偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

浅夏110

例 4 触煤反应装置内温度及转换率的分布
6 A/ w% F# e; ^" f; B6 {
& b) G" [' {+ l2 Y+ ^0 i5 g以外部热交换式的管形固定层触煤反应装置，进行苯加氢反应产生环己烷。此反应 系统之质量平衡及热平衡方程式如下：


! ~; ~9 ?3 G, p* |
7 [6 N$ J* i) y# q1 }. E4 N* {' j- X 其中T 为温度(℃)， f 为反应率，L 为轴向距离，r 为径向距离。此系统的边界条件为
: b/ k& v4 m+ p# j


此外，式中之相关数据及操作条件如下：
) ^/ K" ~# f) [; q+ L' g9 z4 M
6 H. t: w4 K2 V7 ^(i)反应速率式
0 M* J* I/ u0 Y1 W+ ~3 v

" a' P+ }# K7 i7 a. V! c& A! ^) a
& f1 N: @1 M& |' V8 W) k其中 P 表示分压(atm)，而速率参数为

! M# C* S" ~' J. ~3 I0 n

上式中，下标 B，H 及 C 分别代表苯，氢及环己烷。R 为理想气体常数(1.987cal/mol·K)。

6 q5 x, j: @8 I$ J(ii)操作条件及物性数据

7 [; e- ]. a" j, c2 Q3 R
; A; ~1 Y# \# l
7 c0 x" m) @+ F" k

* u" n8 m1 W  D0 S0 d题意解析：

) \# {5 ~# b. A) {6 h! ^
9 P# v- j+ `8 S" \5 U6 m

1 i- E0 ^2 i. T1 G! d2 a4 i将上式，连同反应速率式，带入平衡方程式中，配合边界条件，可利用 pdepe 求解。
; L; [+ e9 @" X
MATLAB 程序设计 将原方程改写成如式（35）的标准式

* f+ w5 j; W4 k2 e! }) }

' I6 P" S5 r7 {     因此

  a  U" ~  j& v* ~/ d
; U6 t, |6 W0 x: b, z2 E  L
根据以上的分析，可编写 MATLAB 程序求解此 PDE 问题，其参考程序如下：

( x; ?' q$ N  ufunction ex60_3_1
%******************************
* P2 \' w* g! V$ x0 e% 触媒反应器内温度及转化率的分布
% @% m, c; @4 }$ y; N%******************************
global Pt rw Tw G M y0 Mav rho_B Cp dHr h0 u R ke hw De
- s4 ^, {1 p6 k$ ^: w%******************************
% 给定数据
%******************************
9 U& S' ^. ~( D. _) lPt=1.25; %总压(atm)
rw=0.025; %管径(m)
Tw=100+273; %壁温(℃)
G=631; %质量流率(kg/m2hr)
' e4 ^; f: M$ L9 x, sM=30;
4 ~. A0 V4 C# u# v, Ky0=0.0323;
Mav=4.47;
rho_B=1200;
: |* q6 }: I/ |$ V  H8 G$ u- ^Cp=1.74;
3 Y. l8 ~2 Z9 C6 _* LdHr=-49250;
h0=65.8;
4 |' b/ b& d5 Z7 x$ A% lT0=125+273;
Lw=1;
u=8.03;
% k2 J8 c' }7 u, {8 kR=1.987;
& s2 b& j: k$ [( G8 P3 r$ Tke=0.65;
hw=112;
De=0.755;
%********************
; \0 N& O, @5 ?! i7 Y& {  gm=1;
%********************
% 取点
%********************
$ I) Q2 n! N, H) P8 Or=linspace(0,rw,10);
  c' g+ F1 t7 G8 o# gL=linspace(0,Lw,10);
%***********************
% 利用 pdepe 求解
%***********************
5 Q7 T; |" ^- b2 t  R2 Q2 gsol=pdepe(m,@ex20_3_1pdefun,@ex20_3_1ic,@ex20_3_1bc,r,L);
6 P8 b' a  q' P" ~9 wT=sol(:,:,1); %温度
f=sol(:,:,2); %反应率
%***********************
* e' Q' y* ~9 b- v  F0 Z: j% 绘图输出
%***********************
# _3 k9 ?0 K. f! w  gfigure(1)
# r8 g2 H3 }$ ^* Gsurf(L,r,T'-273)
title('temp')
- z" [& g! B% I$ u# Q2 G5 D# jxlabel('L')
- i3 T: t! o8 zylabel('r')
zlabel('temp (0C)')
) I! O( t5 S9 _# c. S) `$ r%
9 O3 }9 M% g/ Z- |+ tfigure(2)
) x' C" U& V; L/ |. ?surf(L,r,f')
title('reaction rate')
' X0 r( s8 b6 zxlabel('L')
* K% ?3 u1 j( y' ?, \. T%初始条件函数
0 o9 O% ~; C" X0 _+ k%**********************************
: g: T$ j) _* T9 W* `2 Ofunction u0=ex20_3_1ic(x)
u0=[125+273 0]';
3 l" P+ @) s2 H# H7 o* R%**********************************
% 边界条件档
% N% o+ Z- C/ K$ a- K%**********************************
function [pl,ql,pr,qr]=ex20_3_1bc(rl,ul,rr,ur,L)
global Pt rw Tw G M y0 Mav rho_B Cp dHr h0 u R ke hw De
: A* T: |6 r- ?) j/ zpl=[0 0]';
0 r1 T' g2 n$ F& I9 y' eql=[1 1]';
$ X: z% n- X0 @- |  @: L0 R$ dpr=[hw*(ur(1)-Tw) 0]';
qr=[G*Cp 1]';
ylabel('r')
# R+ @+ w1 j) n$ l8 N2 Dzlabel('reaction rate')
%*************************************************
% PDE 函数
%*************************************************
function [c1,f1,s1]=ex20_3_1pdefun(r,L,u1,DuDr)
7 w2 s* Z" B4 D' n$ o3 E- `global Pt rw Tw G M y0 Mav rho_B Cp dHr h0 u R ke hw De
T=u1(1);
f=u1(2);
%
k=exp(-12100/(R*T)+32.3/R);
( l* @0 G3 J( }Kh=exp(15500/(R*T)-31.9/R);
  {; Z7 K7 Y# c6 w1 dKb=exp(11200/(R*T)-23.1/R);
3 z2 \# y2 Z+ D- ~4 h" M3 v8 tKc=exp(8900/(R*T)-19.4/R);
%
! ?2 y; l$ P: Ka=1+M-3*f;
' l1 J& V; M* C( Y. N+ z: Vph=Pt*(M-3*f)/a;
, k1 e' x( B! N) ]! b  dpb=Pt*(1-f)/a;
pc=Pt*f/a;
- c, s: `# b" r%
rA=k*Kh^3*Kb*ph^3*pb/(1+Kh*ph+Kb*pb+Kc*pc)^4;
%
& l, W) J+ B6 G) y( M; Jc1=[1 1]';
) a# y* ^: A, M' |4 F" Ff1=[ke/(G*Cp) De/u]'.*DuDr;
9 r% h& n" A$ c" s! X! o%s1=[ke/(G*Cp*r)*DuDr(1)-rA*rho_B*dHr/(G*Cp)-2*h0*(T-Tw)/(rw)
s1=[-rA*rho_B*dHr/(G*Cp);rA*rho_B*Mav/(G*y0)];
% j$ ^. j% v% n7 e. k9 P4 ?%**********************************
7 W7 z  T& t. j& f% h  d1 v' M
5 V6 x# r" E* i————————————————
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' j5 ]& l2 x6 k0 o9 Q' R6 M( e
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