QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 3510|回复: 0
打印 上一主题 下一主题

牛顿法求多元函数的极值

[复制链接]
字体大小: 正常 放大

1186

主题

4

听众

2922

积分

该用户从未签到

跳转到指定楼层
1#
发表于 2024-9-25 16:39 |只看该作者 |倒序浏览
|招呼Ta 关注Ta
牛顿法是一种用于寻找多元函数极值的有效优化方法。它通过利用二阶泰勒展开来迭代逼近函数的极值点。以下是使用牛顿法求多元函数极值的步骤及示例。
& \# W: i" O6 ~, @4 \
2 z' I8 _+ i' L# H### 步骤
( s, X4 c5 L8 O) o: X( S/ d& p, C* c5 G& ]4 B/ ]" l7 }
1. **定义目标函数**:/ I: N9 \* |) f
   设目标函数为 \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \),其梯度和哈essian矩阵定义为:
  t4 i* q- q6 P* r! L1 V
; ^: f5 a3 ]% ]   - 梯度:\(\nabla f(x)\) 是一个 \(n\) 维列向量,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的一阶偏导数。
7 S) U* n' H; A  B( b; A* ?, a   - 哈essian矩阵:\(H(x)\) 是一个 \(n \times n\) 的对称矩阵,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的二阶偏导数。( S& [# Y$ ?+ w7 U
( Q7 N4 o$ m( [( t6 ?* N
2. **初始化**:) b( S) V* S( H7 n5 b( _
   选择一个初始点 \(x_0\)。/ c+ ~. u! J- J) i8 R
6 J( X  z0 j' i* \
3. **迭代过程**:
+ m$ x1 V# B4 i" T* S3 B/ D   对于每一步 \(k\):+ |! U" n! Z% O
   - 计算当前位置的梯度和哈essian矩阵:
! O, @+ ?+ @' G% c     \[
* C+ |7 \& J3 A* D     g_k = \nabla f(x_k), \quad H_k = H(x_k)
6 L6 ]9 q! _# m, q/ ?7 c     \]! q) E0 s* Y+ H4 j  ^5 x% I" t
   - 解线性方程以更新位置:
9 t& _' {' |) Z+ ~$ [. f$ m     \[% C: v5 R) A+ p7 w3 L
     d_k = -H_k^{-1} g_k
, ~7 g; E( L% q4 j# h# ~     \]
/ ?$ ?! _! C( v# C$ W& |+ v   - 更新位置:
' f1 K% D: A. w$ F8 r0 T" L5 F     \[7 b% Q) b9 O5 x5 B0 {3 o
     x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k2 Q/ m4 y/ S0 C- W
     \]
" `9 m3 `2 ]" Z* i- U3 ~     其中 \(\alpha_k\) 是步长,可以使用线搜索方法来确定。4 H# h4 O$ m. A+ ?* ]

  T- g# W1 ^* H" d4. **收敛判定**:
6 _. B3 v! V6 v# K1 F9 K   - 检查梯度的模长是否足够小(例如 \(\|g_k\| < \epsilon\),其中 \(\epsilon\) 是预设的阈值),或者检查相邻两个点之间的距离。4 g; v2 f2 S3 v7 }  |2 y
" P# w6 k! a3 e
5. **结束**:# E: g1 `* J6 f0 Z* u" y2 }
   - 当满足收敛条件时,结束迭代,返回当前点 \(x_k\) 作为极值点。' E& b; f2 `+ s1 D
* e+ A- Z8 n' r: Z/ m8 C8 X
### 示例8 ^1 N+ z! ]# C5 b

# e. y6 a' J: G" a9 s考虑函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y \)。1 }! a: H6 Q' C6 L, a5 H( v2 v

8 s5 X& U" H! \* N#### 1. 计算梯度和哈essian矩阵
6 o6 q& M3 e0 G0 W0 t* A! K8 n+ i  J. [
- 梯度:* j/ O) `  h' \8 \* B: v% G5 k  W
  \[# \: ], g% E' \2 x
  \nabla f(x, y) = \begin{bmatrix}
$ z$ y( y" r# P$ w: w  \frac{\partial f}{\partial x} \\
7 a& C6 g4 c3 R: a# V( Y$ ]  \frac{\partial f}{\partial y}% f# z# o1 g& I3 V( b. E, R% R
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
- v/ o! v6 U: O0 [4 Y# a  2x - 4 \\
* a6 }9 W; C5 L# r7 W  q7 n  2y - 65 V/ Q: F8 U" Z6 L' U" s0 E
  \end{bmatrix}* T' c3 Z, u1 U
  \]
: O5 y2 N* X- M) D9 u0 Y  a: s3 K; j* k' U, e  y" c! f' r
- 哈essian矩阵:
" M9 A" Y! L1 E* [  \[
% V. I2 x4 {" I- t# c4 k0 \  H(x, y) = \begin{bmatrix}
, w) R. _/ V$ V  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\' [' w! l% ^- N0 m+ A
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}* L2 Z3 i1 j' O1 B  }! [9 m' _" G: y
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
0 V1 c0 _4 E7 I  i, ^  2 & 0 \\' u# M: l* m; F
  0 & 2  n  N6 y! G& Q
  \end{bmatrix}
, u- ]" `& h) t* Y, o+ c+ L. E  \]
. e$ j$ k6 f' W4 a/ c, v+ ^$ z9 I0 h: }
#### 2. 初始化& K9 y- U4 s/ S) t5 G

