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SARS传播状态预测的优化模型

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发表于 2009-7-13 13:36 |只看该作者 |倒序浏览

SARS传播状态预测的优化模型

摘要

2003年春天，SARS这一突发疫情袭击了世界上20多个国家和地区，我国首当其冲，及时地预测和预防这一突发传染病对于人类社会的发展有着极其重要的意义。本文就是针对SARS的传播以及对经济的影响分别建立了准确，可靠的数学模型。

对于第一个问题，附件1中提出的早期模型没有给出一个计算K值的有效公式或算法，传染期限L的确定也缺乏医学上的支持，使模型的说服力降低。模型中借鉴广东香港的参数来预测北京的疫情走势，因在不同地区因政策，地域的不同，病毒的传播和控制呈现不同的特点，使不同城市之间的可比性降低。用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。因此，此模型的实用性和通用性不强。
对于第二个问题，从一个微分方程模型出发，建立了SARS传播的微分方程模型，得到了病人数在总人数中的比例i(t)与健康人数在总人数中的比例s(t)的函数关系： .并通过数值模拟的计算方法，计算得出了日感染率K，日死亡率d，日治愈率z的值以及病人数在总人数中的比例i(t)的函数式, 通过MATLAB软件处理数据给出了i(t)随时间变化的趋势图。由图可知，当t=40即6月1日左右病人数降为0,也就是说病情得到良好的控制。对于这个模型的改进，提出了基于随时间变化的日感染率K(t)，日死亡率d(t)和日治愈率z(t)分段函数微分方程模型，以便更加准确，可靠的预测SARS传染病的发展变化情况。
对于第三个问题，研究SARS 对入境旅游人数的影响，我们采用平均数趋势整理法由以往的历史数据预测2003年正常情况下接待海外旅游人数，再与实际的数据进行比较分析，估算出SARS对北京2003年各月份旅游人数的影响。
对于第四个问题，我们着重考虑到了传染病对于人类的重大危害以及建立数学模型进行传染病预测的合理性与急迫性，论述了建立传染病数学模型的重要性。

关键词：SARS 数学模型微分方程曲线拟合相轨线

一、问题的重述

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：SARS型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：
(1) 对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。
(2) 建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。
(3) 收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。
(4) 给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

二、问题的分析

当今世界，医学科学地发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，但是对于一些新出现的传染病的研究，由于人们不可能通过去做传染病传播的试验以获取数据，所有有关传染病的数据，资料只能从医疗卫生部门已有的传染病报告中获取。但是由于由于传染病的突发性和危害性以及传播初期未能及时地引起政府部门的重视，医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的，难以根据这些数据来准确的确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因，依据医学机理分析的方法建立数学模型以及借助于计算机仿真便成为研究传染病流行有效途径之一。
对于一个传染病的模型，评价其优劣，首先应该着重考察该模型是否与真实的传染病传染机理相吻合，即模型是否具有合理性，能否正确描述出该传染病的感染方式和退出感染域的方式，这是模型的基础。其次，对于本题目，要求所建立的模型在数值预测上的效用，即从实用性的角度考察模型：是否能正确可靠的预测传染病的蔓延；是否能基于传染病初期的数据而对后期的蔓延趋势做出预测；是否能简易的得到预测值。我们基于此种评价准则，对附件一所提出的模型做出评价。基于这种评价的标准，我们认为对于建立非典传染数学模型，需要分析非典作为一种特殊的传染病的特征（特别是政府的防治措施对于传染过程的影响），以此为基础建立符合非典感染特征数学模型，以区别于传统的传染病模型。再者，我们以模型的实用性作为优化目标，使得模型能很好地预测疾病蔓延趋势，对实际的政府措施的采取有指导的作用。
研究非典疫情对于全国经济的影响，把全国经济部门依据非典疫情对其性态（即促进、抑制及其程度）上的影响进行分类，量化研究其中一类重点受影响部门（旅游业），建立模型，对其余类别定性分析，进而得出非典疫情对全国经济总体上的影响。

三、对附件1模型的评价

附件一的模型是通过考虑平均每个病人可传染的人数K人和平均每个病人可以直接感染他人的时间L天, 这两个影响传播的因素来考虑建立模型的。它是基于传统的指数增长模型，同时又引进传染期L改进而得到的模型。基本的计算原理是通过数据拟合求出参数K，再使用半模拟循环计算的方法计算出患病者人数。在预测北京非典疫情时，首先使用上述的方法拟合出北京非典高峰期前的k 值，进而通过香港和广东的数据拟合的非典高峰期后的k 值结合定性分析，定出北京非典高峰期后的k 值的范围，作为对北京疫情的预测。

