3点集

lilianjie1

1 b3 v3 D$ q/ |. I" r; W3点集 {a,b,c}

2 j; h1 B* {, o6 a/ c4 y8 C(1) {{a},{b},{c}},
2 F) j/ o# x% o1 G3 \% f(2) {{a},{b,c}},{{b},{c,a}},{{c},{a,b}}
8 F' C  s$ y  h0 x  P. Q(3) {{a},{b},{b,c}},{{a},{c},{b,c}},{{b},{c},{a,c}},{{b},{a},{a,c}},{{c},{b},{a,b}},{{c},{a},{a,b}}
(4) {{a},{a,b},{c,a}},{{b},{b,c},{a,b}},{{c},{c,a},{b,c}}
' D; F/ K: Z, ~3 C( o(5) {{a},{a,b},{a,b,c}},{{a},{a,c},{a,b,c}},{{b},{b,c},{a,b,c}}, {{b},{a,b},{a,b,c}},{{c},{b,c},{a,b,c}},{{c},{a,c},{a,b,c}}
(6) {{a},{a,b,c}},{{b},{a,b,c}},{{c},{a,b,c}}
(7) {a,{b},{c}},{{a}.b.{c}}.{{a}.{b},c}
(8) {{a,b},{a,b,c}},{{b,c},{a,b,c}},{{c,a},{a,b,c}}
(9) {{a,b,c}}

  Q( |% O+ q- {" W- X同构，就9种
+ [1 F. ~; _6 G4 j* Z7 K

孤寂冷逍遥

lilianjie1

A
Accessible. 参阅 T1.
亚历山德罗夫拓扑. 一个空间 X，如果任意一组开集的交集都是开集，或者等价的，任意一组闭集的联集都是闭集，那么我们称这个空间拥有亚历山德罗夫拓扑或者 有限生成(finitely generated)。



' Y- x* i* \2 X- N( x
几乎离散(Almost discrete). 如果在一个空间中，每个开集都是闭集（所以也是闭开集），那么我们称这个空间是几乎离散。一个几乎离散。几乎离散空间就是那些有限生成的零维空间。
( R& Z9 V- L/ y2 I2 b9 YApproach 空间. approach 空间 是距离空间的一种推广，和距离空间不同的是，它的距离函数不是点和点之间的距离，而是子集和点之间。
% I- H# s; C3 P" V8 x[编辑] B
贝尔空间（Baire space）
若是任何可数个稠密开集的交集还是稠密，那么这个空间被称为贝尔空间。
2 d2 p% X# m4 S9 b基（base）
令B是一组开集。如果拓扑 T 中的任何开集都是 B 中开集的联集，那么我们称 B 是 T 的基。换句话说，T 是包含 B 的最小拓扑。也可称 B 生成拓扑 T。
博雷尔代数（Borel algebra）：博雷尔代数是包含所有开集的最小σ-代数。
! H3 A; f  H( [  ]( K* @博雷尔集合（Borel set）：博雷尔代数里面的元素称为博雷尔集。
边界（boundary或者frontier）
一个集合的闭包去除他的内部称为他的边界。或者等价的，边界就是一个集合的闭包和它的补集的闭包的交集。
: b" g% ^) Q: Y8 D0 s有界（Bounded）
+ M7 ?& t' o5 A  }在一个度量空间中的集合如果有他的直径是有限的，就称他为有界。换句话说，一个集合一个集合是有界的当且仅当它被包含在一个半径有限的开球内。一个取值于距离空间中的函数，如果他的像(image)是有界集，我们就会称它为有界。
[编辑] C
# X. S0 Z7 k3 h# V) n6 }拓扑空间范畴(Category of topological spaces)。 范畴 Top 是以拓扑空间为对象(objects)，以 连续函数为 态射(morphism)。
柯西序列(Cauchy sequence). 若度量空间(M, d )中的序列 {xn}对于任意正实数 r，都存在整数 N，使得所有的整数 m, n > N 时，我们有 d (xm, xn) < r， 称为 {xn} 是 柯西序列
闭开集(Clopen set。一个集合如果同时是开集和闭集，称为闭开集。
5 X+ ?. d  E+ m闭球(Closed ball)。 若 (M, d) 是 度量空间， 闭球指的是 D(x; r) := {y in M : d(x, y) ≤ r} 这样的子集合，其中 x 属于 M ， 而 r 是正实数, 称为球的半径。 一个半径为 r 的闭球称为 闭 r-球(closed r-ball)。 所有的闭球都是闭集。要注意的一点是，在有些每个空间中，闭球 D(x; r) 不一定是开球 B(x; r) 的 闭包。
封闭集(Closed set)。 开集的补集称为封闭集或者简称闭集。
# Q/ U$ x9 D2 r* \% z0 M- q闭函数(Closed function). 如果一个函数对于任何闭集的 像 都是闭集，那这个函数称为闭函数。.
闭包(Closure). 一个集合的闭包是指包含这个集合的最小闭集。 换句话说就是所有包含这个集合的闭集的交集。 集合 S 的闭包中的元素称为S的闭包点 。
& \2 X+ w9 q% m& h, J, y9 p' b! I9 y闭包算子(Closure operator或称闭包算子，闭包算符). 参阅 Kuratowski闭包公理.
