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牛顿法求多元函数的极值

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发表于 2024-9-25 16:39 |只看该作者 |倒序浏览
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牛顿法是一种用于寻找多元函数极值的有效优化方法。它通过利用二阶泰勒展开来迭代逼近函数的极值点。以下是使用牛顿法求多元函数极值的步骤及示例。
& x2 ]9 K0 B( X3 s" p  d; j. Z% r" m
### 步骤
; k7 b/ J8 w8 c& I; K. D0 l* A% M; O. Z' ?# |$ z, M
1. **定义目标函数**:4 [# e( L0 y) D) f( C, a
   设目标函数为 \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \),其梯度和哈essian矩阵定义为:8 a2 y. c1 F; M5 }) _) U! e

' O$ B" d' ?: y8 x& }& W   - 梯度:\(\nabla f(x)\) 是一个 \(n\) 维列向量,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的一阶偏导数。
/ u& q2 m# f; T, \   - 哈essian矩阵:\(H(x)\) 是一个 \(n \times n\) 的对称矩阵,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的二阶偏导数。2 [5 I9 C" I' h

6 k0 V9 A- }; j2. **初始化**:- i* s$ }8 `' S( O6 z8 z
   选择一个初始点 \(x_0\)。
0 v; F* r9 @5 l5 p
/ b" ^9 K; P' ~5 ^4 a3. **迭代过程**:6 A+ M6 q7 H- S7 {  o
   对于每一步 \(k\):
) M+ D4 e1 H0 N/ j8 t4 h+ ^   - 计算当前位置的梯度和哈essian矩阵:
+ C& Z! Z% Y% m2 e0 y     \[
2 D: f8 h* Y; j; C     g_k = \nabla f(x_k), \quad H_k = H(x_k)
  K5 j% B8 t( H     \]
/ V. k) Y7 s6 N   - 解线性方程以更新位置:
7 f$ u( i7 o. t7 t0 }  p     \[6 p( W/ X* `! C& Y$ g% Q4 \4 B
     d_k = -H_k^{-1} g_k
5 f, y: Q# ~. C1 q- X     \]
7 J+ H. t- e+ U/ H3 B) G   - 更新位置:( g; i& f) @4 q) {# v
     \[
8 h7 v4 w7 \- Q9 E     x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k+ d3 H; {1 H0 Z
     \]6 P$ X8 u% F5 [3 g1 L$ P1 a2 ?
     其中 \(\alpha_k\) 是步长,可以使用线搜索方法来确定。  q$ ?: L& p% Z& k, |+ d0 [" p; j' c

