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一道较难的函数题 急!

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发表于 2009-5-17 10:54 |只看该作者 |倒序浏览
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题目:已知实数a,b,c满足条件a/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0,其中m是正数,对于
5 m3 l, A, U( p: s$ j# o: ?f(x)=ax^2+bx+c(a不等于0),求证:
8 A" Q) \! d+ J(1)af[m/(m+1)]<0
- i1 F/ J, p; O9 A(2)方程f(x)=0在(0,1)内有解.
zan
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证明:(1)af[m/(m+1)]=a*[a*m^2/(m+1)^2+b*m/(m+1)+c];
2 i4 L6 I- A& X3 w. C7 t          有已知条件可得-a/(m+2)=b/(m+1)+c/m;1 g/ ~1 u$ E' w9 m7 u+ T. o% I
       代入得a^2*[m^2/(m+1)^2-1/(m+2)];3 {0 R1 ]1 b1 A, \% X# A/ A! p
           通分化简可的结果,相信你也会。7 P1 `4 G# o7 \# i
      (2)af(0)=a*c;: j0 W3 i/ j- y! X, V# u
                 af(1)=a^2+a*b+a*c;
( x* ?) v1 Q: _$ T- E                  讨论:
+ G% E- A6 ^- I/ |: f; v8 G          1)如果ac=0,则c=0;; N9 z5 u' ~; M9 G6 N% ]) F% s2 C
                  af(1)=a^2*(1+b/a);' g# x6 F3 a" d9 X$ b
                   已知条件可化为1/(m+2)+b/a*1/(m+1)=0;1 w4 e6 X7 N% G  {3 M
                   可得0>b/a>-1;
9 O* I0 ~! r; n4 A4 f8 r9 A                    代入得af(1)>0;
  X( z7 d9 E$ W                    结合(1)的结果可得方程f(x)=0在(0,1)内必有一零点;
. ^# L7 W: v! R# w% e$ `         2)ac>0,自然得证;
: l$ i. X4 \+ D+ `         3)ac<0.
& q: g; O% G6 S% O( s" l  ]3 e                  a^2/(m+1)+a*b/(m+1)+a*c/m>0;
) z- J" \  [( c6 ^6 J                 得a^2+a*b>0;" O% h0 A/ {# ?! c2 p5 D
                 则(a^2+a*b+a*c)/m>0;
$ u+ n$ u' ]" s/ J. }  V                   因为m>0;5 _; N$ S# J' \/ |) h  G* ~
                 a*f(1)>0;( i) X" F% \  @+ }- {0 H# y2 r8 K1 s' [
                 得证。2 H5 |) B2 X9 `$ ^
             如有其他方法请提出宝贵意见,比邻赐教!!!!
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这个题挺有意思的。 : ^/ i' g3 q0 ]0 {
第一问:
- A2 e, B( F" |) [% b. M1 Ba/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0 % F) E+ J4 q: \. S( F- H' G4 Z
此式两边同乘以m
" J$ l' u, S6 M& D得到am/(m+2)+bm/(m+1)+c=0 : H- o( K  O2 k$ _/ Z6 F6 R8 @; k" ]
∴bm/(m+1)+c=-am/(m+2)
' d4 R2 m4 ]: q0 iaf[m/(m+1)]
# b0 n% C$ e& ?=a{am^2/(m+1)^2+[bm/(m+1)+c]} / I; q( B% c8 C* r& Z( d" @
=a[am^2/(m+1)^2-am/(m+2)]
8 c8 K6 z% U* a0 O8 e4 D=(a^2)(m^2)[1/(m+1)^2-1/m(m+2)] 6 \4 G# h( E- H9 s+ @5 {3 h
∵(m+1)^2-m(m+2)=m^2+2m+1-m^2-2m=1>0
/ V+ O8 C7 J# l. k∴1/(m+1)^2-1/m(m+2)<0
& y3 M4 S5 s6 E而(a^2)(m^2)>0
3 C  q7 U" ?3 d3 s∴af[m/(m+1)]<0 ( a* A( k! E+ H$ v" l% s% C9 b
" f* ]1 S/ p  o" K& e3 k
第二问:
' P6 \# a9 M: e9 }  E5 Ma/(m+2)+b/(m+1)+c/m=0
( y; m1 V7 \0 Q2 N两边同时乘以(m+1): + Y# [. V( |( P3 t  x+ v
a(m+1)/(m+2)+b+c(m+1)/m=0
" g5 b6 Q* s  t. a9 Q! ob=-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m % I; N0 A1 `$ g- ~6 P5 g
af(0)=ac
$ D, q/ ~! i& {. \! R8 `7 @# Paf(1)=a(a+b+c)=a[a+c-a(m+1)/(m+2)-c(m+1)/m]=a^2/(m+2)-ac/m 8 x2 R5 u7 F6 |9 F9 {! I1 \$ B
此时要利用第一问的结论:af[m/(m+1)]<0……①
4 f- D' m& ]3 t3 Q7 D  Q如果ac>0,即af(0)>0,与①式相乘   W: G# V2 e3 ?
得:[af(0)]{af[m/(m+1)]}=(a^2)f(0)f[m/(m+1)]<0   z+ ?+ t( ^1 B/ ~; J
∴f(0)f[m/(m+1)]<0 - |$ m0 X$ {* F6 B" F9 [; r
∴方程f(x)=0在(0,m/(m+1))内有一解 ' F5 B! p! ?+ X9 ~9 _* b* g
如果ac<=0,那么-ac>=0
4 N! L' P- A9 l% B∴a^2/(m+2)-ac/m>0,即af(1)>0,与①式相乘 " F! ?# i* @9 x1 X$ V5 |
得:=(a^2)f(1)f[m/(m+1)]<0
  C( Q* m- e4 q$ K* Q; f5 W∴f(1)f[m/(m+1)]<0
( T# x8 I4 y8 x/ ~% H3 Q* H: ?∴方程f(x)=0在(m/(m+1),1)内有一解 ) i6 Q7 e0 k2 s. }
∵(0,m/(m+1))和(m/(m+1),1)都是区间(0,1)的一部分 5 I! v# c/ l8 ^. B% g5 Z2 Q
∴综上,方程f(x)=0在(0,1)内有解.
( y/ a5 n0 z- u2 w; `4 n8 e8 ~结论得证!
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xiang1990        

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