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用一个”栗子“讲清楚泊松分布

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    发表于 2020-5-15 10:51 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。
    举个栗子
    & O7 E8 a, {* Q' e. e
    泊松分布在概率统计当中非常重要,可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说,泊松分布的本质还是二项分布,泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说,这的确是对的,但是对于我们初学者,很难完全理解到其中的精髓。

    ! j7 e; S: t0 x3 A6 _% B
    所以让我们来举个栗子,来通俗地理解一下。
    - U3 {7 v4 X: c1 b8 O; N' `
    假设我们有一颗栗子树,有时候因为风或者是小动物活动的关系,树上可能会掉下栗子来,树上掉栗子显然是一个偶然事件,并且发生的概率很低,那么我们怎么求它的概率分布呢?泊松分布解决的就是这样一个问题。

      {* h, P" F) l( s
    好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题,必须要经过一些转化。

    . B* b7 A  P$ d* |( j3 }
    其实我们可以将事件切分,将这个问题转化成二项分布问题。

      S. l  C8 {, V" }6 J/ K7 O 1.jpg
    . v; D, ?! K* G2 T& T  `; T
    比如我们把一天的时间切分成了若干份,这样对于每一份时间来说,最多只会掉一个栗子。那么,这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样,所以只要我们将时间切分得足够细,就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子(否则就不满足二项分布)。
    , W, R5 t% Z: W6 ^" r6 e
    假设我们把一天的时间切分成了n份,我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率,根据二项分布的公式,这个概率就是:

    4 P# q$ \" x3 q9 b( t/ J 2.png
    . m, x' x& R3 C) X% w5 n
    到这里,我们往前迈出了坚实的一步,写出了概率的表达式。
    推导泊松分布+ O% G* a* J" I; ]
    我们虽然有了式子,但是好像没什么用,因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率,我们怎么知道这个概率是多大呢?难道还真的去测量吗?

    1 [! Z8 F% m% @$ I. ]$ A" q
    要解决这个问题,还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望,显然对于每一个单位时间而言,发生栗子掉落的概率是p,所以整体的期望是:

    : f! {% I6 k# l$ I 3.png + K* o/ m' E9 ^/ U" U! j
    我们令这个期望值是,那么根据这个式子,我们可以表达出p了。
    & L! B5 F% O5 l4 {; V1 c' n 4.png * O0 v, B7 i. m4 E
    我们把这个p的式子带入原式,可以得到:
    - @* E2 M: o; B" p( u 5.png ; q. ~# \6 J" U# @) v+ `$ \( u
    我们来算一下这个极限:2 ?: @! u3 _( r- A) j' N1 ~
    6.png ( J0 P- }7 W/ c' r8 Q6 x
    我们把这个极限拆分开来看,其中:) f# y" u3 x8 h; n
    7.png
    2 ?# Q0 H  E0 B, p/ f  a0 v所以,我们代入,可以得到:) F2 G4 O# c7 f; ?! c( ^4 d# B
    8.png
    3 c; S, k1 W% z) Q" s) t. I3 \这个就是泊松分布的概率密度函数了,也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是4 B. v9 V# G6 F0 t4 g$ l$ X
    也就是说泊松分布是我们将时间无限切分,然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说,它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是,当n很大,p很小的时候,我们使用二项分布计算会非常困难,因为使用乘方计算出来的值会非常巨大,这个时候,我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。
    结尾和升华
    2 c% K. N1 u: j+ _1 K/ R: f( u2 a
    我们根据推导出来的结果,感觉只要是n很大,并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知,在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制,大概是这么三条。
    8 Z( X0 D+ p( u4 N4 v
    • 当我们将时间进行无线切分之后,在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
    • 在每一段无限小的时间段内,同一事件发生两次的概率无限接近于0
    • 在不同的时间段内,事件是否发生互相独立
      2 u2 ~4 W. G# ~1 i

    ( j% q3 e: q$ G3 n! l# N
    最后,我们看一道书上的例题,实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件,它的次品率是0.1%,也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率?

    ( Y2 N' I  D& ]5 Z+ X+ p; z
    这道题应该很简单,要求两件及以上次品的概率,我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率,然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出
    4 k0 x) e; g1 S
    我们带入泊松分布的公式:
    % V5 ?- H/ ?6 x
    如果我们要用二项分布来计算,那么就需要计算0.999的一千次方了,这显然是非常麻烦的,这也是泊松分布的意义。
    转载于公众号:TechFlow# M7 n9 v% Q* w. `4 j1 `7 m
    & m' t* v; l% {8 n* X$ I- ~5 J

    6 s$ b- _" ?+ h2 o9 `
    3 r4 |) h( [! ?& K* C
    zan
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