# g: n. D) `3 T选择初始点 \( x_0 = (0, 0) \)。
$ u( k8 B& V6 |; ]+ H1 I$ X+ e" k$ p) t8 ?4 N: Z# }
#### 3. 迭代过程
- [! u: D- ?+ U0 E! q1 [& {- J$ y) w  @/ Q
- 计算梯度:# {2 y& Y: q9 Z" L2 g* a
  \[% f/ }$ E' Z; c
  g_0 = \nabla f(0, 0) = \begin{bmatrix}3 ?- o' b/ i8 X. N3 Y
  -4 \\
: \2 M$ v8 v7 P, P! S% X# v# X+ K; x  -6# r' ^' |/ l" s
  \end{bmatrix}! a( ^# s$ @6 f0 Y2 X- E
  \]7 [. c1 o. {* K. }3 j1 D  O
6 p& y0 X- \6 T0 P% j& {* t) y
- 计算哈essian矩阵(在初始点不变):) \' H* B# `. K1 h# w
  \[
4 b% o2 _7 s* n# k  H_0 = \begin{bmatrix}
. Z  s$ J/ K" t) I; W  R# E  2 & 0 \\6 ?- h8 [2 Z( E7 E5 a% {7 k
  0 & 2# z. z; t/ L9 {: P5 Z
  \end{bmatrix}
( w, ~, B3 {. A  \]6 X) \! @) e4 n( z# O4 E/ g' K; a) \

& `  [& _# G/ T7 B6 w; R- 计算搜索方向:- Z$ l7 J) a9 Y% a5 Y1 }
  \[
% `3 u. s% G% l( ]$ r3 Q8 L. Q( r  d_0 = -H_0^{-1} g_0 = -\begin{bmatrix}( f; l' |3 i; _$ N. a+ ]8 [; l& Y
  0.5 & 0 \\
! s; U6 W! H/ b( B7 i# m. I' a/ j  0 & 0.5
9 h  x+ O$ n5 a  X2 ?. w  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}
) }/ k) E) u; Q* J) `  -4 \\" n  R1 D1 [; h! x7 @/ f: G: L
  -6
- V9 R/ J5 L* E; A: l  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
: Y1 m# ]; G  E0 ^- H4 E' t  2 \\2 o2 s7 o8 p1 B! q
  3  [7 C2 A8 n- s3 P
  \end{bmatrix}: v' ?. j4 `  {, ?# Y, O' J  @
  \]) w6 ~4 g) i2 a
$ ~: k/ Y6 ]9 V
- 更新位置:, J1 K- t2 ~& n, g
  \[* b# {# c6 O7 G5 E8 k
  x_1 = x_0 + d_0 = \begin{bmatrix}
/ ~6 i: u& N+ J+ ^1 [( H  0 \\7 G; Y) c, N) N9 u# p7 i+ k
  0: M* G9 y  a, n8 \7 N& U1 Z
  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
( M$ @  W2 D, L( w  2 \\' W8 q3 h% b% i5 W5 n- F3 s2 D+ ~# m
  30 x! _. a1 H0 X
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2 Y( B7 P- ?, g$ z5 S+ [& O  2 \\  ]' p( p% B2 H9 k* H* l
  3( A# Y' W- m& `# j$ s+ U  N
  \end{bmatrix}: R# S$ R3 O. `$ y1 S8 v2 ?
  \]6 z- S* q# z+ l2 j, k, t

9 b0 S) q8 g7 ?1 f! K! y. \6 W7 @- 重复上述步骤直到收敛。% ?. {! h6 D% J- G! i

% U+ A5 X4 Z; [; p#### 4. 收敛判定# s+ A/ R* \; l0 ~* {

. S  |4 Y# k1 @在后续的迭代中继续计算梯度和哈essian并更新,直至梯度的模长小于某一阈值。
! R) n! S7 q# y) S* w3 [# e
9 K  K% v3 b; ?$ _/ r### 总结8 ?% @; d! Y# z+ f+ N1 d
' E, |8 y6 _$ z* q. ~9 z
牛顿法通过利用梯度和哈essian矩阵提供了快速的收敛性,尤其在接近最优点时表现优越。然而,它对初始值的选择和哈essian的可逆性有一定要求。在问题规模较大或哈essian不可逆时,可能需要使用拟牛顿法或其他优化技术。1 c! A" O/ l4 q' @  B! f9 ]

4 K! @! O. V9 g8 b' H+ U7 @" G: q6 e3 m! E* u

3 B" U$ C" B+ k" i* @3 P

minNT.m

517 Bytes, 下载次数: 0, 下载积分: 体力 -2 点

售价: 2 点体力  [记录]  [购买]

zan
转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

qq
收缩
  • 电话咨询

  • 04714969085
fastpost

关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

蒙公网安备 15010502000194号

Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

GMT+8, 2026-4-14 22:54 , Processed in 0.438455 second(s), 55 queries .

回顶部