: V6 {/ q' Q+ Y' I4. **收敛判定**:- Q/ h% f, q0 M4 Z6 `. t5 H* z
   - 检查梯度的模长是否足够小(例如 \(\|g_k\| < \epsilon\),其中 \(\epsilon\) 是预设的阈值),或者检查相邻两个点之间的距离。
* C  e+ o/ g. [5 J& b" {5 B1 p5 d7 a/ p# P& f
5. **结束**:
9 a. J+ @5 C7 }5 _8 K   - 当满足收敛条件时,结束迭代,返回当前点 \(x_k\) 作为极值点。
! i( C9 k) P5 }6 G5 c. v* i6 D8 I' W# A4 b8 i) [/ X
### 示例
! N+ A' v2 Q; r- F7 H4 E0 q6 v
6 B% u9 @; C# e' U1 W0 Y/ B考虑函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y \)。
, j2 w% D  ~4 w  A
6 r9 ]5 E, C# T9 e) ^( k& U#### 1. 计算梯度和哈essian矩阵
4 z- P. ~9 S5 z9 ]; r7 b7 k4 c! z3 i, Q( }4 [' d2 L) n/ Q
- 梯度:: a4 g# A# n3 ]) z$ I
  \[
! }( O% P! u$ S2 ?  M- C3 ?- d  \nabla f(x, y) = \begin{bmatrix}
/ Z/ r) m2 c* S' Z9 c2 q* G+ z  \frac{\partial f}{\partial x} \\+ ?4 \. K8 P+ |
  \frac{\partial f}{\partial y}2 J. E: e& T& e$ G8 ~
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
( M8 v. {  W$ w' d" k2 I  2x - 4 \\
, m9 W" a) J, g* H5 Q  2y - 6
1 ]. i/ f) ]' X  \end{bmatrix}* A3 ]$ ~& T4 i: l* b
  \]
' H& {$ q, |) Z+ u& d2 U. z9 y/ I2 Q1 e$ s) _9 X# f' H
- 哈essian矩阵:. z) |# {7 g3 E. `8 l8 d+ |1 ^% L# C
  \[
+ f& _& Y+ b- O# f) x  H(x, y) = \begin{bmatrix}; J: a) J0 L# E. b; R
  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
0 F4 _' t9 {, M* R: _  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}/ q" n" ]/ ~4 d; q( U
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 @, s4 @4 s! M- R  X) Z/ b- z
  2 & 0 \\. u1 D/ F) C1 z& \
  0 & 2
; z8 A0 _( ^9 h: I9 v! s  \end{bmatrix}
1 M/ _7 Z! M7 h0 M# ^9 q7 U7 k; [  \]
4 o. ~7 w! ~0 I2 h' g$ l" ^( H: z& U$ u% M9 B. l! ]! k0 G& k
#### 2. 初始化7 y& v8 Z* W+ {0 U7 E3 w
; l$ r1 _* A, y
选择初始点 \( x_0 = (0, 0) \)。- V% N1 I2 f( j* q3 s$ K- z, e# i
4 `8 h; d6 Z+ l
#### 3. 迭代过程
4 G5 k9 \1 [; u% L
: ~/ V! C2 ?, X7 e; [- 计算梯度:
9 t" C2 \- j; v- o2 ~5 M5 z  \[0 O6 b% f0 |. `8 J
  g_0 = \nabla f(0, 0) = \begin{bmatrix}
- q. j4 \2 o8 ]  -4 \\4 R. I. W1 g& M9 h
  -62 S% \) J2 y" w/ z/ t8 P
  \end{bmatrix}
+ f5 Y! l; d4 l3 Q+ v5 t) p  k0 L  \]
/ L2 v0 g+ r3 b2 _' `) h) f. m6 K3 U& l' G% e6 E2 i
- 计算哈essian矩阵(在初始点不变):
7 X) H! D: z1 B( b8 J% {' x4 s  \[) B# K0 H7 n6 n; Z9 }, C1 g
  H_0 = \begin{bmatrix}
" `. j6 _$ G% ^* H! t* y  R0 ^  2 & 0 \\# H, C, K& O7 N0 B
  0 & 2) d( I8 z! e1 E4 M& S, F
  \end{bmatrix}0 {7 {" q7 n& \0 R4 Z/ Z# Y" X$ H
  \]
7 F1 `) G7 q4 Q; Q  }
3 J; b) N4 X: y% @' o- 计算搜索方向:" L" Q, y! s# t( T( `/ {
  \[
! l# z% D! e; o. X  d_0 = -H_0^{-1} g_0 = -\begin{bmatrix}
0 j( R$ ^% k  L  0.5 & 0 \\: A3 q$ u2 ]2 e$ ?7 h. c
  0 & 0.5
% G( O! K) v7 Q( N3 g( [* }+ W  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
- ^2 w1 }6 j+ u4 ~+ h! ]  -4 \\
; O0 W/ {: w4 Y5 A& o  -68 Z( D& r- ]" R5 L; h' ^: J
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
5 ?& H. F) l: c  2 \\
6 p3 Z5 K; e; O  E  3& f$ E/ i* d% Q
  \end{bmatrix}
/ G1 X) T& L+ n5 t  \]
" Z; x: c6 P; T! \
2 _# K1 V5 i" S5 Y1 G( Y2 h- 更新位置:* G5 E  M# D5 T. G9 p
  \[
# k2 J# n# b. @! ~% |  x_1 = x_0 + d_0 = \begin{bmatrix}+ T$ f, g9 C  i6 R8 f6 L% E6 Y, f
  0 \\
1 T5 t- c* u* t# s' i: j: N) F8 |$ k  0+ J8 C" b3 v' z! t' j3 ]4 ^
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
* ^: T! b# A1 h& G  2 \\. n$ Q( b- ~) ^
  3
7 t; R. ?6 q6 O* p6 L. z  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 ^1 ^  E- I2 k5 X1 F& R
  2 \\+ K. u( I3 A- o
  3$ v+ x) Y# R1 Y* r% e/ j
  \end{bmatrix}) o/ \* f% l% b" o3 n) b8 o
  \]) E# B7 _& X  m: Z  m- t

5 N3 {1 c4 N/ {* ^, M" f- 重复上述步骤直到收敛。( ^" Y) ]9 a; p" h0 F# \
; M  o% G0 E: p1 L1 ]: K6 |- y
#### 4. 收敛判定, [8 z0 ^% m9 U

1 J4 G* Y- l- @$ G; g在后续的迭代中继续计算梯度和哈essian并更新,直至梯度的模长小于某一阈值。, T- R9 O( \4 J- s. r. q9 H( u; s
% M2 X6 @& M" H: c6 X; p
### 总结2 b- R) Z2 V  v% V

# Q: B9 h, E  c牛顿法通过利用梯度和哈essian矩阵提供了快速的收敛性,尤其在接近最优点时表现优越。然而,它对初始值的选择和哈essian的可逆性有一定要求。在问题规模较大或哈essian不可逆时,可能需要使用拟牛顿法或其他优化技术。- {4 b- i6 |' W* j$ P

& H7 e% z# U( l$ A5 h& [: d1 N  \6 ^
& p" z4 I7 @6 v

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