ 我 们 不 妨 假 定 球 的 半 径 为 一， 即 单 位 球。 在 平 面 情 形， 绕 一 单 位 圆 我 们 显 然 可 以 放 6 个 单 位 圆。 而 在 三 维 空 间 的 情 况 则 更 为 复 杂。 如 果 把 单 位 球 绕 单 位 球 相 切， 不 难 证 明， 12 个 球 是 放 得 进 的。 这 时 虽 然 还 剩 下 许 多 空 间， 但 不 可 能 放 进 第 13 个 球。 要 证 明 这 一 结 论 并 不 容 易。 当 年 Newton 与 Gregory 有 个 讨 论。 Newton 说 第 13 个 球 装 不 进， Gregory 说 也 许 可 以。 这 个 争 论 长 期 悬 而 未 决。 一 直 到 1953 年， K. Schutte 和 B. L. van der Waerden 才 给 了 一 个 证 明。 这 个 证 明 是 很 复 杂 的。

一 个 更 自 然 的 问 题 是 怎 样 把 一 个 立 方 体 空 间 用 大 小 相 同 的 球 装 得 最 紧。 衡 量 装 得 是 否 紧 凑 的 尺 度 是 密 度 (density)， 即 所 装 的 球 的 总 的 体 积 和 立 方 体 空 间 的 体 积 的 比 例。 Kepler 于 1611 年 提 出 了 一 个 猜 想： 他 认 为 立 方 体 的 球 装 的 密 度 不 会 大 于 π / (18^1/2)。 项 武 义 说 他 证 明 了 这 个 猜 想。 可 是 有 人 (Gabor Fejes Toth) 认 为 他 的 证 明 不 完 全， 甚 至 有 人 (Thomas L. Hales) 说 是 错 误 的。 "Mathematical Intelligencer" 这 个 杂 志 上 (1995 年)， 有 关 于 这 一 问 题 的 讨 论， 项 武 义 有 个 答 复。 Toth 是 匈 牙 利 数 学 家， 三 代 人 搞 同 一 个 课 题。 匈 牙 利 数 学 很 发 达， 在 首 都 布 达 佩 斯 有 个 200 多 人 的 几 何 研 究 所。 我 不 知 道 几 何 中 是 否 有 这 么 多 重 要 的 问 题 需 要 这 么 多 人 去 做。 最 年 轻 的 Toth 在 "Mathematics Reviews" 中 有 篇 关 于 项 的 文 章 的 评 论。 他 说 项 的 文 章 有 些 定 理 没 有 详 细 的 证 明。 天 下 的 事 情 就 是 这 样。 做 重 要 工 作 有 争 议 的 时 候， 便 产 生 一 些 有 趣 的 现 象。 不 过 他 觉 得 项 的 意 思 是 对 的。 不 但 项 的 意 思 是 对 的， 甚 至 表 示 这 个 意 思 他 从 前 也 有。 最 近 项 武 义 抒 他 认 为 没 有 的 证 明 都 有 写 出 来 了。

最 主 要 的， 我 要 跟 大 家 说 的 是 立 体 几 何 在 数 学 中 是 很 重 要 而 因 难 的 部 分。 即 使 平 面 几 何 也 可 能 很 难。 到 了 立 体 时， 则 更 为 复 杂。 近 年 来 对 碳 60 (C60) 的 研 究 显 示 了 几 何 在 化 学 中 的 应 用。 多 面 体 图 形 的 几 何 性 质 对 固 态 物 理 也 有 重 大 的 作 用。 球 装 不 过 是 立 体 几 何 的 一 个 问 题。 立 体 几 何 是 大 有 前 途 的。 6. Finsler 几 何

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) N5 `& y( N& d9 m+ H E% j最 近 经 我 鼓 励， Finsler 几 何 有 重 大 发 展， 作 简 要 报 告 如 次： 2 O9 O6 O& A* z) M e9 c在 (x,y) 平 面 上 设 积 分

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S = F (x, y, dy / dx) dx 6 u4 w. c1 x5 Y其 中 y 是 x 的 未 知 函 数。 求 这 个 积 分 的 极 小 值， 就 是 第 一 个 变 分 学 的 问 题。 称 积 分 s 为 弧 长， 把 观 念 几 何 化， 即 得 Finsler 几 何。

Gauss 看 出， 在 特 别 情 形：

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F2= E (x, y) + 2F (x, y) y' + G (x,y) y' 2， y' = dy / dx 其 中 E、 F、 G 为 x, y 的 函 数， 几 何 性 质 特 别 简 单。 1854 年， Riemann 的 讲 演 讨 论 了 整 个 情 形， 创 立 了 Riemann-Finsler 几 何。 百 余 年 来， Riemann 几 何 在 物 理 中 有 重 要 的 应 用， 而 整 体 Riemann 几 何 的 发 展 更 是 近 代 数 学 的 核 心 部 分。

