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matlab脚本进行连续函数的最佳逼近

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发表于 2023-12-31 16:02 |只看该作者 |倒序浏览
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这是一个 MATLAB 脚本,用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近,用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释:
' n+ i2 T! U7 ]function fe = fitfun(); Z( b8 ?) A3 O
    % 连续函数的最佳逼近% _6 b( i* r# u
    % 取基{1, x, ...}
7 E/ W4 f" z! j. ?2 E( i3 q9 t, L1 T- t
    % 默认算例为课本:P60,例3.1* I) e5 h4 v# X3 v0 d7 p+ B
    % 原函数f(x)=x^(1/2),定义域 [1/4, 1]
2 {5 `& ~! h. o- x' p( H    % 结果:P(x) = 10/27 + 88/135x  平方误差=0.00010803! _% }# C3 a$ M/ Q  O, K

% T/ X' R. ^# ~+ P    % 输入原函数
; Y5 i! O/ m0 M$ _2 `- W    fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x):[直接回车表示:f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');# v1 S1 E& _* y5 `: G* Y: m
    if isempty(fs)
  J2 N: u% j. m+ R* q" v0 H2 H        fs = 'x^(1/2)';
; R7 z4 H" T* E, A9 k! q; L% C8 C    end# p' H; E3 T# Z& U2 i; I- ?2 }8 L
    f = sym(fs);) g" z5 j: y7 N& x

1 n& ]8 h8 ]5 {3 G5 `    % 输入定义域上下界
0 U. @% M% r  E& t4 i8 ^    a = input('定义域([a, b]) 上界a:');/ J( \7 v6 i( H& l
    b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');
6 n1 j4 k. I+ M0 {) `
5 h& N" U( _& J2 r; T3 X    % 输入逼近的最大次数6 z1 f: n$ M& {0 G/ o
    n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');
7 q; {& J0 D5 U1 F& c3 I( {( P
8 z% Q& Q8 X4 w! p    % 创建向量
2 ]6 E, J! g* _    v = vv(n);1 R. P6 ]/ }: X) v3 u" ^
    h = vh(n);
! S. B* }" D- U, [  l( m: F3 G- q+ x! `  J9 g9 G; s% K6 o
    % 计算矩阵 G 和向量 B, V3 O  U% R5 l+ g; y4 O
    G = int(v * h, a, b);
3 ?5 n5 s! A3 b2 W& C    B = int(f * v, a, b);# b9 T2 n2 b* w  V: X
. \" o7 T# D5 n$ v/ X) d2 D9 X
    % 计算系数矩阵 C
+ J) h5 w! @; a    C = inv(G) * B;
7 N+ ~5 t1 q$ z) d8 _2 |- h4 `4 c" n, G- a* b- r0 b. T
    % 计算逼近多项式
+ ?, @$ s3 n0 Y: _. H5 F% f    fe = h * C;
3 F% _' U1 x" f
) ?) S7 y+ P& c$ Q. G. h; K    % 误差
3 y/ `; Y! F3 L# Q# o  B" @- }" k    SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);+ t5 a5 E- W7 a: W4 W4 e$ c