较粗的拓扑(Coarser topology)。 若 X 是个空间，且拓扑 T2 包含 拓扑 T1 则称 T1 是个比 T2 更粗 (或 更小, 更弱) 的拓扑。要特别注意的是，特别是数学分析领域的有些作者，会用更强这个词表达相同的概念。
% ]/ R5 }% a  N: x% g  T+ k紧 或 紧致(Compact). 如果任意的开覆盖都有一个有限的子开覆盖，则这个空间称为紧空间。 所有的紧空间都是 Lindel&ouml;f 和 仿紧(paracompact)。 所以，所有的紧 Hausdorff 空间都是正规的。 参阅 准紧(quasicompact)。
紧开拓扑(Compact-open topology) 考虑所有由 X 到 Y 的连续函数所形成的集合 C(X, Y)， 我们由以下的方式定义 C(X, Y) 的 紧开拓扑(compact-open topology): 任给一个 X 紧致子集 K 和一个 Y 的开子集 U，令 V(K, U) 表示 C(X, Y)中所有 f(K) 包含于 U 的映射 f。由 V(K, U) 当成子基(subbase)生成的拓扑称为紧开拓扑(compact-open topology).
完备(Complete)。 如果所有的柯西序列都收敛，那么这个空间被称为完备空间。
可完备度量化(Completely metrizable/completely metrisable)。 参阅 拓扑完备.
完全正规(Completely normal). 如果任意两个的分离(separated)的集合 有 不交(disjoint)的邻域，称为 完全正规(Completely normal)。
9 f. _  }0 K8 ^8 c完全正规Hausdorff. 完全正规Hausdorff 空间 (或 T5 空间) 指的是完全正规T1 空间。 (一个完全正规是 Hausdorff 当且仅当它是 T1， 所以这些专有名彼此一致)。每个完全正规Hausdorff空间都是正规Hausdorff.
完全正则(Completely regular). 若对任意的闭集 C 和一个不相交的点 x，C 和 {x} 都是函数可分的，则称这个空间是 完全正则。
完全T3. 参阅 吉洪诺夫。
* Z3 T$ E7 x: g6 {% N/ a分支(Component). 参阅连通分支/ 道路分支.
连通(connected)。 如果一个空间不能写成两个不相交的非空开集的联集， 则称这个空间是连通的。等价的，一个空间是连通的，当且仅当除了空间本身外，没有非空的闭开子集。
! G: _1 z# c% M- o( Q连通分支(Connected component)。 空间中的一个极大非空连空子空间称为一个连通分支。 每个连通分支都是封闭的且所有的连通分支构成这个空间的一个划分(partition)。
连续(Continuous)。一个函数如果任意开集的 原像(preimage) 还是开集，则称这个函数是连续的。
, Q0 x0 r+ [4 I0 @1 V$ U可缩(Contractible). 如果空间 X 上的 恒等映射(identity map) 和X上的常数映射同伦，则称这个空间可缩(Contractible)。 所有的可缩空间都是简单连通的。
) M: q5 I/ ^' {8 h1 y: n8 i1 K余积拓扑(Coproduct topology). 若 {Xi}是一组空间而 X 是这组空间的 不交并(disjoint union)，则 X 上的余积拓扑(coproduct topology) (或 不交并托普(disjoint union topology), Xi 的 拓扑和(topological sum)) 就是在 Xi 嵌入 X为连续的条件下，最细(finest)的拓扑。
) `2 ^( l: f- K可数紧致(Countably compact) 如果任何的可数开覆盖都有个有限子覆盖，那么我们称这个空间为可数紧致。所有可数紧致空间 都是伪紧(pseudocompact)且弱可数紧(weakly countably compact)。
可数局部有限(Countably locally finite)。 X 空间中一组子集，如果它是可数组 X子集的局部有限组合的联集，则称为 可数局部有限(countably locally finite)。
1 a2 s3 v. V0 q5 H" h9 U/ V覆盖(Cover 或 Covering) 如果一组子集的联集是全部空间，那么我们称这组子集为覆盖。
' u- \0 ^" \& Q. k


割点(Cut point). 如果 X 是个不只包含一个点的连通空间，则如果 x 是 X 中的一个点，且 X − {x} 是非连通的，我们称 x 是割点。
% e) t3 v& k$ a[编辑] D
9 z8 N/ s2 n; Z2 P% E. q稠密集(Dense set)。一个集合如果和任何开集的交集都是非空的，那么我们称它为稠密。换句话说，稠密集是指闭包为整个空间的集合。
导集(Derived set)。 若 S 是空间 X 的子集， S 在 X 中的 导集(erived set) 指的是在 X 中，所有 S 的极限点所形成的集合。
$ I+ Q! i9 K" {5 V直径(Diameter)。 若 (M, d) 是度量空间，S 是 M的子集，那么 S 的直径就是x、 y 取值于 S时，距离 d(x, y) 的最小上界。
离散度量(Discrete metric)。 集合 X 上的离散度量 是指对 X 中的任两相异 x, y 都有 d(x, x) = 0 且 d(x, y) = 1 的函数 d : X × X  →  R . 离散度量生成的拓扑是离散的。
离散空间(Discrete space)。 如果空间 X 的所有子集都是开集，则称 X 为离散空间 离散空间的拓扑称为离散拓扑。
' n* u) ?# S, X. @+ I$ K离散拓扑(Discrete topology)。 参阅离散空间。
' |  A* ?8 F1 Q6 Z不交并拓扑(Disjoint union topology)。 参阅 余积拓扑(Coproduct topology).
