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起作用集法解决二次规划问题

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发表于 2024-9-25 16:32 |只看该作者 |倒序浏览
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起作用集法(Active Set Method)是一种用于求解约束优化问题的有效算法,特别适用于二次规划问题。以下是使用起作用集法解决二次规划问题的基本步骤和概念。
- v' Q! l+ A" ?9 `
1 Q( f6 e: i1 e! v/ D- B### 二次规划问题的形式
; @2 x5 I, D# i6 M' ^6 v1 P) P
. n4 l8 U8 q9 _: O5 m二次规划问题通常可以表示为:4 [- g1 x1 \- k, Q
; l3 p' D  o7 k# k  C
\[
; O3 _: }2 ?$ j% Y4 _\text{Minimize } f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x, F* m0 h- E( Q
\]7 v6 [: W0 a8 b) v; N
0 B5 k/ `( H1 \. C- A4 K
约束条件为:0 J+ e1 \  H1 b% K
* H; ]. L/ E9 t* D6 e# N8 B
\[
$ H6 y3 B, S& G! b1 t, hAx \leq b
* P1 n2 j+ Z% }2 Y6 n+ R' d\]* e5 `/ Z" Q. H4 X1 m- q
8 ~& {$ n: n, D6 X7 ]
\[5 v4 t+ o* [( w+ i3 Q; K1 J, b
x \geq 0
6 B- U# o( f7 h1 K% B1 Q" S\]
) L( v9 }. N: }3 E4 B6 ~3 x( t) `! `" p) k% l
其中,\(Q\) 是一个对称正定矩阵,\(c\) 是一个向量,\(A\) 是约束条件的系数矩阵,\(b\) 是约束条件的右侧向量。2 ]  E5 t7 r) ]) ]9 T* k  ^
" [0 Q/ Q9 B/ X
### 起作用集法的步骤
/ u6 [# W( r' v# ~/ y  @8 B# E
$ k& ?' w% U% e1. **初始化**:" k5 L6 d" H3 ?
   - 选择一个初始可行解 \(x_0\)。
5 c0 }6 M2 T% d3 y   - 确定初始的起作用集(即当前活动的约束条件)。5 s7 O: Q7 v+ t) m8 [7 }( `8 S
! L3 P; {% @" S; T
2. **构造拉格朗日函数**:
% V3 Z9 v4 _8 r   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数:. O9 o7 E( z7 Y6 t8 {- I& l) Z

4 U+ M* H0 q( y% Z4 b* n( P* x3 E   \[1 T; U# y: o7 m* F( E# o, n
   L(x, \lambda) = \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x + \lambda^T (b - Ax)
; B, T! X$ {5 ~+ }9 \7 O9 u1 ]   \]! j: h; T" ]9 m* T2 ^8 R

; C7 O( }& F7 h+ i& i8 X/ O3. **求解一阶条件**:: T1 O4 u7 l1 J8 C- N
   - 对 \(L\) 关于 \(x\) 和 \(\lambda\) 分别求偏导数,并令其等于零,得到一个方程组。9 r& U+ u6 T( \4 A  q2 |
8 o! G% k3 i, g$ ]/ ?9 L5 Y' t. f
4. **更新解**:
% h" u  l8 b" Z( ], _   - 通过求解上述方程组,得到新的解 \(x\)。
4 R+ b! q9 J  B' m   - 检查新的解是否满足所有约束条件。
+ ^, u& E! [- t# N1 r
6 ]# o8 n0 S7 ]. O6 v! O5. **更新起作用集**:
' d7 q. v! t+ Z3 L5 H   - 如果新的解违反了某些约束条件,则将这些约束条件加入起作用集。/ P) ?  m6 J2 D$ N8 ^& r
   - 如果新的解满足所有约束条件,则检查是否可以退出当前的起作用集。% I" i1 a4 H& a* n. l* `

6 N) l" ]' H; I1 ~/ x+ ^+ x6 ?6. **迭代**:$ C! |5 I, H6 K# [
   - 重复步骤 2 到 5,直到满足收敛条件(例如,目标函数值的变化小于某个阈值)。; J" G) q% s" J/ h$ K$ S* f

