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Ford 算法来找到源点到其他各点的最短路径

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发表于 2023-12-22 10:03 |只看该作者 |倒序浏览
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这段代码是Floyd-Warshall算法的一个实现,用于在带权图中找到所有顶点对之间的最短路径。让我逐步解释每一部分:; W  O) m/ g/ Q
% 邻接矩阵(点与点的关系)
  1. w=[0,2,4,inf,inf,inf,inf;  * x\" C# A7 z1 z' f' ?
  2.    2,0,inf,3,3,1,inf;
    8 {) i2 L\" l6 F2 l$ {
  3.    4,inf,0,2,3,1,inf;                     
    . M+ O\" Q7 u: ]8 n$ I6 h/ A3 @
  4.    inf,3,2,0,inf,inf,1;                    
    ! g1 V4 X1 f% t' t
  5.    inf,3,3,inf,0,inf,3;; k# l1 X\" }3 Q# [
  6.    inf,1,1,inf,inf,0,4;
    ) f; x) O* c) l, R
  7.    inf,inf,inf,1,3,4,0];& ]3 g8 C1 C4 M% e
  8. n=size(w,1); % n记录图中点数
    ( G5 {: F- M1 d
  9. D=w;         % D为距离矩阵7 e& Y# L4 o5 \7 W
  10. R=[];        % R为路径矩阵+ @4 A7 c+ o/ r& F, {3 d! X  {3 k

  11. $ j# l9 F1 P1 z2 D4 i! [
  12. for i=1:n
    9 X8 d# h2 g2 W) \
  13.     for j=1:n6 ]8 o) Z# x+ T
  14.         R(i,j)=j; % 为R矩阵赋初值. v3 Y0 k; z, U& P% X8 j% ]
  15.     end8 w: I) L# \\" Y1 Z5 _
  16. end  \5 C/ H, N8 f% M

  17. * T5 {. [7 C1 }9 q2 t' S
  18. for k=1:n  
    : j; |  t2 k' M8 c; T- a. J
  19.     for i=1:n
    # H\" {0 P# p3 k
  20.         for j=1:n3 Z2 d- r2 C' f3 @+ ~* O
  21.             if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) % 判断是否满足插入条件  
    $ G/ d+ H7 [& t9 w% G
  22.                 D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);3 A0 l; h' p& b6 _# r9 M
  23.                 R(i,j)=k;5 S* V+ s8 ~6 _# J7 n3 a
  24.             end, s3 m0 j# i( o5 Y
  25.         end0 L9 @\" ^7 H0 l: O- X) s) \
  26.     end/ ~7 D- l3 C8 \, a: r/ X
  27. end
复制代码
D % 输出距离矩阵
+ G& L- k! K6 G* MR % 输出路径矩阵- x; G% T" L7 i7 P
/ p- w! O9 a0 F9 z
解释:
, M. F# m6 A1 Q4 v0 S
7 d7 G6 ]) s# z8 G5 c# [1.带权图的表示: 给定图被表示为邻接矩阵 w,其中 w(i, j) 表示从顶点 i 到顶点 j 的边的权重。inf 用于表示两个顶点之间没有直接的边。" z3 [- ^, R+ w1 \6 L
2.初始化: 距离矩阵 D 被初始化为与邻接矩阵相同的值。路径矩阵 R 被初始化为一个矩阵,其中每个元素 R(i, j) 最初被设置为 j。
; V' D/ v2 V1 n/ n6 y$ F3.Floyd-Warshall算法: 嵌套循环实现了Floyd-Warshall算法。外层循环 (k) 代表通过哪个中间顶点进行路径检查。内层循环 (i 和 j) 遍历所有顶点对,并检查通过 k 从 i 到 j 的路径是否比直接从 i 到 j 的路径更短。如果是这样,就更新距离矩阵 D 和路径矩阵 R。
! i% P3 E6 a0 }4.输出: 最终的距离矩阵 D 和路径矩阵 R 被显示。
, a+ t4 Z' y  h3 l1 [" H$ W5 A; a* a- f. U
输出包含最终的距离矩阵和表示路径的矩阵。元素 D(i, j) 表示从顶点 i 到顶点 j 的最短距离,而 R(i, j) 表示从 i 到 j 的最短路径上的中间顶点。
. e) [1 Q+ a# E) ~# z: J6 ]$ [
6 O$ P6 @" o* g# e# S+ B) s: w$ v0 ?% V% p/ T! U3 E3 ^% a

Floyd.m

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