秦九韶

逸兴揽月

秦九韶（1208年－1261年）南宋官员、数学家，与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。字道古，汉族，自称鲁郡（今山东曲阜）人，生于普州安岳（今属四川）。精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学，历任琼州知府、司农丞，后遭贬，卒于梅州任所，著作《数书九章》，其中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是具有世界意义的重要贡献。

6 ~, l) I" Y6 I9 d( ^* j1 n. l1 W/ _4 l8 R生平简介
　　秦九韶其父秦季栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。秦九韶聪敏勤学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行潜心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这不仅在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在，世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成果，比英国数学家取得的成果要早800多年。秦九韶字道古．普州安岳(今四川安岳)人．南宋嘉定元年(1208年)生；约景定二年(1261年)卒于梅州(今广东梅县)．数学。
　　秦九韶祖籍鲁郡(今河南范县)，其父秦季槱，字宏父，绍熙四年(1193)进士，后任巴州(今四川巴中)守．嘉定十二年(1219)三月，兴元(今陕西汉中)军士张福、莫简等发动兵变，入川后攻取利州(今广元)、阆州(今阆中)、果州(今南充)、遂宁(今遂宁)、普州(今安岳)等地．在哗变军队进占巴州时，秦季槱弃城逃走，携全家辗转抵达南宋都城临安(今杭州)．在临安，秦季槱曾任工部郎中和秘书少监等官职．宝庆元年(1225)六月，被任命为潼川知府，返回四川．
$ b4 x0 T; p4 U8 V9 P5 I/ ^4 ?　　秦九韶自幼生活在家乡，18岁时曾“在乡里为义兵首”，后随父亲移居京部．他是一位非常聪明的人，处处留心，好学不倦．其父任职工部郎中和秘书少监期间，正是他努力学习和积累知识的时候．工部郎中掌管营建，而秘书省则掌管图书，其下属机构设有太史局，因此，他有机会阅读大量典籍，并拜访天文历法和建筑等方面的专家，请教天文历法和土木工程问题，甚至可以深入工地，了解施工情况．他又曾向“隐君子”学习数学．他还向著名词人李刘学习骈俪诗词，达到较高水平．通过这一阶段的学习，秦九韶成为一位学识渊博、多才多艺的青年学者，时人说他“性极机巧，星象、音律、算术，以至营造等事，无不精究”，“游戏、毬、马、弓、剑，莫不能知．”
/ e( _0 x  c: S0 Q　　1225年，秦九韶随父亲至潼川，担任过一段时间的县尉．数年后，李刘曾邀请他到南宋国史院校勘书籍文献，但未成行．端平三年(1236)元兵攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动．他后来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，尝险罹忧，荏苒十祀，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活．由于元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任过蕲州(今湖北蕲春)通判及和州(今安徽和县)守，最后定居湖州(今浙江吴兴)．秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利．定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”．据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”． 淳祐四年(1244)八月，秦九韶以通直郎为建康府(今江苏南京)通判，十一月因母丧离任，回湖州守孝．在此期间，他专心致志研究数学，于淳祐七年(1247)九月完成数学名著《数书九章》．由于在天文历法方面的丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数学大略”(即《数书九章》)．
3 z* O; J& O2 E; Q6 @2 L& b% @　　宝祐二年(1254)，秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职．此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝祐六年(1258)任琼州守，但三个月后被免职．同时代的刘克庄说秦九韶“到郡(琼州)仅百日许，郡人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，所携甚富”．看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满．秦九韶从琼州回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密．吴潜曾相继在开庆元年(1259)拟任以司农寺丞，景定元年(1260)拟任以知临江军(今江西清江)，都因遭到激烈反对而作罢．在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩．在南宋统治集团内部的激烈斗争中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连．约在景定二年(1261)，他被贬至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所．