6 Q! V" B1 d& l( u    % 绘制原函数和逼近函数0 Q4 u1 E" r9 Q/ W8 F% a# I8 ~
    x = ab-a)/100:b;
" _: G; L0 Q* @" I3 O7 ?    y = subs(f, x);
, q- L4 D- v! b8 V7 i3 n    plot(x, y, 'r');* b( m& u( R6 Q. R+ X; o/ y4 W5 t
    hold on;
& g& M1 l$ m+ j3 G; B  ^! ~, O    y = subs(fe, x);  I$ U) R) ~) Q- z! i' O
    plot(x, y);1 _0 X' X  l9 c3 W6 X1 c  n: A
! o- m; H$ n- H' V* ?7 d/ W) C
    % 输出误差
; W* L0 n- t, x# \& f, ]    disp(['误差: ', char(SError)]);! K1 W/ V6 J+ n+ i9 d8 s
end
/ C; U2 g& B" Q, K- x" v+ V8 I% P5 J! i* f/ R; q% G
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
0 Y% [% G5 Q: W% h$ k9 r: r# Q0 O
function v = vv(n)
: w! U, q: S8 m, s    % 创建垂直向量,如
- C1 r! P/ ]4 r( J9 I  j5 x    % 1  \7 ^& L7 m  A' V' V9 ?6 P
    % x+ m. K# ]; e4 r& B+ L! ]9 u
    % x^2
4 b' J% f, P* ~3 b8 l9 \    % ...
6 L  c/ K% f% f+ T) M- Q- c# P    % x^n6 h* z( B2 ?3 s- }* v8 ?# L
8 Z4 @. F6 b- J( k8 ^% f. h
    if (n < 0 || n > 9)6 L9 X' Q7 u1 d, E
        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');8 A) T2 Q6 d2 n. I9 w
    end
+ `2 l1 S0 z: a3 w. A9 m) ?' `* i. `+ i8 Z/ G  }% s2 y4 Z" P
    s = '';" E  n2 ~7 s. G3 d0 t
    for i = 0:n5 J/ r. i3 d  w$ I
        s = strcat(s, ';x^');/ i* F# t, I3 c9 }  A
        s = strcat(s, num2str(i));
. M( k/ m1 K; \6 a2 l3 [+ d    end) c3 a  s' R" ?6 l+ ?) v
    s(1) = '[';6 E9 W+ `" k% d1 @* {, L+ j
    sz = size(s);  j) {  w" z/ Y: b; q
    s(sz(2) + 1) = ']';
+ q- R" {' }2 s# l4 O. @- n# F9 c
6 y  V/ {0 I+ p! P1 n6 e    v = simplify(sym(s));
% ], ^: a  r8 k" ~; |, F4 d( [; kend
$ J. I( k2 V) h* Z6 n) }) n. c
, W" D6 J& F2 _: M9 B%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%# C9 n" q: U5 H: [- f# ~
4 r4 Y- p% S3 D  T
function v = vh(n)# g3 I% \% K+ o9 Y- J8 I8 `2 G/ S' Q
    % 创建水平向量,如 0 ?# T" |) a8 T
    % [1, x, x^2, ..., x^n]
  S9 U6 q4 D; v3 w; Z8 G9 F$ O+ G- @& q* i# H! ?
    if (n < 0 || n > 9)
( n: M  V8 L/ C% I8 g2 h        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
) n: m3 h0 Y; ]( v- t    end
- ~: }  R; M! t. X$ A, ^# P/ n- l9 N# f- n6 q/ Z: S
    s = '';) P/ |" @: W1 Q* G$ Y, d- p
    for i = 0:n% f& R9 T5 s$ J0 M+ B  v
        s = strcat(s, ',x^');$ Q: k- E6 y8 A% H% q
        s = strcat(s, num2str(i));5 e; `8 w# W* v
    end
5 Q" u7 Y7 C! V% O5 D    s(1) = '[';
  Z. m% ~5 b1 g    sz = size(s);
' ~, t" l! @6 L# d; W    s(sz(2) + 1) = ']';
, m* t! }$ f' t; f- j. k2 m, H2 c9 ?3 m! b3 j  K+ o+ l
    v = simplify(sym(s));% C: w# g; R9 o6 ~6 m
end
6 R# M4 _& d+ ^2 ]! O  t# Y
4 U7 Z  a8 |7 s! S- Q$ N! X这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后,它构建了基函数向量和水平向量,计算了系数矩阵 C,并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后,输出了逼近误差。. F- Q7 n/ [4 {, h4 Z. M4 k

& H, ^% ]7 l; d0 W4 W, a% d3 Q
! C. r& M& \* l6 F( G
zan
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