1 t7 }+ u1 [% R分散点(Dispersion point)。 若 X 是个多于一个点的空间，x 是 X 中的一个点且 X − {x} 是完全不连通，则称 x 是一个分散点(dispersion point)。
& K+ i) r' w0 R/ j& I距离。 参阅度量空间 (Metric space)
0 B5 h8 q2 d  }3 Z% K% f, v. k[编辑] E
5 U6 t5 h% K4 x7 I3 t* z: `Entourage. 参阅 Uniform space.
外部(Exterior)。 一个集合的外部指的是它补集的内部。
3 ~; L7 \, L' _. v7 z[编辑] F
Fσ 集合。 可数个闭集的联集称为 Fσ 集合。
滤子(Filter)。 在 X 上非空的一族 X 子集 F ，如果符合下列条件:
, T5 }& u  s- t空集不在 F 中。
有限个 F 中的元素的交集还是在 F 中。
. t* r+ U' x( ~" `" \若 A 在 F 中 且 B 包含 A， 则 B 也在 F 中。
! p4 E0 {! z  a则我们称 F 是 X 上的一个滤子(filter)。
8 u, N4 U) q8 F: x6 b" m6 S
更细的拓扑(Finer topology))。 若 X 是个空间，且拓扑 T2 包含 拓扑 T1 则称 T2 是个比 T1 更细 (或 更大, 更强) 的拓扑。要特别注意的是，特别是数学分析领域的有些作者，会用更弱这个词表达相同的概念。
- J6 {1 O: [% E3 e: k* W2 C有限生成(Finitely generated)。 参阅 Alexandrov拓扑.
第一纲集(First category)。 参阅 瘦集合(Meagre).
第一可数空间(First-countable). 如果每个点都有个 可数的局部基(local base)，则这个空间称为第一可数空间
) m& C  g$ f- [0 M( AFréchet。 参阅 T1。
Frontier(边界)。 参阅 边界.
函数可分(Functionally separated)。 两个 X 的子集 A 和 B，如果存在一个函数 f: X  →  [0, 1] 使得 f(A) = 0 且 f(B) = 1，则我们称 A 和 B 是 函数可分的。
' [' l- U5 e( ~+ G7 [[编辑] G
Gδ 集. 开集的可数交集被称为 Gδ 集。
% `8 J8 r' s+ Q7 G) b[编辑] H
豪斯多夫. 如果空间中任两相异点都存有不相交的邻域，则称这个空间是Hausdorff (或 T2)。Hausdorff空间都是T1空间.
- {+ K* c) B4 [- ^( b# Q可遗传性(Hereditary)。 如果当某空间有一个性质，则它的子空间也必然有这个性质，则我们称这种性质有可遗传性。举例来说， second-countability 是有可遗传性的。
同胚映射(Homeomorphism). 若 X 和 Y 为两空间，则当一个嵌射f : X → Y 本身和其反函数 f−1 同时是连续的时候，我们称 f 是一个 同胚映射
8 M7 X! M5 d! ~% u# C% ~齐性(Homogeneous)。 若 X 中的任两点 x 和 y，皆存有一个同胚映射 f : X  →  X 使得 f(x) = y，则我们称 X 为齐性空间， 直观来说，就是这个空间中的任两点从拓扑观点来看都没有分别。所有的拓扑群都是齐性的。
' y6 _) o0 O, B! n. Y同伦映射(Homotopic maps)。 我们称两个函数 f, g : X  →  Y (在 Y 中)是同伦的，是指存在 一个连续的映射 H : X × [0, 1]  →  Y 使得对于所有 X 中的 x， H(x, 0) = f(x) 且 H(x, 1) = g(x)。 这里 X × [0, 1] 的拓扑是 product topology。 这个映射 H 被称做是 f 和 g 之间(在Y中的)同伦映射。
同伦(Homotopy). 参阅 同伦映射。
超连通。如果任何两个非空开集都相交，则称这个空间是超连通。任何的超连通空间都是连通的。
/ o6 F1 ^  Q- `1 d6 L' h[编辑] I
等化映射。 参阅 商映射。
8 L- Y2 D# h( C/ x等化空间。 参阅 商空间。
Indiscrete space。 参阅 平凡拓扑。
6 k$ k- E, m! g/ {" j7 jIndiscrete topology. 参阅 平凡拓扑。
内部(Interior)。 一个集合的内部是这个集合最大的开子集，等价于这个集合所有开子集的联集。内部的点称为 内点。
" @% \% f  o0 _5 G# l9 I内点。 参阅 内部。
孤点 如果单点集 {x} 是个开集，我们称 x 是个孤点。更一般的来说，如果 x 是空间 X 的子集 S 中的一点，如果 {x} 在 S 子空间拓扑中是个开集，则称 x 是 S 中的孤点。