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Riemann 的 几 何 基 础 包 含 Finsler 几 何。 我 们 最 近 几 年 的 工 作， 把 Riemann 几 何 的 发 展， 局 部 的 和 整 体 的， 完 全 推 广 到 Finsler 几 何， 而 且 很 简 单。 因 此， 我 觉 得 以 后 的 微 分 几 何 课 或 Riemann 几 何 课 都 应 该 讲 一 般 情 形。 最 近 有 几 个 拓 扑 问 题。 最 主 要 的 一 个 是 Riemann 流 形 的 一 个 重 要 性 质， 即 英 国 数 学 家 Hodge 的 调 和 积 分。 现 在 有 2 个 年 轻 人， 一 个 是 David Bao， 另 一 个 是 他 的 美 国 学 生， 抒 这 个 Hodge 的 调 和 积 分 推 广 到 了 Finsler 情 形。 这 将 是 微 分 几 何 的 一 块 新 园 地， 预 料 前 景 无 限。 1995 年 夏 在 美 国 西 雅 图 有 一 Finsler 几 何 的 国 际 会 议。 其 论 文 集 已 于 今 年 由 美 国 数 学 会 出 版。

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Finsler 几 何 在 1900 年 有 名 的 Hilbert 演 讲 中 是 第 23 个 问 题。 ; ]# K& q: {+ s& ^8 m% d" `2 B7. 中 国 的 数 学

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数 学 研 究 的 最 高 标 准 是 创 造 性： 要 达 到 前 人 未 到 的 境 界， 要 找 着 最 深 刻 的 关 键。 从 另 一 点 看， 数 学 的 范 围 是 无 垠 的。 我 愿 借 此 机 会 介 绍 一 下 科 学 出 版 社 从 俄 文 翻 译 的 《数 学 百 科 全 书》， 全 书 5 大 卷， 每 卷 约 千 页。 中 国 能 出 版 这 样 的 巨 著， 即 使 是 翻 译， 也 是 一 项 可 喜 的 成 就。 这 是 一 部 十 分 完 备 的 百 科 全 书， 值 得 赞 扬 的。

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对 着 如 此 的 学 问 大 海， 入 门 必 须 领 导， 便 需 要 权 威 性 的 学 校 和 研 究 所。 数 学 是 活 的， 不 断 有 杰 出 的 贡 献， 令 人 赞 赏 佩 服。 但 一 个 国 家， 比 较 可 以 集 中 某 些 方 面， 不 必 完 全 赶 时 髦。 当 年 芬 兰 的 复 变 函 数 论， 波 兰 的 纯 粹 数 学， 都 是 专 精 一 门 而 有 成 就 的 例 子。 中 国 应 该 发 展 实 力 较 强 的 方 面。 但 由 百 科 全 书 的 例 子， 可 看 出 中 国 的 数 学 是 全 面 的。 这 是 一 个 可 喜 的 现 象。

中 国 的 财 富 在 "人 民"。 中 国 的 数 学 政 策， 除 了 鼓 励 尖 端 的 研 究 以 外， 应 该 用 来 提 高 一 般 的 数 学 水 平。 我 有 两 个 建 议： (1) 设 立 数 学 讲 座， 待 遇 从 优， 其 资 格 可 能 是 对 数 学 发 展 有 重 大 贡 献 的 人； (2) 设 立 新 的 数 学 中 心， 似 乎 成 都、 西 安、 广 州 都 是 可 能 的 地 点。 中 心 应 有 相 当 的 经 费， 部 分 可 由 地 方 负 担， 或 私 人 筹 措。

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近 年 因 为 国 家 开 放， 年 轻 人 都 想 经 商 赚 钱， 当 然 国 家 社 会 需 要 这 样 的 人。 但 是 做 科 学 的 乐 趣 是 一 般 不 能 理 解 的。 在 科 学 上 做 了 基 本 的 贡 献， 有 历 史 的 意 义。 我 想 对 于 许 多 人， 这 是 一 项 了 不 得 的 成 就。 在 岗 位 上 专 心 学 问， 提 携 后 进， "得 天 下 之 英 才 而 教 育 之"， 应 该 是 十 分 愉 快 的 事 情。

一 个 实 际 的 问 题， 是 个 人 应 否 读 数 学。 Hardy 说， 一 个 条 件 是 看 你 是 否 比 老 师 强。 这 也 许 太 强 一 些。 我 想 学 习 应 不 觉 困 难， 读 名 著 能 很 快 与 作 者 联 系， 都 是 测 验。 数 学 是 小 科 学， 可 以 关 起 门 来 做。 在 一 个 多 面 竞 争 的 社 会 中， 是 一 项 有 优 点 的 职 业， 即 使 你 有 若 干 能 力。

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中 国 的 数 学 有 相 当 水 平。 近 年 来 政 治 多 变， 达 此 情 况， 足 风 中 华 民 族 的 勤 劳 本 质。 从 前 一 个 数 学 家 的 最 高 标 准， 是 从 国 外 名 大 学 获 得 博 士 学 位。 我 们 国 家 现 在 所 必 需 做 的， 是 充 实 各 大 学 的 研 究 院， 充 实 博 士 学 位， 人 才 由 自 己 训 练。

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致 谢本 文 承 葛 墨 林、 陈 永 川 教 授 帮 助 整 理， 特 此 致 谢。

thomsen

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杨帆

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小屋子

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puzhen

回复 1# 数学王子

7 i2 e6 _: [! j
    读完这篇文章，觉得对一般大学生有帮助，能对什么是数学及数学的研究对象和应用有个大概的了解；但我不能理解为什么作者说：一个国家的数学发展应该根据自己的国情有侧重，但又说我国是全面发展。这话有自相矛盾之处，而且我觉得陈教授应该指出我国应重点发展数学的哪些方面，像文中说的波兰和芬兰；或是根据分析，我国有能力全面发展。
& X) ^& i1 Z* @8 B+ @    但是谢谢陈教授的演讲！

xiang1990

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