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我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。 举个栗子5 z$ P7 n. l- l; F4 h
泊松分布在概率统计当中非常重要,可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说,泊松分布的本质还是二项分布,泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说,这的确是对的,但是对于我们初学者,很难完全理解到其中的精髓。 ) G9 z# R, A+ D4 A
所以让我们来举个栗子,来通俗地理解一下。 1 }9 C6 U. h) A# \( I9 ]8 ~6 }
假设我们有一颗栗子树,有时候因为风或者是小动物活动的关系,树上可能会掉下栗子来,树上掉栗子显然是一个偶然事件,并且发生的概率很低,那么我们怎么求它的概率分布呢?泊松分布解决的就是这样一个问题。 * c$ c: P2 l. I1 b8 N" Z+ z% ]
好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题,必须要经过一些转化。 + C( R3 _8 Q; |1 t2 [$ Y5 u
其实我们可以将事件切分,将这个问题转化成二项分布问题。
0 e/ Q* _3 y+ s3 c8 f" n
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比如我们把一天的时间切分成了若干份,这样对于每一份时间来说,最多只会掉一个栗子。那么,这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样,所以只要我们将时间切分得足够细,就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子(否则就不满足二项分布)。
$ t$ q& o2 |: d5 S! e# L假设我们把一天的时间切分成了n份,我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率,根据二项分布的公式,这个概率就是: 6 B" v3 S! H1 d' v' o( K2 k/ I* ?
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到这里,我们往前迈出了坚实的一步,写出了概率的表达式。 推导泊松分布) a" {& \: r) I7 A! s4 }3 d4 b
我们虽然有了式子,但是好像没什么用,因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率,我们怎么知道这个概率是多大呢?难道还真的去测量吗?
5 h7 M; Q) w' s要解决这个问题,还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望,显然对于每一个单位时间而言,发生栗子掉落的概率是p,所以整体的期望是: ) W4 z; T# l0 t$ }
2 g( A& S' u8 [1 L我们令这个期望值是 ,那么根据这个式子,我们可以表达出p了。
+ J3 R" a9 E2 q4 l5 ]9 r* {4 q
( C0 {( f/ m' U. Y6 O我们把这个p的式子带入原式,可以得到:( ?+ s! F" ]% x8 s: g9 j9 g2 ~2 U3 `
" C& {6 d3 z, I
我们来算一下这个极限:
8 n3 D# f: a! O# h. [" p' K
1 {8 m( w6 C. G, S( v+ [- W' d
我们把这个极限拆分开来看,其中:
0 P: W- b7 j- v& h& Y
3 W1 @' ^$ P1 v4 E' ^" m: W
所以,我们代入,可以得到:
. x2 g! j f3 D
7 d0 A5 W7 H9 P3 G) t; c9 j5 |这个就是泊松分布的概率密度函数了,也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是 。
- h4 C2 k$ ~( Z3 p; c也就是说泊松分布是我们将时间无限切分,然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说,它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是,当n很大,p很小的时候,我们使用二项分布计算会非常困难,因为使用乘方计算出来的值会非常巨大,这个时候,我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。 结尾和升华
" g+ q8 _) w4 y1 `4 s我们根据推导出来的结果,感觉只要是n很大,并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知,在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制,大概是这么三条。
$ i. V" F% y3 b4 U9 l- 当我们将时间进行无线切分之后,在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
- 在每一段无限小的时间段内,同一事件发生两次的概率无限接近于0
- 在不同的时间段内,事件是否发生互相独立: x- l$ |& d% J. K
% T% H& P! a0 r+ @最后,我们看一道书上的例题,实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件,它的次品率是0.1%,也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率?
8 I4 @" c6 }- [这道题应该很简单,要求两件及以上次品的概率,我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率,然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出 : 3 i% j. I% n8 V% @2 N
我们带入泊松分布的公式: / P! m4 q x1 q4 L9 k+ s
如果我们要用二项分布来计算,那么就需要计算0.999的一千次方了,这显然是非常麻烦的,这也是泊松分布的意义。 转载于公众号:TechFlow
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