. {! r9 W" m+ \2 h5 V5 R保距同构(Isometric isomorphism)。 若 M1 和 M2 是两个赋距空间，而 f : M1  →  M2 是个保距对射，则称 M1 和 M2 保距同构。从赋距空间的观点来看，两个保距同构的空间是一模一样的。
等距映射(Isometry)。 若 (M1, d1) 和 (M2, d2) 是距离空间。一个映射 f : 如果赋距，也就是说对于所有 M 中的 x 和 y， 我们有 d2(f(x), f(y)) = d1(x, y)，则称 f 是从 M1 到 M2 的等距映射。 所有的等距映射都是单射,但不一定是满射。
[编辑] K
Kolmogorov. 参阅 T0。
- s, @& l  B5 u7 v: |7 FKuratowski closure axioms. 考虑将 X 中的子集对应到其闭包这个映射，Kuratowski closure axioms 是一组被这个映射满足的公理:
% F( K# I) ^$ P8 K+ A, Q. H0 b/ bIsotonicity: 所有的集合包含于他的闭包中。.
Idempotence: 闭包的闭包和闭包是相同的。
保持有限联集: 联集的闭包等于闭包的联集。
保持虚空性: 空及的闭包还是空集。
0 b! f) t4 x7 U& d3 f+ c若 c 是个从 X 的 power set 映到自身的函数， 则 c 如果符合以上的 Kuratowski closure axioms，则称之为是一个 闭包算子 。 使用Kuratowski closure axioms， X 上的闭集可以定义为这个算子的不动点，也就是说，一个集合 A 是闭集当且仅当 c(A) = A。 所以我们能用这组公理定义出 X' 的拓扑。
[编辑] L
& F: `. v% q4 i2 [- u较大的拓扑(Larger topology)。参阅 较细的拓扑。
极限点(Limit point)。 如果X的每个开子集，只要包含 x 就包含 S 中的一个不是 x 的点，则称 x 是 S 的一个极限点。
. s! a( D/ W! ~( J; ZLimit point compact。参阅 Weakly countably compact。
林德勒夫空间（Lindel&ouml;f space）。 如果每个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称这个空间为 林德勒夫空间。
& f  q' c. ~0 d# k# c9 @/ q8 {局部基底(Local base 或 Local basis)。若 B 是一组 x (在 X 中)的邻域所成的集合，且每个 x 的邻域都都有至少包含 X 中的一个成员，则称 B 是一个局部基底。
7 m$ d( N2 U+ l
! P, N8 {& p5 ?5 l7 H( e# [( u9 ^4 o

局部封闭子集(Locally closed subset)。 一个开子集和封闭子集的交集称为局部封闭子集。
4 y+ d  Y4 t# W7 A, Y8 V局部紧致空间(Locally compact)。 如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基底，则称这个空间是局部紧致空间。每个局部紧致 Hausdorff空间都是 Tychonoff。
局部连通(Locally connected)。 如果每个点都有由连通邻域组成的局部基底，则称这个空间为局部连通。
+ c2 X0 ^' p. y- d/ z! O局部有限(Locally finite)。 空间的一组子集被称为局部有限，是指每个点都有个邻域只和有限个这组子集中的成员相交。参阅 可数局部有限.
4 D/ x( u' I+ w4 p局部可度量(Locally metrizable/Locally metrisable)。 如果空间中的每个点都有个由可度量邻域组成的局部基底，则称这个空间是局部可度量空间。
. `: t. t1 o8 T* ^局部道路连通(Locally path-connected)如果每个点都有由道路连通邻域组成的局部基底，则称这个空间为局部道路连通。 一个 locally path-connected space 是连通的 当且仅当 它是 path-connected.
% b: L7 u: L+ T8 Z局部简单连通(Locally simply connected)。如果每个点都有由简单连通邻域组成的局部基底，则称这个空间为局部简单连通。
Loop。 设 x 是空间 X 中的一点，在 X 中 x 上的 loop (或者 X 中以 x 为基点的 loop) 是指 X 中 f(0) = f(1) = x 的 path 'f'。换句话来说，一个 X 中的 loop 是一个从单位圆 S1 到 X 的连续映射。
' U, [) y! z. E' h[编辑] M
贫集（Meagre或 Meager)。 设 A 是空间 X 的子集，若 A 是无处稠密子集的可数联集，则我们称 A 在 X 中是贫集(或者是 第一纲集)。 若 A 不是贫集，则称 A 在 X 中是 第二纲集。
! A" @$ S  c4 \, l, T$ g7 j0 i& S1 o度量(Metric)。 参阅 度量空间.
