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matlab脚本进行连续函数的最佳逼近

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发表于 2023-12-31 16:02 |只看该作者 |倒序浏览
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这是一个 MATLAB 脚本,用于进行连续函数的最佳逼近。脚本实现了对一般形式的连续函数的逼近,用户可以指定原函数、定义域以及逼近的最大次数。以下是对代码的主要部分的解释:
4 q) _/ B  [/ N; r; |; G9 Z( xfunction fe = fitfun()
4 X  l2 V1 Q* i$ d/ _  m9 A2 C% j3 G    % 连续函数的最佳逼近
+ D9 l2 o+ A8 h* I    % 取基{1, x, ...}
/ D, J+ \4 T' t, E4 r* S; b+ K+ |7 D! r
    % 默认算例为课本:P60,例3.1
& b6 L1 K; {: ]0 ]4 D- d    % 原函数f(x)=x^(1/2),定义域 [1/4, 1]
) Z5 k) m: H1 H# \  V. E# J    % 结果:P(x) = 10/27 + 88/135x  平方误差=0.00010803
1 y8 o& h' w7 P, {
6 B* y" i7 W' ^$ i% Q8 ]    % 输入原函数
( S& ?5 w; Q( C# h4 N9 T# |    fs = input('<连续函数的最佳逼近>\n输入原函数f(x):[直接回车表示:f(x)=x^(1/2)]\nf(x)=', 's');
! t4 a. c) W; \    if isempty(fs)
7 _0 K$ _7 {9 C# }  l& ~% {2 w        fs = 'x^(1/2)';
! I& e# Y. Q1 M, d5 b    end
. _) i& K7 U  L- J    f = sym(fs);
. B! E  _6 p. C& v
4 f  B3 Z. J7 X* ]8 Z    % 输入定义域上下界8 u* K, {# d& J* E
    a = input('定义域([a, b]) 上界a:');2 t/ G! p; T5 z8 J& P$ v8 j+ P
    b = input('Domain ([a, b]) 下界b:');
. N: i/ {$ z8 ?
- g. O/ b8 O+ S# N. ]5 J    % 输入逼近的最大次数
1 n" J6 E. y2 @- F) Y    n = input('{1, x, x^2, ..., x^n}\nInput the maximum index n: ');6 D9 O7 s5 u  M  O
) Y# `2 h# Q/ a
    % 创建向量  e2 ]0 s* O6 h9 E1 L) Q- F
    v = vv(n);6 k5 [) D4 L; r$ i0 T$ _5 \
    h = vh(n);1 Y, s& F1 v: h# N$ R# H
* U* [$ y2 z/ u$ N6 q
    % 计算矩阵 G 和向量 B' j7 `7 z2 v, O& N! P1 L
    G = int(v * h, a, b);
1 f9 k1 e" w- Y" G9 B5 [8 i& w4 J/ g    B = int(f * v, a, b);8 s- x+ _8 H* r4 z# p( x+ I
. V" ^+ P5 S( v5 M; K) w7 Y1 @
    % 计算系数矩阵 C: y' [. m% \" ^% N& d( |
    C = inv(G) * B;( X8 i& [8 p2 o7 F2 r1 k* T+ n

. f- c4 _) t; T, W. S" z4 _( \5 ^" {    % 计算逼近多项式$ C4 [7 Y+ U- Y$ w- u: Q! \
    fe = h * C;
% m& U1 l0 ~/ ]
9 ]1 [8 D+ E6 R$ z    % 误差& F. V! p) R- i5 M0 }% [1 R
    SError = vpa(int(f * f, a, b) - int(f * h, a, b) * C, 6);# W$ p  b( E4 f% {9 V

7 m( e3 l! Z4 J) {) Y    % 绘制原函数和逼近函数% |3 g( n2 }0 i+ F$ [! I
    x = ab-a)/100:b;
- G' I/ K! T+ {; m* `4 l3 X    y = subs(f, x);) U* X; N) y! A9 C4 j8 \6 G
    plot(x, y, 'r');
8 J3 X. t4 W7 [1 p% K# Z2 s    hold on;
/ }8 N5 `2 b; @- |& F2 N9 y: C    y = subs(fe, x);
, m/ L3 L7 y- j( Y    plot(x, y);+ V: f; t. a5 T( d% ^' X

