PCA在几何和数学方面的理解

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主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一种常用的降维技术，通过线性变换将高维数据映射到低维空间，实现减少数据维度并保留尽可能多的信息。

PCA降维的基本思想是通过找到数据中的主成分（Principal Components），将原始数据投影到这些主成分上，实现维度的压缩和数据信息的保留。下面是PCA降维的具体过程：

• 数据标准化：首先对原始数据进行标准化处理，使每个特征的平均值为0，方差为1。这是为了确保不同特征的尺度差异对PCA结果产生的影响尽可能小。
• 协方差矩阵计算：根据标准化后的数据，计算协方差矩阵。协方差矩阵描述了数据特征之间的相关性程度，每个元素表示对应特征之间的协方差。
• 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。特征向量是协方差矩阵的特征向量，表示数据在新特征空间中的方向；特征值则表示对应特征向量的重要程度，反映了数据中的主要变化方向。
• 特征值排序：对特征值进行排序，通常按照从大到小的顺序排列。排序后的特征值对应的特征向量称为主成分，排在前面的特征向量保留了最多的数据信息。
• 选择主成分：根据降维的目标，选择保留的主成分数量。可以借助特征值的大小、保留的方差比例或其他规则进行确定。
• 数据映射：将原始数据投影到所选的主成分上，得到降低了维度的数据集。投影的过程相当于将数据在新的特征空间中进行线性变换，保留了最大程度上的信息。
  
  

通过PCA降维，我们可以将高维的数据转换为低维的数据表示，从而减少特征数量、降低存储空间和计算复杂性，同时尽可能地保留原始数据的结构和变化趋势。

特征值代表了特征向量的重要程度，这是因为特征值与特征向量之间存在着紧密的数学关系。具体来说，特征值表征了在线性变换下特征向量的缩放倍数或伸缩程度。

在PCA中，特征值表示每个主成分所解释的方差或能量。较大的特征值对应的特征向量具有更高的重要性，因为它们能够解释更多的数据变化。特征值的大小决定了主成分的重要程度和可解释的数据变异程度。

根据特征值的大小排序主成分可以帮助我们选择保留的主成分数量，通常我们会选择具有较大特征值的主成分来保留更多的数据信息。特征向量表示了在变换后不改变方向的向量，它们指示了数据变换后的主要方向或模式。

综上所述，特征值代表了特征向量的重要程度，通过特征值与特征向量的关系，我们可以评估每个主成分的重要性，并进行选择和处理，以完成PCA降维的目标。

% C7 V, J) \% w% C: ]! B关于PCA的具体解释可以在数学中国公众号中观看：
解析主成分分析（PCA）在几何和数学中的解释 (qq.com)

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