2 `/ `! q3 [) |# j+ E7. **确定最优解**:5 t3 Q5 D4 i1 W
   - 当达到收敛条件时,当前解即为最优解。1 e2 V: S( f6 H& ]5 }
8 N! I( q# k6 x* [, ^3 n, o! U% _
### 示例
) Q- i% h8 r) ]9 u
' S) E2 N- D, [& D假设我们有一个简单的二次规划问题:" R8 c7 P( l3 G9 h) O

+ v+ e, J- W+ a4 Z\[
; B. ^, h2 i# n& P) c& H\text{Minimize } f(x) = x_1^2 + x_2^2  _1 q3 N/ A" Q. v% l  n9 d
\]
7 k: s: }0 w, B6 d0 ~$ a9 E- W+ @7 u8 t3 v7 n  ^! G
约束条件为:
2 r1 o; M6 _- l. P- n* H5 z) I
! m$ G( i) l) C. q/ W0 W( I\[- v/ p- i. B! n: Z2 {. _
x_1 + x_2 \leq 1
3 |4 e) j: [- G4 R: Z\]
- A1 ]" z- }! I3 X' B8 Y  u5 `
  G0 `) `6 v) W2 y3 ]$ f3 V\[
+ u4 n0 j8 B1 Kx_1, x_2 \geq 0/ Q' Q9 V- j& r
\]
4 `, H( s* |" Z; d. t7 A3 r+ h2 |  u% Z8 m% K' @
**步骤**:' ~- d+ z* ~5 F4 d: O  K% @5 S

; i" L! G! t! z4 f) \1. **初始化**:
4 y1 J! h3 r. F5 l+ n   - 选择初始解 \(x_0 = (0, 0)\),起作用集为空。$ F4 k+ a% X4 S0 g4 ^/ a: n
9 P" v& V: B8 v- I
2. **构造拉格朗日函数**:0 f3 ~" j7 F: z' a1 x
   - 对于当前的起作用集,构造拉格朗日函数。# O" a1 O3 L- o: ~: Q: F+ D

" f/ T5 [* |* F" d# P; A6 h% p3. **求解一阶条件**:' x$ l- S; f, ~& k
   - 计算偏导数并求解。, }# [3 R$ ^' Q9 {+ @$ e2 S+ c/ I! ~1 i

) r' H  g% U0 Q. ~6 o4. **更新解**:: F% h  m  L$ y# ~! X' r
   - 得到新的解 \(x\),检查是否满足约束。
% \- s6 i" H# }) L/ @* s& ]: W& a" Y+ v9 g
5. **更新起作用集**:
# p# `' ^, W: m- j: p   - 如果 \(x_1 + x_2 > 1\),则将约束 \(x_1 + x_2 \leq 1\) 加入起作用集。9 s4 l! P! M: t) M- _

9 |: P. h( d4 I  f2 }4 Z- ^0 H6. **迭代**:# p- w9 g# n8 U4 D5 z, M0 l( G
   - 重复上述步骤,直到收敛。
9 @/ L' u/ C7 U, |) Q1 S9 q4 O, \) k- @: }/ m4 B. U7 ~
7. **确定最优解**:
7 t7 r3 I; K; J( r   - 最终得到的解即为最优解。& ]6 g$ w( V# L. ]+ l4 z

7 M) o" t0 w% ?: n: a### 总结+ h! z; a1 J" L3 G
4 ~/ X- `+ G2 o( d2 S# l% S; `
起作用集法是一种有效的求解二次规划问题的算法,通过动态调整活动约束集来逐步逼近最优解。它适用于处理具有线性约束的优化问题,尤其在约束条件较多的情况下表现良好。
5 R: Q9 H# x) w& ]+ i! n
) ~" g5 R# U9 Z5 r9 B+ L. q; G3 H1 ?, J, L
& W# T3 z# x- A5 M; o! f" s

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