度量不变量('Metric invariant)。 度量不变量指的是在 isometric isomorphism 下不会改变的性质。
度量空间(Metric space)。 度量空间 (M, d) 指的是一个集合 M 以及符合下列公理的函数 d : M × M → R (对于 M中的任意元素 x, y, z):
d(x, y) ≥ 0
5 L1 T2 ]3 j0 x3 P0 w5 ed(x, x) = 0
if   d(x, y) = 0   then   x = y     (identity of indiscernibles)
, `5 w" r7 j. S( a0 M, l+ b2 D, n0 [d(x, y) = d(y, x)     (对称性)
0 Z7 p9 C$ g1 s; o6 H/ Z! {d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)     (三角不等式)
函数 d 称为 M 上的 度量， 而 d(x, y) 称为 x 和 y 的距离。 M 上的开球组成 M 拓扑的基底。 这称为由 d 生成的 M 上的拓扑。 所有的度量空间都是 Hausdorff 且 paracompact (所以也是正规且 Tychonoff)。 所有的度量空间都是 first-countable。
) i) q& {/ T( Y8 w" o可度量化(Metrizable/Metrisable)。 一个空间被称为可度量化，指的是这个空间和某个度量空间同胚。所有的可度量化空间都是 Hausdorff 且 paracompact (所以也是正规且 Tychonoff)。 所有的度量空间都是 first-countable。
" C( Z" ?. A* g: m
& N# b+ T) p# F  S; }
, |. k) j/ p" \$ a1 j' i
) b" b: I" I2 g/ d4 M6 b8 wMonolith。 所有的非空 ultra-connected 紧致空间 X 都有一个最大的 proper 开子集，这个子集称为 monolith。
[编辑] N
邻域(Neighbourhood/Neighborhood)。 一个集合如果包含一个开集，而x 属于这个开集，则称这个集合是 x 的邻域。更一般的来说，一个集合如果包含一个包含集合 S的开集，则称这个集合是 S 的邻域。 所以点 x 的邻域就是 单点集 {x} 的邻域。 (注意在这个定义下，邻域不一定是开集。但是很多书上定义邻域要是开集，所以要小心这个地方。)
邻域基底/basis。参阅 局部基底。
邻域系统(Neighbourhood system) x 的所有的邻域合起来称为 x 的邻域系统。
' u, a* _) ]5 y" tNet。 X 的 net是指一个从有向集 A 到 X 的映射。 一个从 A 到 X 的映射通常记做 (xα), 其中 α 是以 A 为范围的索引变量。 序列 是 net 的一种，使用自然数集合以及一般的排序做为索引集 A。
( B6 ]- c2 O" q0 u" |  t- v正规空间(Normal) 如果空间中的任两不相交闭集都有不相交的邻域，则称这个空间是正规空间。任意的正规空间都有 partition of unity.
# J0 ]- A7 M5 T8 f& ~正规Hausdorff。 正规Hausdorff空间(或 T4 空间)是指正规 T1空间。 (一个正规空间是 Hausdorff 当且仅当 它是 T1，所以这些术语是一致的。) 所有的正规Hausdorff空间都是 Tychonoff。
无处稠密(Nowhere dense) 一个集合如果它的闭包的内部是空的，则称这个集合是无处稠密。
[编辑] O
: C$ T4 U8 U# d- u5 s开覆盖(Open cover)。 一个开覆盖是所有成员都是开集的覆盖。
开球(Open ball)。若 (M, d) 是 度量空间， 开指的是 B(x; r) := {y in M : d(x, y) < r} 这样的子集合，其中 x 属于 M ， 而 r 是正实数, 称为球的半径。 一个半径为 r 的开球称为 开 r-球(closed r-ball)。 所有的开球都是开集。
7 [2 `) s& N7 w, I) r开集(Open set)。 拓扑的成员称为开集。
- C' s7 _% o' Y5 s3 d& ?: R: F开函数（Open function）。 若所有开集的像都是开集，则称这个函数为开函数。
+ P9 [+ q; B) p" _0 @[编辑] P
仿紧（Paracompact）. 如果每个开覆盖都有一个局部有限开 refinement，则称这个空间是 仿紧的。仿紧的豪斯多夫空间都是正规的。
单位分解（Partition of unity）。 空间 X 的单位分解是指一组从 X 到 [0, 1] 的连续函数，使得每一个点都有一个邻域使得只有有限个函数在这个邻域上是非零的，而且这些函数的和刚好就是 1（常数函数）。
! Z5 H5 y2 r5 p# k- ?7 ?; j$ o- P道路 (拓扑学)(Path)。 道路是从单位区间 [0,1] 到 空间 X 的连续函数 f 的像。f(0) 被称为起点，而 f(1) 称为终点。
0 ]; L; l4 F' a" S2 M3 |3 {6 ?7 ]道路连通(Path-connected) 若是空间 X 中的任意两点 x 和 y 都有一条道路 f 从 x 连到 ;;y，也就是说，f 以 x 为起点，以 y 为终点，则我们称这个空间是道路连通。所有的道路连通空间都是连通的。
Path-connected component。 path-connected component 是指极大的非空道路连通子空间。空间中的 path-connected components 组成空间的一个分割，这个分割比 connected components 组成的分割要细。 空间 X 的 path-connected components 所组成的集合我们记做 π0(X)。
点( Point) 拓扑空间中的元素称为点。
& S; n  m7 A/ h' \7 w$ NPoint of closure. 参阅 Closure.
