序理想

lilianjie1

序理论中理想的最一般的定义如下：

0 ]! h  m- x( w* w( I- q; V偏序集合(P,≤)的非空子集 I 称为一个理想，若 I 满足:
6 W- R6 o! B' [, J
I是下闭的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
/ z$ i, \/ I( z8 h+ X, q理想最初只在格上定义。与上述定义等价的定义如下： 格(P,≤)的非空子集 I 是理想，当且仅当：

5 H$ G0 Z; \: q8 E* u+ t$ _I是下闭的。
I对于有限并(上确界)运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
# p- _# ~# M+ Z& B
理想的序对偶概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是滤子。
" `4 J+ ~6 b# Y& f* M4 }+ h术语有序理想或有序滤子有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
+ F$ [' P6 J6 T1 p) h: T4 Z2 u+ O真理想：偏序集合(P,≤)的理想 I 被称为真理想，若I ≠ P。
# F7 u; x" M& O- k! u" p包含一个给定元素 p 的最小理想称为主理想，p 被称为该理想的主元素。主元素为 p 的主理想 ↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。
/ I9 V2 _1 [+ [% B4 Z5 F8 K

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滤子的最一般定义是：
3 A2 l+ U5 u' K0 B) M
偏序集合 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，若 F 满足:
: |) ~" ~% C2 A  N
- S" N; A8 y" M6 n0 F, i∀x, y ∈ F，∃z ∈ F，使 z ≤ x 且 z ≤ y。(F 是滤子基)
+ z+ j' H( V& n3 |F 是上闭的：∀x ∈ F，y ∈ P，x ≤ y ⇒ y ∈ F。
滤子最初只是为格定义的。在这种情况下，上述定义可以被特征化为如下等价陈述: 格 (P,≤) 的非空子集 F 是滤子，当且仅当它是闭合在有限的交(下确界)下的上闭集合，就是说，对于所有在 F 中的 x, y，我们找到 x ∧ y 也在 F 中。
# q; _7 i9 k, X8 m* s/ ]. F: J
' ^1 o0 f0 L* d1 U1 V# r$ Q1 O; \
滤子的序对偶（交换≥和≤，∧和∨）概念是理想；
真滤子：偏序集P的滤子F称为真滤子，若I ≠ P。

孤寂冷逍遥