* e& T3 k8 n; Q8 t5 B4 V    % 输出误差
5 Y+ _% {& ?) c9 l    disp(['误差: ', char(SError)]);
. E# c& F' {2 W! w4 e1 ^% iend
$ g' e) _% @3 r: }6 S) }
( Q# X6 y' _, b  w& z%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
9 I6 s: x: y, s. \. ~4 c2 V' @: e) q5 o7 R3 M" N0 ^
function v = vv(n)% |" n1 `- A* v) H0 ~8 c' `3 c
    % 创建垂直向量,如
% @5 V0 Y& A, }8 i    % 1
( V4 R- b; Y1 s& {! U6 n8 c# s    % x% L" t) q$ J) j2 l
    % x^27 \7 Z" ]3 Y! n1 h. z+ _. C4 j
    % ...   \; d1 D' Q& N# j8 @4 u* j
    % x^n* t/ F; Z2 H7 u$ v0 ~
1 L8 {- X# J) r' c/ `
    if (n < 0 || n > 9)& Q8 }, x3 I7 M2 ]
        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');4 B6 i& y% s- R+ T/ V; h
    end
9 I6 z! c7 W0 ]/ {
: t$ @8 R2 t) \3 b  Y; ~% [. S  c    s = '';; _) x. O6 e: ^1 I
    for i = 0:n
- N+ D, R. F5 K9 D5 W, |        s = strcat(s, ';x^');
2 f. k8 q! ~4 k# E0 g& C1 k( L" {" {        s = strcat(s, num2str(i));
; b; v- g* |: H# g& W& ]  f7 E    end
! ~& A, F- N3 R7 s5 r1 a    s(1) = '[';' y% w3 n6 Y  [; [( r$ Q
    sz = size(s);
2 C  G9 ]# ?! S    s(sz(2) + 1) = ']';
7 X! Z: d, B) z. B' U
9 N1 v- [, U* l0 N* {' [1 w    v = simplify(sym(s));
9 q" s  u0 k/ i  W1 [3 Fend' x& a& U) ~/ J3 E

& w! L9 V% v# j) N%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%( X) }- R2 G4 M( h0 `6 x

3 t2 N( v. A" Mfunction v = vh(n)7 ^1 n) r6 l+ w/ M
    % 创建水平向量,如
! a3 O/ w; c5 D, s' `) c" x    % [1, x, x^2, ..., x^n]
8 N9 L1 P7 w1 ]6 v+ M/ J; Z! \0 N" U9 E! |0 J
    if (n < 0 || n > 9)
, B1 P& \7 i7 X: y' o" h$ @1 b        error('请确保 ''n'' 在 [0, 9] 范围内');
) D4 ^6 s. o6 U' h' Z: m+ V0 T- q    end
. i3 e) c2 G) B/ O3 N3 v6 @1 ?$ F) ^3 Y" l; B$ T  d+ U
    s = '';% O# J* h5 c; ~2 X1 o* T
    for i = 0:n
/ t2 d, w, ]7 I0 H. [9 {" E        s = strcat(s, ',x^');7 }. Y$ H% j3 U+ _
        s = strcat(s, num2str(i));
+ p8 M% h2 }  G- x0 R    end
- e: L& Y7 h5 E6 q$ O- n' D    s(1) = '[';6 R' {( C& I# V- |' ^2 y, \- ^' l
    sz = size(s);' q3 t, ~3 w! F" O8 E
    s(sz(2) + 1) = ']';, l  ^9 l, D9 N: J1 u3 A

8 z. `* Y  W. m    v = simplify(sym(s));
' K7 C  E3 i  K% c# s+ D7 |end/ Y( A; J9 W/ ^; U6 _3 ~& X
( u, `3 {4 q9 c) w
这个脚本首先要求用户输入原函数、定义域以及逼近的最大次数。然后,它构建了基函数向量和水平向量,计算了系数矩阵 C,并绘制了原函数和逼近函数的图表。最后,输出了逼近误差。
& b( r9 P6 m' F; j; |$ ~$ ?0 U. `8 |/ o% ?1 C; k- P6 @' F

( {6 s& D( a: J7 p- [- C7 ^" U" d. T
zan
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