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灰色预测模型Python代码

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发表于 2024-12-21 16:49 |只看该作者 |倒序浏览
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[color=rgba(6, 8, 31, 0.88)]实现了一个灰色预测模型(GM(1,1)),用于对历史数据进行预测。灰色系统理论是处理不确定性和小样本数据的一种方法,GM(1,1)模型是最常用的灰色预测模型之一。
, H# b7 u: l/ q7 r& e0 p上面的代码实现了一个灰色预测模型(GM(1,1)),它基于灰色系统理论,主要用于处理小样本和不完全信息的问题。以下是代码中涉及的主要数学原理的详细解释:% H) T1 {& v& E5 ?- ~
# x2 u  u/ }7 O
### 1. 灰色系统理论
: E- d8 r) T6 {
" x5 z( K& S, r- **灰色系统**:灰色系统是由邓小平于1980年代提出的,目的是为了处理信息不完全的系统。与传统方法不同,灰色系统基于已经存在的信息和系统的动态,结合不完全的信息进行预测和决策。9 n) ~  ~2 G+ E; p* w

9 ?& J, C  Y# b. t4 t. d### 2. 灰色预测模型 GM(1,1)
1 s' o7 c1 w" C/ L( k& ~
8 i; V4 @( a5 K) U: CGM(1,1)模型是最简单的灰色模型,表示“灰色”与“预测”的结合,具体表示如下:
6 ?$ Q4 M- ]; I, ]1 X- **GM(1,1)**中的“1”指的是模型中考虑的变量个数(自变量和因变量各1个),而另一个“1”则表示其是一个微分方程。
' _2 n* l2 V8 _9 @. z1 u3 Y5 g* ~6 [- y, W) @2 F$ w% B, n; f
#### 数学模型
; w+ I8 h- u, S, Q/ ?6 n! K
% F: b. a" `7 C" |5 e3 A. G3 l将需要预测的变量表示为 \(X(0) = [x_0(0), x_1(0), \ldots, x_{n-1}(0)]\),然后构造其累加生成序列 \(X(1)\):' K+ `' I; A6 {2 u  x; W
/ X8 [. ^/ n8 X# T
\[
2 Q# g( W) s. j4 p% I7 V: _, dX(1) = [x_0(0), x_0(0) + x_1(0), \ldots, \sum_{j=0}^{n-1} x_j(0)]; a; u+ _5 X% _6 Z- f
\]
; i' v1 N; f9 a4 j& l0 k' t# ?7 k' i5 j  k: i( {
### 3. 公式推导
: Z4 N- R  L9 \  \2 f
. e( `! c; W3 w! ]#### 3.1 数据矩阵与目标向量: L  o- u/ v/ }& _, M% E

