这是一个 MATLAB 脚本,用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近,用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释: # s* d7 D" _, c ffunction fe = fitfun()( a1 |6 ?5 C% N
% 连续函数的最佳逼近 ' @! Z- k; y% G" M % 取基{1, x, ...}9 L( d$ V/ _- [1 E( s0 X
( F3 q4 A: N4 \' G( F1 _% i9 _
% 默认算例为课本:P60,例3.1 0 n) R u3 L6 h/ A; b }4 s % 原函数f(x)=x^(1/2),定义域 [1/4, 1]6 r* _+ |: T4 [ c# X# O9 |: I
% 结果:P(x) = 10/27 + 88/135x 平方误差=0.00010803 8 Z% X- P, a4 i: }1 l" K T/ D8 H0 ?( l$ A3 O8 L
% 输入原函数5 g* c$ c) m- m- u% O9 u
fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x):[直接回车表示:f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's'); 2 }# ~1 ^4 y! A7 F- [ if isempty(fs)% ^ {9 N+ d+ a7 T) y! W- x* A/ k
fs = 'x^(1/2)'; 3 u( x5 K B! p& K8 Y# [. [ end" o% Z1 V, e! k/ g8 r4 o7 G; A% R
f = sym(fs); - } k/ P# k6 j$ ~2 U' p+ W2 C0 N( O: }$ h9 o
% 输入定义域上下界; l. U; o( y& m4 ?% X
a = input('定义域([a, b]) 上界a:'); + K, [+ N( ?+ w: F! v( \% d b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');2 k0 G7 E$ w0 g" ` p- b* n, t
; a1 N) T% A3 S: X6 H F3 g- R5 N % 输入逼近的最大次数 " D. Q7 h3 }8 b" p6 d% H n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: '); ( z7 F o9 Q0 @ : Q7 x, T9 S# w+ z$ } % 创建向量# H: _4 k( E& y" b+ u3 v& }
v = vv(n);, `. w$ t. c7 z* o7 E
h = vh(n);2 p \) f7 u) R8 A4 n7 y/ z
9 M+ }1 a+ `% H# r) _
% 计算矩阵 G 和向量 B, ?% z9 z' o Z
G = int(v * h, a, b);5 x; _5 M t" m) ~0 e
B = int(f * v, a, b);( ]) _& s p p2 \. U% j
& S b2 z9 G5 t3 G _1 y7 T5 I# t % 计算系数矩阵 C9 j" f* |. q& g- T0 V" X" M2 N& I: O
C = inv(G) * B; , e) @- B% B. h. z/ U k: q ! @! [9 x' A. S % 计算逼近多项式 & ]; y7 W# c, f! M- ]# S/ v fe = h * C; + \: [& B% S! O( r* O9 h# I0 e1 o/ e8 e( ~: W D9 z
% 误差2 X& Y3 e" n- `1 B) o
SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6); / Z# l) T; s8 j( H! j" |: ~ 7 l* x q/ I( f: E% y0 U % 绘制原函数和逼近函数* Q5 B2 I q2 a9 J: G3 l/ d- w
x = ab-a)/100:b; & H' ]! D7 d0 [ y = subs(f, x); ' D. L! T( P* r. N plot(x, y, 'r'); w( k0 T) Z% R/ d; @, B7 A3 s
hold on; 1 r5 |* O! O: v/ f+ X y = subs(fe, x);" Q& R, t5 I6 M" M3 }% g; y6 C
plot(x, y); 1 f) n) m! N" K+ D' ?% D8 r+ X2 F+ C. ^, `" b) z* i9 l+ W' a
% 输出误差. m) ]# @8 m0 w" w4 s! v
disp(['误差: ', char(SError)]); 3 Z1 B8 a1 Z8 Q) Pend7 Z$ u6 X M: a4 v
- X0 c& b# x. p/ w%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% . {3 i) Q; ]' c $ o' P' Q) Z( {* }! h. Kfunction v = vv(n)9 v; [9 d! M5 R- {
% 创建垂直向量,如 9 ]' {2 }: N3 S
% 1$ T7 q3 S4 D; Q+ n/ M. G
% x , a' S+ K! f# g0 q8 S % x^2 ' I( h- i F1 b/ J; M. a % ... & C( E( j! I+ \- I0 X9 {0 P# u % x^n# w/ z' Z4 q3 B1 L1 w4 w7 V
- N" s! A) c; S& I+ n8 z7 R. i
if (n < 0 || n > 9)" U, S+ v1 ?& ?: X
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');2 i6 H9 h. h& c, ?7 _) _7 c
end + k2 f I+ `5 i) A" T1 v6 k8 X9 e0 h8 Y9 _$ q
s = ''; 1 {& B% J' C6 Q! Z3 s! ] for i = 0:n : @9 ^6 g5 d% U s = strcat(s, ';x^'); w# g( W+ g2 i7 A) ]% A4 u
s = strcat(s, num2str(i));; S# X$ f1 z+ {0 |9 |0 D
end , K, q0 p0 N. r2 Y s(1) = '['; * U8 [- w; Q# C- N% H: h sz = size(s); ( K" a5 |$ V, U9 o4 j& @% [ s(sz(2) + 1) = ']'; " a) W' [8 R# m$ b$ ?$ f+ n3 z) q) Z0 n$ k% |( q8 y8 o5 ^) i
v = simplify(sym(s)); d+ L$ `7 |; Xend( ]7 l6 q$ a3 |/ g9 J
0 t6 T) b: Y! s- t8 g$ u
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%7 O( a# I% _' O, r* J
4 h) c O J' f# [ e& \& g
function v = vh(n) ; K2 r! ~% _5 d6 h' i* g. q % 创建水平向量,如 % E9 _/ P; {, u6 H/ F % [1, x, x^2, ..., x^n]9 Q7 K: ~6 V3 l( q; N2 r+ C
" ^( x2 q+ I1 a+ ?- ~ if (n < 0 || n > 9); N( G; Y0 X2 F- U
error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');0 z- Z4 M/ Z4 S# ]
end 3 f& b, [4 x! U( D7 J+ s+ ~4 A" }5 R+ P w% @. \
s = '';3 M+ G& f: Z! p: r1 u! j) M* @ S
for i = 0:n + e0 ^, j# }: ~6 a; L+ X1 T3 C0 E s = strcat(s, ',x^');3 _# b# v) R% o+ ~' m$ c
s = strcat(s, num2str(i)); - h" @. U" E+ V2 i% N0 J/ [ end. c& \& X7 d I! z2 F+ w
s(1) = '[';9 T4 m) R, w6 |8 H2 p: y; ? t
sz = size(s); 4 Y# r0 t& ?! e9 a6 E- L" b# C s(sz(2) + 1) = ']';& ^. v* L' k/ h! O% G7 Q
% z o/ T9 b; L
v = simplify(sym(s)); * x+ r& u; z' f. f; @2 S. mend 9 J8 L) `! Y( Z: K- ~% g) H0 q ; a6 K' y& f, ]: P这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后,它构建了基函数向量和水平向量,计算了系数矩阵 C,并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后,输出了逼近误差。 + W: {9 t6 T5 [( q3 Z 5 N- I2 s# ~$ ^' r( F; J, k) u 1 a" N. I5 ^) G. U* }