波兰(Polish). 一个 separable 可完备度量化的空间称之为波兰空间，也就是说，它和一个separable 的完备度量空间同胚。
7 Z! T7 h& q3 L/ Q0 JPre-compact. 参阅 Relatively compact.
积拓扑（product topology）
$ d6 l) c& u0 A; T! ]+ `8 YProper function/mapping。 一个从 X 到 Y 的连续映射 f，如果所有紧集的 preimage 还是紧集，则称这个映射 f 是 Proper。
邻近空间（Proximity space）邻近空间 (X, δ) 是指符合下列条件的集合 X 及其子集的一个关系 δ:
6 P# U1 K) ^) @$ E% Q' x/ @对于任何 X 的子集 A、B、C，
* M+ H. u7 W* G, i& ]5 b若 A δ B，则 B δ A
5 X; ?" u% J+ f6 d7 Y7 u) o: b0 N若 A δ B，则 A 非空
6 N3 B8 C; Z. ]3 g# L3 ^若 A 和 B 相交， 则 A δ B
A δ (B ∪ C) 当且仅当 (A δ B 或 A δ C)
若对于所有 X 的子集 E 我们有 (A δ E 或 B δ E)，则我们可以得到 A δ (X − B)
( \: Y: t. a" t2 q0 ~# U伪紧致（Pseudocompact） 若是所有的实值连续函数都是有界的，则称这个空间为伪紧致的。
0 g5 z7 D6 g: x3 I3 S1 @/ s& F伪度量空间（Pseudometric space）。 一个伪度量空间 (M, d) 是指空间 M 和函数 d  M ×  M → R，而且必须符合除了 d(x,y)=0 则 x=y 这个条件之外，所有赋距空间的条件。函数 d 被称为 M 上的 pseudometric 。
' L7 C& [- k1 b6 M! P5 }: EPunctured neighbourhood/Punctured neighborhood。 点 x 的一个邻域扣掉 {x} 称为 x 的一个 punctured neighbourhood。 举例来说， 区间 (−1, 1) = {y : −1 < y < 1} 是 x = 0 在实数线中的邻域，所以 (−1, 0) ∪ (0, 1) = (−1, 1) − {0} 就是一个 0 的 punctured neighbourhood。
. N  }7 ?6 R% J5 h[编辑] Q
拟紧（Quasicompact）。 参阅 紧。 在有些作者的定义中， "紧"的定义包含 Hausdorff分离公理，然后他们使用 拟紧 来表示我们所说的 "紧" (不一定要有 Hausdorff 公理)。 这个习惯常会在法国使用，所以一些深受法国影响的数学分枝也会使用这个用法。
商映射(Quotient map)。若 f 是一个从空间 X 到 Y 的满射，且任何 Y 的子集 U是开集当且仅当 f -1(U) 是开集，则我们称 f 是商映射 (或 identification map)。
商空间(Quotient space)。若 X 是个空间，Y 是个集合, f : X → Y 是个满射，则 Y 上由 f 生成的 商拓扑 是指让 f 连续的最细的拓扑。空间 X 称为商空间或者 等化空间。依照定义， f 是商映射。 最常见的例子是考虑一个 X 上的等价关系，Y 是等价类成的集合，而 f 是 X 到 Y 的正规投影。这个建构和子空间拓扑的建构对偶。
# ?, q# e$ L5 F[编辑] R
; ?& z- i1 y7 a: `- F6 B. yRefinement。如果覆盖 K 的每个成员都是覆盖 L 的某个成员的元素的子集，那么我们称覆盖 L 是覆盖 K 的 refinement。
正则空间(Regular)。 如果空间中的任一点 x 和以及任一个 x 不在其中的闭集 C，都可以找到 C 和 x 不相交的邻域，则称这个空间是正则空间。
正则Hausdorff. 一个空间称为正则Hausdorff (或 T3) 是指它是正则 T0 空间。 (一个正则空间是 Hausdorff 当且仅当 它是 T0，所以这些术语是一致的。)
正则开（Regular open）。 空间 X 中的开集 U 如果等于它闭包的内部，则我们称它为正则开。 空间中的所有正则开子集形成一个完备的布林代数.