8 @) N' [8 ]1 x& p* h7 I. a) B; j: F在代码中构建了数据矩阵 \(B\) 和目标向量 \(Y\):
& n) f+ |8 j  G5 U6 T2 s9 u  M
" f0 Z1 u/ @& Z! c5 {& M8 u\[% l/ ^2 `0 f+ I* A) u7 r2 x  M* j1 G6 e: J
B = \begin{bmatrix}3 z" A$ F% H) f5 @
-0.5(X(1)[0] + X(1)[1]) & 1 \\
# ?1 m7 z* j1 ?. `# p$ O6 }5 ]-0.5(X(1)[1] + X(1)[2]) & 1 \\
! ]  B: J+ I! O6 _0 O% U. F\vdots & \vdots \\
1 I5 Y# h' Y6 X3 Z3 n* E-0.5(X(1)[n-2] + X(1)[n-1]) & 1: S! B. j4 b5 w7 x! _2 d0 F
\end{bmatrix}0 r5 g+ p% B, w$ C" P) b# h
\]
. s4 n: I! @/ l3 v+ m' |\[2 O8 k( s) V$ x9 d% R- Z# h
Y = \begin{bmatrix}
! J4 z- F) V- {) \) {x_1(0) \\2 N! {0 S& K- |- P" X- ?4 D# f
x_2(0) \\
; N  q; D0 b7 W$ P* {6 X\vdots \\9 w  V3 b+ Q8 M) f6 r
x_{n-1}(0)
  w8 O( B) T7 X- P* ~% |\end{bmatrix}
7 ~5 g0 S0 V1 P  Z+ j\]
7 v  `# D0 Q$ ]% t8 x- |
9 [/ ^1 Y$ h4 A0 B: I& Q- **参数识别**:
, _; G/ l5 N1 O1 f. ~将微分方程形式 \(-\frac{dx(t)}{dt} - ax(t) = u\) 转换为矩阵形式进行求解。
9 x5 H) Y% O. i3 |% b4 H% z
( G2 r. [% E/ U2 h5 N1 T" @#### 3.2 最小二乘法7 e5 \. ~: t! X/ I0 z& X2 s
& g# G( ^6 H3 ^( S% h
通过最小二乘法求解参数:
! N! h$ A* [! d) E* _5 Q; F
; D$ w6 `( |0 i2 t1 u1 v. l: @\[
, W3 k0 I* Z8 ^: }& m* W$ xA = (B^TB)^{-1}B^TY
+ e+ t' f9 Q, \4 v1 b. K( B\]# L* g" m5 r2 Z5 I. K* V
& D8 x4 `: P& ~: y* k! a) ?
- 这里 \(A\) 包含了两个参数 \(a\) 和 \(u\),即:6 m6 ~$ y; ^7 ^) r, Q6 e
  - \(a\):表示数据的增长率- C( g4 t( Y( {( L9 U/ }: }7 e
  - \(u\):表示系统的外部干扰
2 }, v; J' |0 a( a3 g* Z/ h( E1 s+ w2 }! D
### 4. 灰色预测
5 ?, U+ e2 T6 x$ g. E% f/ Q" D/ A4 g0 H9 S5 Z0 Q
通过得到的参数 \(a\) 和 \(u\),利用以下公式更新预测值:7 R9 c) A/ F' @$ {
7 x8 D* \+ ^" ^# d  a4 Z5 _, q
\[7 C0 |& ^) p, W6 k2 g! x
x_{k+1}(1) = (x_0(0) - \frac{u}{a}) \cdot (1 - e^{-a(k)}) + \frac{u}{a}  c7 K" J8 J, K# H$ ~
\]
3 m9 T6 p9 K5 K2 v  b4 h5 h- q
4 |6 U3 q7 C$ }9 ]& O; I- 这里的预测值能够捕捉到数据的趋势,并在此基础上进行外推。
5 u& l1 R# ]& F" S; w. W. o% I* U( k5 f& J
### 5. 模型精度检验
0 o/ r6 j0 a& ?8 Y5 k) j
  ]. q/ o! A) h: b- **后验差比值 \(C\)**:4 `* G" C0 D& D$ H, p  U% e8 G
  \[- s+ D8 @6 ^/ |( B1 M! k
  C = \frac{S_Y^2}{S_X^2}0 m1 C8 q' u7 u9 o+ r
  \]
# ?2 c$ `+ H6 d) Q3 V/ @9 Y  a1 j  其中:
' Y: k3 m/ H$ m5 B+ X6 S+ O  - \(S_Y^2\):残差方差
  V" E- }$ o/ A  - \(S_X^2\):历史数据方差
+ X- X0 U/ S" \
1 c/ {% s$ a7 Y- **小误差概率 \(P\)**:通过检查绝对误差落在合理范围内的比例来评估模型的精度。若概率 \(P\) 大于 0.95,则认为预测效果良好。
( Z) t( y  I5 V
) p4 ?0 u; k: ~2 \( E7 \) O
9 t/ @" R: h! B7 _$ y% S; }. H/ H6 p0 z
! {8 X, S; ?) T/ E( D: L1 Z
) k  t: {! O3 q$ s  z

灰色预测模型Python代码.txt

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