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牛顿法求多元函数的极值

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发表于 2024-9-25 16:39 |只看该作者 |倒序浏览
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牛顿法是一种用于寻找多元函数极值的有效优化方法。它通过利用二阶泰勒展开来迭代逼近函数的极值点。以下是使用牛顿法求多元函数极值的步骤及示例。, b, `7 g, h; w0 `8 F' b
( p- ~  c9 m' u- i
### 步骤
0 T$ B$ r, w' ~  H  P9 U2 G& J# a1 ?% [( l: d& O8 x% L* g
1. **定义目标函数**:
+ v* {4 R+ W5 I   设目标函数为 \( f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \),其梯度和哈essian矩阵定义为:
, U; b0 Z3 x5 P$ z
+ m: n: m6 b1 Y. g% ~   - 梯度:\(\nabla f(x)\) 是一个 \(n\) 维列向量,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的一阶偏导数。
; z4 p' N) S: M/ U# ~   - 哈essian矩阵:\(H(x)\) 是一个 \(n \times n\) 的对称矩阵,表示函数 \(f\) 在点 \(x\) 的二阶偏导数。
! T8 P0 f! u7 @0 b
% s1 z- B0 W  T0 B$ _2. **初始化**:4 S0 [  r( }' Q) O5 l( G
   选择一个初始点 \(x_0\)。
# V, z8 V5 E0 C3 d" z
0 [; H2 B& i/ c0 d0 N( b  L3. **迭代过程**:1 \4 p0 N/ y/ y0 u6 x1 o4 B/ N
   对于每一步 \(k\):  ~2 p' k0 c7 H) S( J# ^
   - 计算当前位置的梯度和哈essian矩阵:. j4 H( |( o; d; E
     \[7 [$ H( U8 S# _; s- d: Y+ H" h$ O
     g_k = \nabla f(x_k), \quad H_k = H(x_k)' z: }0 ^- x4 e8 G6 B
     \]
0 a* L$ F2 }8 t/ J" Y8 i9 D. C   - 解线性方程以更新位置:' @& j: z! [( V! d9 f9 f( k
     \[
! B0 L6 B' c8 ]3 p( b     d_k = -H_k^{-1} g_k" m9 M) H) r; W0 G; q: O% [" X) @
     \]
/ M, f; K5 W& H& s5 r7 H# C   - 更新位置:! V' P6 |) t7 u2 l" M8 p. v
     \[
% \. b8 t; a5 Z) E* ^% d8 N2 Q     x_{k+1} = x_k + \alpha_k d_k
& y! a" X  B7 W5 ^: v$ c     \]
% {2 \% n2 v& H& R: F# \- H     其中 \(\alpha_k\) 是步长,可以使用线搜索方法来确定。+ f6 K) G% _) ]$ P+ P* Y9 B8 s
8 M" }8 a1 y: a8 C+ ]( K) y
4. **收敛判定**:
, l7 l. _  h+ z! {/ l' |9 W2 ]& a   - 检查梯度的模长是否足够小(例如 \(\|g_k\| < \epsilon\),其中 \(\epsilon\) 是预设的阈值),或者检查相邻两个点之间的距离。
, d# h9 x2 ?. L* w# j6 W7 v
! ~2 ~/ m' n. B5 f% n  x+ r6 W: v5. **结束**:! B1 I& o4 `4 k* A7 t* i$ Q
   - 当满足收敛条件时,结束迭代,返回当前点 \(x_k\) 作为极值点。( p" [# N/ A+ z# P8 f6 _1 P- N

" M3 J6 r% ]" z### 示例! N/ C: b" F$ Y1 O
& G( ~& s* T, w* S2 a$ \  W, K
考虑函数 \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4x - 6y \)。, H+ t$ p; a. }; x; ^9 d- H- P
; J* I7 F7 ^, L5 `% G- F) j9 _0 W6 ~
#### 1. 计算梯度和哈essian矩阵% z- o. P# m' e- x2 V+ t' K* C1 L$ U

; }5 Z# P+ j( X, ~% E- 梯度:
+ ]% S6 W. B9 g- q" i- ?: r: N& H  \[. S( H8 F9 n2 G; t
  \nabla f(x, y) = \begin{bmatrix}4 @( Y7 B' a9 M+ a- C1 w+ v
  \frac{\partial f}{\partial x} \\6 u. A- n1 W# n- B5 b# r! R3 |! i
  \frac{\partial f}{\partial y}" a) E6 S5 {3 {" O) I3 e
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 y; u' f4 D& e; V# T1 I! u  g6 S" i
  2x - 4 \\
; \$ I- r' e5 L  2y - 6$ A7 b' [7 u/ Q. v! _8 |  c- y& h
  \end{bmatrix}
& P4 C% |! ?- O- k  \]
/ R+ t; Y; N( S0 r* E
- o/ A# d8 f! |) z- 哈essian矩阵:1 M, a( q3 Z2 H9 e$ g1 I
  \[0 m. @! ^2 Q+ m" j1 I* h: U
  H(x, y) = \begin{bmatrix}
" {4 q* W6 U) ]3 X  \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\7 o+ c( t3 |- e7 o" b
  \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
; I+ |1 J. O7 @) m  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
) T. K- H% g  I3 ^  g( R6 z5 j/ n  2 & 0 \\
, H  z$ z6 h/ x  0 & 2
! d: y1 w0 ~8 L3 u) p9 p  \end{bmatrix}2 C! S9 u" Z  i5 h) a# |+ m' W/ Q
  \], l* N" P7 ]1 j& r8 Z4 ^0 t2 K( q' x

