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我们这篇文章的内容关于统计学中的泊松分布。 举个栗子% H1 _) U5 \0 R3 }: l& b+ G) {
泊松分布在概率统计当中非常重要,可以很方便地用来计算一些比较难以计算的概率。很多书上会说,泊松分布的本质还是二项分布,泊松分布只是用来简化二项分布计算的。从概念上来说,这的确是对的,但是对于我们初学者,很难完全理解到其中的精髓。 ( V0 o7 f2 A. f. {# `# t8 z$ ~
所以让我们来举个栗子,来通俗地理解一下。
$ n0 T1 ]7 K$ y& f2 ?5 S( f假设我们有一颗栗子树,有时候因为风或者是小动物活动的关系,树上可能会掉下栗子来,树上掉栗子显然是一个偶然事件,并且发生的概率很低,那么我们怎么求它的概率分布呢?泊松分布解决的就是这样一个问题。 * w4 A: H6 t7 @
好像没有一个模型可以直接来刻画这个问题,必须要经过一些转化。 + B" c- C4 T7 A. H; q# _/ m
其实我们可以将事件切分,将这个问题转化成二项分布问题。 + [* `$ t- x! \) u7 X
9 t( v4 X; `( w9 [4 Z. b) A比如我们把一天的时间切分成了若干份,这样对于每一份时间来说,最多只会掉一个栗子。那么,这就转化成了一个二项分布问题。理论上来说不会有两颗栗子掉下的时间完全一样,所以只要我们将时间切分得足够细,就可以保证一段时间之中最多只会掉下一个栗子(否则就不满足二项分布)。 $ j" R" l* w( s2 K
假设我们把一天的时间切分成了n份,我们想知道一天当中会有k个栗子掉下的概率,根据二项分布的公式,这个概率就是:
( H; _* m; t: e! u+ l
( W: J* D" c7 h
到这里,我们往前迈出了坚实的一步,写出了概率的表达式。 推导泊松分布" A# L8 a& t9 q# q! h% ^
我们虽然有了式子,但是好像没什么用,因为我们只知道p是单位时间内有栗子掉下的概率,我们怎么知道这个概率是多大呢?难道还真的去测量吗? 5 j% _* n5 { j0 b
要解决这个问题,还得回到二项分布。我们可以利用二项分布求一下每天掉下栗子数量的期望,显然对于每一个单位时间而言,发生栗子掉落的概率是p,所以整体的期望是: % x% L& |* D# Y: z( Z. p
( m+ D! E% x: b+ B6 U- A
我们令这个期望值是 ,那么根据这个式子,我们可以表达出p了。) Z% y9 a* e/ A+ s9 m
( w6 H! `5 C8 e2 }6 `, [0 V
我们把这个p的式子带入原式,可以得到:
" Q. U' @5 Z" ?; G7 G5 _
9 t4 ~; s& p. |) @. A- K) q
我们来算一下这个极限: c. |0 m u! E. O
; w2 j' N# R% |3 u; t( S
我们把这个极限拆分开来看,其中:
% _1 k2 }* q2 l* O ~
2 `4 H$ `4 V, i+ c1 `" I* F所以,我们代入,可以得到:
* B0 u& E2 L" |2 j+ o
+ O# F* ^# L- U3 G0 b3 ^$ X- E
这个就是泊松分布的概率密度函数了,也就是说在一天当中掉下k个栗子的概率就是 。1 o& U* t) B8 A( @$ t3 u
也就是说泊松分布是我们将时间无限切分,然后套用二项分布利用数学极限推导出来的结果。本质上来说,它的内核仍然是二项分布。使用泊松分布的原因是,当n很大,p很小的时候,我们使用二项分布计算会非常困难,因为使用乘方计算出来的值会非常巨大,这个时候,我们使用泊松分布去逼近这个概率就很方便了。 结尾和升华: u0 A5 Q& d8 @% V; R8 u
我们根据推导出来的结果,感觉只要是n很大,并且p很小的场景都可以使用泊松分布。但是这毕竟只是一个感性的认知,在统计学上对于这个问题也是有严谨定义的。我们来看一下严谨的使用条件的限制,大概是这么三条。
3 S/ W7 p. I7 |0 J- {- 当我们将时间进行无线切分之后,在接近于0的时间段内事件发生的概率与时间成正比。
- 在每一段无限小的时间段内,同一事件发生两次的概率无限接近于0
- 在不同的时间段内,事件是否发生互相独立
' S- K; Y a$ Z - n5 R; l2 v/ [: j! T
最后,我们看一道书上的例题,实际感受一下泊松分布的应用。假设我们有一批零件,它的次品率是0.1%,也就是千分之一。请问我们生产一千个产品当中至少有两件次品的概率?
, [3 q0 U- }4 Y这道题应该很简单,要求两件及以上次品的概率,我们只需要计算出只有零件和一件次品的概率,然后用1减去它们即可。我们首先根据n和p算出 : 5 {' Y, \6 ^, E8 u9 c+ D+ d
我们带入泊松分布的公式:
" P& k5 M& ~7 N' @ G如果我们要用二项分布来计算,那么就需要计算0.999的一千次方了,这显然是非常麻烦的,这也是泊松分布的意义。 转载于公众号:TechFlow
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