相对紧致(Relatively compact)。 如果一个子空间 Y 在母空间 X 中的闭包是紧致的，则称 Y 是相对紧致于 X。
9 `% u0 C& z+ G- r7 Z& @  b% `Residual。 如果 A 在空间 X 中的补集是贫集，则称 A 在 X 中为 residual。
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' b9 H5 D1 O6 S2 D! g* L第二纲集(Second category)。 参阅 Meagre。
第二可数空间(Second-countable)。 若一个空间的拓扑有一个可数基底，则称这个空间是第二可数空间。 所有的第二可数空间都是第一可数、 可分且 Lindel&ouml;f。
Semilocally simply connected。空间 X 中如果任意点 x 都有一个邻域 U 使得所有 U 中 x 上的 loop 都与在 x 上的常数 loop 同伦，则我们称这个空间为 semilocally simply connected。 所有的简单连通空间和所有的局部简单连通空间都是 semilocally simply connected。 (与简单连通相异的地方是，我们允许 loop 在 X 中与常数 loop 同伦，而局部简单连通的定义中， loop 需要在 U 中与常数 loop 同伦。)
可分(Separable)。 一个空间如果有个稠密的可数子集，则称这个空间为可分。
$ A! h* d% \4 |3 E8 p分离（Separated）。 两个集合 A 与 B 如果任何的一个都与另一个的闭包不相交，则称这两个集合是 分离。
# M2 y* \( G4 o& l  P+ V序列紧致(Sequentially compact)。 如果任意序列都有个收敛的子序列，则称这个空间为序列紧致。所有的序列紧致空间都是可数紧致的，而所有的第一可数、可数紧致空间都是序列紧致的。
' e& ]  `  z7 c8 N2 E! y) ~Short map。设 X 和 Y 为赋距空间并分别以 dX 及 dY 为赋距。如果一个从 X 到 Y 的函数 f，会把距离缩短，也就是说 dY(f(x), f(y)) ≤ dX(x, y)，那么我们称这个函数 f 是 short map。 如果不等式中等号不成立，则称这个 short map 是严格 short map。
. q" N/ I; L) |" s* ^1 S7 [单连通(Simply connected)。一个道路连通空间，如果所有的 loop 都和常数映射同伦，则称它是简单连通空间。
较小的拓扑(Smaller topology)。 参阅 Coarser topology。
' y0 ^! X! A. h% j# V( H较强的拓扑(Stronger topology)。参阅 较细的拓扑。注意特别是在分析领域的有些作者会用这个词来说我们们说的较弱的拓扑。
! \7 p! Y6 @$ C子基（Subbase）。 若一组开集的成员的有限交集，形成一组基底 (拓扑)，则称这组开集是 子基。若 B 是一组空间 X 的子集，B 所生成的拓扑是 X 上包含 B 的最小拓扑。这组拓扑包含空集合、X和所有 B 的成员的有限交集的联集。
( `6 J0 {! U" ~, zSubbasis。参阅 Subbase。
子覆盖(Subcover)。 如果一个覆盖 K 的成员都是覆盖 L 的成员，则称 K 是 L 的子覆盖。
# z: u; K" u( x2 j! |, n子空间(Subspace)。 若 T 是空间 X 上的拓扑， A 是 X 的子集，则称所有 T 的成员和 A 的交集组成的一组子集是 T 在 A 上产生的子空间拓扑。这个构造和商拓扑的构造对偶。
% f. }& L2 G/ y! `- Z[编辑] T
6 t) x/ Y+ J/ c- b3 YT0. 如果对于空间中的任意两个不同点，x 和 y，都可以找到一个开集，或者包含x但不包含y，或者包含y但不包含 x，则我们称这个空间为 T0 (或 Kolmogorov)。
* o& i7 W. h% }T1. 如果对于空间中的任意两个不同点，x 和 y，都可以找到一个开集包含 x但不包含 y，则我们称这个空间为 T1 (或 Fréchet or accessible) (和 T0 的差异在于这里我们可以让这个开集包含指定的点。) 换句话说， 一个空间是 T1 空间则所有的个别点都是闭集。所有的 T1空间都是 T0.
T2。 参阅 Hausdorff.
T3。 参阅 正则Hausdorff.
, E! C5 a) a, C4 g0 ~0 e8 wT3.5。 参阅 Tychonoff space.
# Y, u, K4 L2 H  l3 {3 kT4。 参阅 正规Hausdorff.
T5. 参阅 完全正规Hausdorff.
Top. 参阅 拓扑空间的范畴.
拓扑不变量(Topological invariant). 拓扑不变量指的是在同胚变换下保持不变的性质。 如紧集和连通空间都是拓扑不变量。但有界性和完备性则不是。代数拓扑学 是研究在拓扑空间上建立的代数拓扑不变量。
拓扑空间(Topological space)。 拓扑空间 (X, T) 是一个集合 X 配上一组符合下例公理的子集合 T:
( n1 c4 l! |3 x$ m! R空集合和 X 本身属于 T。
$ W" B1 x: w5 G! D' U( V任何一组 T中的子集合的联集仍然属于 T。
* Y+ @3 D3 b5 Z2 x8 ~任何两个 T 中的子集和，他们的联集仍然属于 T。
这组 X的子集合 T 被称做 X 上的 拓扑。.