模型优点：

1.该模型对北京地区中期的计算值与实际值基本吻合，说明该模型在短期内有一定的实用性,在短期预测方面简单，而且能较为准确的反映一定的疫情变化趋势。

2.对K的分段处理，反映了传染病的许多特性，同时也反应了社会的警觉程度、政府和公众采取的措施反过来也会影响K值。

3.通过拟合的函数给出了非典疫情发展的大体趋势，使得决策部门对于病情的蔓延情况有着整体性的把握，可以基于模型的预测进行必要的及时的决策，采取防治措施。

4.通过对香港和广东两个地区的数据的分析给出两种极端情况。即迅猛发展型和无激烈峰值型。通过定性分析，把北京的疫情情况被限制在这两种情况之间，可得出北京高峰和结束的时间范围和患者累计总数的范围。

模型缺点：

1.由于该模型中, 只是通过用平均每个病人可传染的人数K来比较、分析疫情的发展, 因此准确性不高,且没有给出一个计算K值的有效公式或算法, 仅提到用数据拟合的方法得到, 所以要计算得到某地区某个时刻的的值是相当困难的。

2.模型中把L定为定值，这也是与实际的传染病的情况有差别的。

3.模型中忽略了被认为是疑似而被隔离中实际的患者的人数和因为接触患

者而被隔离中实际也是患者的人数的计算，事实上，上述人群已经退出传染领域。

4.该模型也没有给出平均每个病人可以直接感染他人的时间L天的计算方法, 以及在模型中的具体表示和应用，因此该模型的实用性不强。

5.用该模型对北京地区的后期疫情预测与后来的实际情况却有一定差距，同时该模型中K值是从香港和广州两地实际情况统计处理得来，而实际上，各地区

社会客观因素包括气候因素，社会的医疗条件，人口的密集度、政府政策以及人们生活习惯各有所不同，因此用一个地区所获得的参数去预测另一地区，其结果只具有参考性，而不具备很强的可靠性。所以该模型的通用性有一定局限。

四、模型的假设

(1).假设在疾病传播期间该地区总人数N不变，即为常量。
(2).据该地区人口所处的健康状态，将人群分为三类：健康者（易受感染者类）,病人（已感染者类），退出者（被治愈者、免疫者和死亡者），三者在总人数中的比例系数分别为s(t),i(t),r(t),且s(t)+i(t)+r(t)=1.
(3).SARS传播途径都视为与病源的直接接触,每个病人与健康者接触时, 都使健康者感染变成病人。
(4).由于的传播时间不是很长（从香港来看仅经过110天就基本结束）,估假设不考虑SARS传播期内的该地区的人口出生率和自然死亡率。对于由SARS引起的死亡人数全部归为“ 退出者”,治愈者不会再次被感染, 也归为“退出者”。
(5).医学研究证明：SARS潜伏期的传染性是相对于整个病的过程来说是最弱的。故假设感染者感染他人的概率为0，另外潜伏期内症状也没表现出来，所以可以不考虑潜伏期。
(6)．在病毒传播期间，国家采取了严厉强硬的措施，人口基本上不流动，阻断了病源的输入与输出。
(7).假设被隔离的人与外界断绝了联系，不具有传染别人的能力，已被隔离的人群之间不会发生交叉感染。
(8).假设每个病人每日感染健康人的平均人数为日感染率, 记为K；每日死亡的病人数占病人总数的比例为日死亡率, 记为d；每日被治愈的病人数占病人总数的比例为日治愈率,记为z. 分别为病人数、健康人数的比例初始值。

五、符号说明

N：该地区总人数
K: 日感染率
d: 日死亡率
z: 日治愈率
s(t): 易感染者类人数占该地区总人数的比例
i(t):已感染者类人数占该地区总人数的比例
r(t)：退出者类人数占该地区总人数的比例
：病人数人数的比例初始值
：健康人人数的比例初始值

六、模型的分析与建立

SARS是一种传染病, 主要通过近距离飞沫传播。所以SARS传播病模型的建立,可以参考已有的传染病模型。然而，要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型很困难。首先，像这种突发性的、传染性极强的传染病,影响其传播快慢的因素有很多,而且要把这些因素一一量化很难。其次，在我们的模型中,做了一些简化的假设和近似,从而对病情的预测会产生偏差,在实际应用中难于实现。
根据临床医学表明，治愈后的病人不再被传染, 可认为具有免疫力,从而退出疾病的传播系统。因此，可以考虑传统的SIR传染病模型,为了简化模型，可以认为k,d,z为常数。
SIR模型的方程组为：
(1)

