用一个”栗子“讲清楚泊松分布

浅夏110

我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。

举个栗子

泊松分布在概率统计当中非常重要，可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说，泊松分布的本质还是二项分布，泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说，这的确是对的，但是对于我们初学者，很难完全理解到其中的精髓。

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所以让我们来举个栗子，来通俗地理解一下。

假设我们有一颗栗子树，有时候因为风或者是小动物活动的关系，树上可能会掉下栗子来，树上掉栗子显然是一个偶然事件，并且发生的概率很低，那么我们怎么求它的概率分布呢？泊松分布解决的就是这样一个问题。

2 t; C0 A5 ~. R' m9 f( j

好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题，必须要经过一些转化。

其实我们可以将事件切分，将这个问题转化成二项分布问题。

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比如我们把一天的时间切分成了若干份，这样对于每一份时间来说，最多只会掉一个栗子。那么，这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样，所以只要我们将时间切分得足够细，就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子（否则就不满足二项分布）。

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假设我们把一天的时间切分成了n份，我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率，根据二项分布的公式，这个概率就是：

# |8 }$ Y7 a1 C( `& H7 O7 o9 X& {
0 T7 I3 t3 i+ W* Q; R! p

到这里，我们往前迈出了坚实的一步，写出了概率的表达式。

推导泊松分布
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我们虽然有了式子，但是好像没什么用，因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率，我们怎么知道这个概率是多大呢？难道还真的去测量吗？

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要解决这个问题，还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望，显然对于每一个单位时间而言，发生栗子掉落的概率是p，所以整体的期望是：

0 u0 r; ], P4 {, r/ B) g+ S. [8 ^; p% k
! \1 H) U1 y* v+ N7 x- E2 i$ t我们令这个期望值是，那么根据这个式子，我们可以表达出p了。
6 a8 c& j2 K" m8 V) W& R' |
1 m  `4 F$ p  Y2 D我们把这个p的式子带入原式，可以得到：

2 G" U- U1 Y: @, P6 X我们来算一下这个极限：
% F0 i5 ]) R4 O4 O! I) e. w' m4 o. y# }
我们把这个极限拆分开来看，其中：
8 w" ?  ?- y$ S" A5 ]' A+ \
所以，我们代入，可以得到：

这个就是泊松分布的概率密度函数了，也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是。
- e& r; N* }" A; l( c

也就是说泊松分布是我们将时间无限切分，然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说，它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是，当n很大，p很小的时候，我们使用二项分布计算会非常困难，因为使用乘方计算出来的值会非常巨大，这个时候，我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。

结尾和升华
# ^5 j3 ]6 P7 L$ e1 K4 v

我们根据推导出来的结果，感觉只要是n很大，并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知，在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制，大概是这么三条。

8 n' l2 _/ B6 Z3 W2 w

• 当我们将时间进行无线切分之后，在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
• 在每一段无限小的时间段内，同一事件发生两次的概率无限接近于0
• 在不同的时间段内，事件是否发生互相独立
  

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最后，我们看一道书上的例题，实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件，它的次品率是0.1%，也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率？

这道题应该很简单，要求两件及以上次品的概率，我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率，然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出：

我们带入泊松分布的公式：

如果我们要用二项分布来计算，那么就需要计算0.999的一千次方了，这显然是非常麻烦的，这也是泊松分布的意义。

转载于公众号：TechFlow

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德古拉

Good interpretation~
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