6 m% u8 L# C9 `* M9 l8 Q#### 2. 初始化
& j% Z' m* ^! r3 g$ |' o# Y3 F2 g- H
选择初始点 \( x_0 = (0, 0) \)。
. ?/ P5 E2 E2 `0 N1 w9 ~2 H2 g
' s; B. V% t# F8 W3 Z7 I8 C0 d6 j#### 3. 迭代过程4 u6 b5 L; e5 k

  C5 L& W& L' s" y7 {( I- 计算梯度:
/ H$ Y; i- X, }3 `  c  \[, @) `# E9 a% h9 b0 c, X$ C+ A
  g_0 = \nabla f(0, 0) = \begin{bmatrix}
) v# }: Z. \0 i2 h5 Y  -4 \\
. V  d  v$ I- Z& `0 a2 N! d; y+ K  -6) X; L: \- k5 z
  \end{bmatrix}
4 N& s2 j" c) ]+ K& f% [  \]& B& H- d0 y2 f5 {

+ B5 Q) Z; @( U2 F% V- 计算哈essian矩阵(在初始点不变):# D5 v5 M3 ~# i; f/ g; C* f
  \[
5 V0 P9 X" g- p( z! j2 W" V  H_0 = \begin{bmatrix}
0 A# O$ T8 x- g  2 & 0 \\
% [* {9 V  g$ U( G0 `8 l  0 & 2
' O, |2 l) I2 A) G% b  \end{bmatrix}
: L+ C6 |  M, U: d3 z: v  \]: C! l  w7 ~) r3 E
3 ^; w( ?2 h2 |& p' C1 j' Q
- 计算搜索方向:
; ~8 e0 w4 A& M# }  J  \[- x9 ^* G$ \8 w
  d_0 = -H_0^{-1} g_0 = -\begin{bmatrix}
% p% V4 H/ h4 s& S" M! R  0.5 & 0 \\
) L* p& k  |- d5 U  0 & 0.5
: W. v: C* v/ a4 X9 i1 o# W  \end{bmatrix} \begin{bmatrix}% D% |& ~  I9 n. q1 x
  -4 \\
2 Q) W5 K& O+ L4 o/ F  -6' f) Y6 A' L( M1 Z
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
) `/ u' b" d' @  2 \\
0 k& |9 o. Y- u, d( b  33 e5 b* C" T3 J+ S3 c6 c( y
  \end{bmatrix}0 T8 k7 K) S; U- h
  \]$ d& `) n& c; U7 Y- b& }( i: I& m

$ w% J2 w' W' i! K! T- 更新位置:
- k; W0 [6 h# ^+ h  \[
& Q% y. S9 e+ b5 v  `  x_1 = x_0 + d_0 = \begin{bmatrix}8 B" I( R' F/ l
  0 \\8 R; M" h1 ^5 S4 o5 [$ h
  0
0 O: S) A  e+ \) z; x  \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}2 z9 p1 q" }3 e( o, w
  2 \\( X  ~# d+ b0 S  F$ C8 p7 Z7 u
  3$ C* a, \2 T- M# x6 G& J( x
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}* P3 C7 @2 H$ S9 n3 D' \; R* _( V
  2 \\
. ]; @( b! g1 l# |0 g4 [3 d0 @$ B  3
/ P" F" |: K' X- w3 h- B6 `  f  \end{bmatrix}
4 z5 S! f% e0 j+ l  \]/ P2 Y, R) H+ \. i$ u
6 ~- X! C  f4 c. [# I/ a
- 重复上述步骤直到收敛。
' V% T$ ~# t/ v8 w* {+ x8 N6 x
#### 4. 收敛判定
! T( s4 @8 c2 H0 d3 q. F/ |: M
4 q$ o  n% k: P+ N+ N在后续的迭代中继续计算梯度和哈essian并更新,直至梯度的模长小于某一阈值。
6 R& T: h+ t$ j' q1 x7 `! t
0 r9 D  r8 ]5 g/ o* G7 B8 Y$ N### 总结0 d% x# Q# r: v" t# W+ `2 [" r4 ~0 [
( @. Z& e" H. E9 k; O5 r- _
牛顿法通过利用梯度和哈essian矩阵提供了快速的收敛性,尤其在接近最优点时表现优越。然而,它对初始值的选择和哈essian的可逆性有一定要求。在问题规模较大或哈essian不可逆时,可能需要使用拟牛顿法或其他优化技术。
. T$ Y, q) V4 n2 L: {; w
3 [2 V3 Z+ z" D' L8 }! M$ q
, {1 f" E7 B* T, @- Q
9 T* E) {$ g! ^% B

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