拓扑和（Topological sum）. 参阅 Coproduct topology.
* V/ y; D% \$ M' M( ^0 T# g拓扑完备(Topologically complete)。 如果一个空间和一个完备度量空间同胚，我们称这个空间拓扑完备。
拓扑. 参阅 拓扑空间.
# S% m/ P% Y# F3 t* ?完全有界(Totally bounded). 对于度量空间 M ，如果对于每个 r >0，都存在一个由有限个半径为 r 的开球组成的覆盖能盖住 M，则我们称 M 完全有界。对一个度量空间来说，紧致等价于完备且完全有界。
2 ]$ u" @- h7 q5 U完全不连通(Totally disconnected)。 如果任意两点所形成的集合都是不连通的，这个空间称为完全不连通。
2 ^- y, ^5 E( t8 q* u  G  T; B9 v, L平凡拓扑（Trivial topology）。 如果空间 X 中只有空集和 X 本身是开集，则称 X 的拓扑是 平凡拓扑 (或 indiscrete topology)。
% [4 R0 e! A4 n/ O- S  W吉洪诺夫空间（Tychonoff）。 吉洪诺夫空间 (或 完全正则吉洪诺夫空间, 完全T3 空间， T3.5 空间) 指的是完全正则T0 空间. (一个完全正则空间是豪斯多夫空间当且仅当 它是 T0, 所以这些专有名词是彼此一致的) 所有的吉洪诺夫空间都是正则豪斯多夫空间。
) d7 U( E( c0 d" f0 }7 J9 ~8 D% ~[编辑] U
Ultra-connected。若任意两个闭集都相交，则称这个空间是 ultra-connected。 Ultra-connected 空间都是道路连通的。
8 v' R& ~' z% y* W3 ?超度量（Ultrametric）。 超度量是一个符合下面这个比三角不等式强的条件的赋距：对于所有 M 中的 x, y, z, d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z)).
一致同构(Uniform isomorphism)。 若 X 和 Y 是一致空间, 一个从 X 到 Y 的对射 f : X → Y， 如果 f 和 f−1 都是 一致连续，则称 f 是一致同构。 两个一致同构的空间有相同的一致性质。
, `" S1 r, e, F# ^8 h可一致化(Uniformizable/Uniformisable)。 若一个空间和一个一致空间同胚，则称这个空间可一致化。
( u: I6 g4 E/ y( E% D6 s0 w& d一致空间(Uniform space)。 一致空间是指一个集合 U 以及一个非空集合 Φ，其中 Φ 的成员都是 X × X的子集，且符合下列的公设:
若 U 在 Φ中，则 U 包含对绞线 { (x, x) | x 在 X 中 }.
若 U 在 Φ中，则 { (y, x) | (x, y) 在 U 中 } 也在 Φ 中。
" S$ v5 K# C+ p! o' r$ p) z若 U 在 Φ 中且 V 是 X × X 的子集且包含 U， 则 V 也在 Φ 中。
若 U 和 V 都在 Φ中，则 U ∩ V 在 Φ中
若 U 在 Φ中，则存在一个 Φ中的 V，使得只要 (x, y) 和 (y, z) 属于 V, 则 (x, z) 属于U。
5 E& t! i1 z7 S( vΦ 的元素称为 entourages, 而 Φ 被称为 U 的一致结构。
一致结构(Uniform structure)。参阅 一致空间。
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弱拓扑(Weak topology)。 一个集合上和一组从这个集合到一个拓扑空间的函数所相关的弱拓扑，是指能让这组函数连续的最粗的拓扑。
) d" p0 s1 G. c/ O较弱的拓扑(Weaker topology)。 参阅较粗的拓扑。 注意特别是分析领域的有些作者，用这个词来表示较强的拓扑。
弱可数紧致(Weakly countably compact)。若空间中的任意无穷子集都有极限点，则称为弱可数紧致(或者极限点紧致)。
弱可遗传性(Weakly hereditary)。 如果一个空间的性质是这个空间的闭子集也必然会有的性质，则称这个性质有弱可遗传性。 举例来说，紧致性和 Lindel&ouml;f 性质都是弱可遗传的，但这两个性质都不是可遗传的。
Well-connected。 参阅 Ultra-connected。 (有些作者用这个词表示 ultra-connected 的紧空间。)
5 [7 T& f) E# W+ g[编辑] Z
零维空间(Zero-dimensional space)。一个空间的拓扑如果有一组开闭(clopen)的基底，被称为零维空间。参阅拓扑维数。

lilianjie

只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。 (离散度量空间或孤点空间闭开集)
( y, C: A% N$ y6 M) b
" t" d' G8 O5 N
闭开集Clopen set
( L; a% P1 \+ V# w/ p! s/ g1 A' f

( c2 m/ O  t) Y9 R1 X1 ]& c

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