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使用有限差分法和托马斯算法(或追赶法)对一个二阶线性边值问题进行数值求解。这种方法通常用于数值解微分方程。. N8 B( x3 r/ O
以下是代码的简要解释:, e. M: c7 Q# E% ]( V& ]
" \% o8 C5 W& W, o- t7 f1.使用 inline 函数定义了三个函数 p(x)、q(x) 和 r(x),它们表示微分方程的系数。& u; M$ N! I* K1 M
2.设置了参数,如间隔数 N、初始和边界条件 a0、b0、af、bt 以及间隔大小 h。
6 a( I$ t- K, O. l3 r( y3.基于微分方程的有限差分离散化,计算了系数 a、b、c 和 d。
' d% O# X, b7 S9 J1 m6 X9 _, B1 i% k4.使用托马斯算法(或追赶法)解决了三对角方程组。5 Z2 O0 E% p+ F9 S+ d7 e
5.将结果与由数组 zj 表示的解析解进行了比较。
# {2 u9 ?9 D8 f2 k: Z6.将数值解和解析解并排显示,以便比较。- p=inline('-2/x');/ L. L$ c3 i( K\" y
- q=inline('2/x^2');* [! Q! P$ C8 }. J) J4 J8 s/ Y
- r=inline('sin(log10(x)/log10(exp(1)))/x^2');
+ q% V; a5 g; Q% H - N=9;
# h3 X8 o! t( j - a0=1;b0=2;
# R6 a2 |6 n* g7 M# O - af=1;bt=2;) B* w8 s& p6 c( _2 M
- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
7 Z4 L/ {! F* c# @0 R - h=(b0-a0)/(N+1);6 s' W- o( t3 `$ ?9 f- z
- x=a0+h;
3 E7 Y$ b3 K+ Q, t Q - a(1)=2+h*h*q(x);\" ^! i1 ]/ v1 w/ ^
- b(1)=-1+(h/2)*p(x);* N& {1 M: x$ ?\" A7 p\" }( }
- d(1)=-h*h*r(x)+(1+(h/2)*p(x))*af;' H, F1 V. v; t. V; ~\" H1 j
- for i=2:N-1
8 q1 ?' y8 J* Z: [\" F, b8 D. _. @ - x=a0+i*h;
, }. `7 t& v r+ C ]1 D - a(i)=2+h*h*q(x);
6 s9 k$ f ~+ Q R* P+ h7 ? - b(i)=-1+(h/2)*p(x);7 N) b: G8 k' ]0 i
- c(i)=-1-(h/2)*p(x);9 J) f1 N9 L3 C9 F: X) k+ I1 ~
- d(i)=-h*h*r(x);
2 [! `7 K7 x s# t; w+ S7 c4 I - end
) h\" l9 z) Z' H( p5 k/ o9 f - x=b0-h;* X( t: v. B- h4 F5 H j* [. T2 b
- a(N)=2+h*h*q(x);
* J. n2 M6 r& f9 B4 y' @; ^ - c(N)=-1-(h/2)*p(x);3 P1 i; z8 J2 Q
- d(N)=-h*h*r(x)+(1-(h/2)*p(x))*bt;
; B% b/ @# b7 l1 g2 ` - %%%%%%%%%追赶法%%%%%%%%%%%%%%%%%%3 ~: h9 c0 H/ U* e
- %y=trisys(c,a,b,d)
8 W5 p+ H\" y+ ]7 W! Q; i - L(1)=a(1);
0 w# R( g* x\" n$ X' ? - u(1)=b(1)/a(1);$ I* H7 s3 a; Z# T, C/ F
- for i=2:N-1
6 F8 @9 g/ `) J, x! s\" |$ f6 @ - L(i)=a(i)-c(i)*u(i-1);
' m/ C3 V2 t8 h' E0 _1 P, s - u(i)=b(i)/L(i);0 q4 n# k1 O) m/ s: Z
- end
8 N8 d0 G! F& w+ |2 W3 Z9 Q7 r2 t - L(N)=a(N)-c(N)*u(N-1);: i6 p; g7 q$ C; e- u) C2 v
- z(1)=d(1)/L(1);
; T9 Q- z, g( ? - for i=2:N& T; v, u3 p, R5 Q\" R: R, |/ w
- z(i)=(d(i)-c(i)*z(i-1))/L(i);
9 [, {& |4 Q* E6 b# Q& I - end8 X: N& }9 z; B
- y(N)=z(N);5 y7 ^* a/ i y5 x\" E
- for i=N-1:-1:1
9 K. f R% V( Q - y(i)=z(i)-u(i)*y(i+1);3 T: N6 O2 Y( d4 v
- end( |, V! w; u0 j8 Q9 B
- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
$ B' P5 G: F# _ - Y=[af,y,bt];% a1 r, R$ Q7 C\" e$ S
- for i=1:N+2
7 U0 e4 v( y3 D8 B. A( _; D - x=a0+(i-1)*h;' y; Y& e; P- S9 B
- zj(i)=1.1392070132*x-0.03920701320/x^2-3*sin(log10(x)/log10(exp(1)))/10-cos(log10(x)/log10(exp(1)))/10;, V0 B( V6 E5 v, z% ?3 f! N
- end
: b# X) l! T' e - disp('下面两列分别是数值解和近似解');
, C6 c3 S\" `, f( P$ W8 R - re=[Y' zj']
复制代码 2 H) l. Y7 k( p" W0 ?
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