七、模型的求解

（1）模型的解
对于方程组(1)，我们无法求出s(t)和i(t)的解析解，通过从方程组（1）中的第二个式子除以第一式,可以将模型简化为:
(2)

其解为 (3)
其中s(t)≥0, i(t)≥0 , s(t)+i(t)≤1,t≥0.
根据(1)式和(3)式,当t→∞时，s(t),i(t)和r(t)的变化情况如下：
①当t→∞时，已被感染的病人最终会被治愈或是死亡，即 .
②在(3)式中，当t→∞时，由于，可知是方程在内的单根，由图１可知是相轨线与三轴在内交点的横坐标。
③当，则i(t)先增加，当时，i(t)达到最大值为：
，且i(t)减小并并趋于０，s(t)则单调减小至（如图１）。
④ 时，则i(t)单调减小至，因而可以看出，当时，SARS的传染性比较大。

图１

（2）模型的数值模拟解
由于对上面的（3）式的分析过程不太直观,而且只得到了i（t）关于s(t)的函数。s(t)和r(t)表达式很难求得。下面我们考虑初始值为4月25日的疫情数据，这是由于20日-25日的数据变化较大,统计误差较大。假定北京的人口总数为N=10000000，，。通过MATLAB软件处理附件2中给出的已确诊病例累计数、现有疑似病例数、死亡累计数和治愈出院累计数的具体数据，可得到日感染率K=0.03908794，日死亡率d=0.00244305,日治愈率z=0.05507568.
于是i(t)=0.999988-s(t)+1.47152114ln[1.00000187s(t)] (4)
我们再根据北京的人口总数N与已确诊病例累计数差得到健康人数, 由此得到一组健康人数与总人数的比例值。运用MTALAB曲线拟合工具箱中6次多项式拟合此组数据，得：
(5)
其随时间变化的趋势图（如图2）。将(5)代人（4）就得i(t)关于时间t的函数。从而可得i(t)随时间的变化趋势图(如图3)

由图3可知道随着时间的变化, 病人数在总人数的比例i(t)越来越降低, 并最终在t=40即6月1日左右病人数降为0,也就是说病情得到良好控制。从图中我们还看到病人数占总人数的比例值始终都是降低的, 这与实际的情况有些不符, 主要是由于拟合时是通过高次多项式拟合的结果, 所以有一定的偏差。
（3）对卫生部门措施的评估

将附件2中的数据拟合得下图:

从图中可以明显看出,采取措施后,病情得到了明显的控制.据美国《科学》杂志及其网站上发表了两篇有关SARS的流行病学论文及一篇长篇评论，研究确定SARS病患的基本传播率（即文中的有效接触率）为3。控后的有效接触率实际上受多种因素综合影响。比如人们不愿外出，减少了与病源的接触机会，更注意卫生等，这些因素均使有效接触率明显降低。英国和香港的一个研究小组的研究表明，传染率（即本文的有效接触率）控后仍有较长一段时间在1左右徘徊。为简化模型，我们取k1=1。从而可以得出提前5天采取措施会使病情提前得到控制,提早进入零增长阶段,并使患者人逐渐小。

八、模型的推广和改进

本文通过从一个经典的微分方程模型入手,建立了针对SAES特点的微分方程数学模型,并通过对给定的数据的处理,得到了传播的日感染率K、日死亡率d和日治愈率z的值,它们是不同时刻,日感染率、日死亡率和日治愈率的平均值, 当所给的数据间有很大的摆动时,就会使模型的结果产生较大的误差以至得到的数据不准确。通过对不同时刻日感染率, 日死亡率和日治愈率进行曲线拟合, 得到三个关于时间的函数k(t),d(t)和z(t),这样就可以随时间适当的调整k,d ,z 的值。使得模型的结论更好的预测传播高峰期的到来。同时也可以注意在模型中加入平均每个病人可以直接感染他人的时间L这个参数,因为SARS病的有效控制, 在很大程度上是由于传染病人在发病后不久就得到了有效的控制和隔离。因此L的值在建立SARS数学模型中非常重要。所以本模型可以在这些方面进行改进。

九、SARS对北京旅游人数影响的经济模型