　　秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，达到了当时世界数学的最高水平．
* o9 }3 b) l. k　　安岳修建的秦九韶纪念馆，恢宏壮观，雄伟气派。
6 f  J" ^  k9 v7 d. G5 J& m1 P' z大事记
7 X0 M% b# O5 u8 A　　秦九韶（1208—1268），字道古，四川普州（今安岳）人，
　　嘉定元年（1208）春诞生在普州，
/ T3 w( H8 Q( _$ f1 A0 Z" p9 H　　绍定二年（1229）十月，秦九韶擢郪县县尉，
　　绍定四年（1231）八月，秦九韶参与魏了翁平抑泸州蛮夷，葺其城楼橹雉堞，
　　绍定五年（1232）八月乙丑进士，绍定六年，秦九韶在魏了翁带领吴潜等督视潼川府路、成都府路时认识吴潜，魏了翁和吴潜同秦九韶去拜望病中的许奕。
+ z4 x) b! n: F3 p  l　　端平三年（1236）一月，秦九韶擢升湖北蕲州（今湖北蕲春县）通判，
　　嘉熙元年（1237）年秋，秦九韶知和州（今安徽和县）
" j8 ]9 u1 l" H  W$ ^3 y　　嘉熙二年（1238），秦九韶回临安丁父忧，秦九韶在杭州丁父忧期中，发现西溪两岸的群众过河很不方便，在西溪上设计修建一座桥，名“西溪桥”，数学家朱世杰为纪念秦九韶，将桥命名为“道古桥”。
　　嘉熙三年（1239），秦九韶在杭州处理完父亲的后事之后，便和母亲、妻子回到湖州西门外父亲早年备置的宅第，继续丁父忧。秦九韶在湖州丁父忧期中，与知庆元府（浙江宁波）吴潜交尤稔，着手改建父亲备置的住宅。
　　淳祐三年六月，吴潜回湖州丁母忧，秦九韶与被夺官的吴潜交往更是密切。
1 C  o' V- `0 r# V. f! B' u　　淳祐四年（1244），秦九韶以通直郎出任建康（南京）府通判，十一月，秦九韶丁母忧，解官离任，回湖州为近八旬的母亲守灵，将潜心研究、用于实践中的数学成果，著书《数学大略》。此时，吴潜也在湖州丁母忧，两人交往甚犹。
　　淳祐八年（1248），《数学大略》得荐于朝。
/ r4 z8 E, C; c* u: t# E　　淳祐九年（1249），目录学家陈振孙，在编书目时向秦九韶请教，
: [- v: l$ e4 V# E# t9 B　　淳祐十年年（1250），秦九韶卸任建康通判，出任苏州州守。
　　宝祐二年（1254），九韶出任江宁（江苏南京）府知府、沿江制置司参议官，管理江南十府粮道，宝祐四年去职。
　　宝祐六年（1258），秦九韶由贾似道荐于李曾伯为琼州守，凡数月去之。
　　开庆元年（1259）十月，吴潜第二次入相，秦九韶有江东（江苏南京）议幕之除。又除司农丞前去平江（府治在今苏州市）措置米餫，俱以事罢。
　　景定元年（1260），秦九韶知临江军（江西清江县西临江镇，南宋为临江军，辖清江、新喻、等县）。
　　景定二年（1261）六月，秦九韶广东梅州知军州事。
　　咸淳四年（1268）二月，秦九韶在梅州治政近六年左右，得知朝廷为吴潜追复爵禄，了却心中惦念的沉冤，在梅州辞世，时年六十一岁。
4 b& e) q- O" I9 d; m: ^' N数学贡献
+ Z$ O* N5 F; j( O　　秦九韶的数学成就基本表现在他写的《数书九章》之中。然而，这本书在当时并没有引起大的影响，稍后的杨辉、朱世杰都没有引征过秦九韶的成果。《数书九章》的主要内容偏重于数学的应用方面，全书八十一道题目都是结合当时的实际需要提出的问题。
+ J$ \, k5 N! ~" n, I, S) K划时代巨著
　　秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学名著《数书九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐大典》称作《数书九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问）共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、测候，下至河道

数书九章
、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案；“术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年）是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术（不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”
, Y9 [" u( P4 X4 K' z8 }大衍求一术
　　中国古代求解一类大衍问题的方法。大衍问题源于《孙子算经》中的“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是属于现代数论中求解一次同余式方程组问题。宋代数学家秦九韶在《数书九章》（1247年成书）中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为大衍求一术。九韶的“大衍求一术”，领先卡尔·弗里德里希·高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”。秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无上荣誉，也为世界数学作出了杰出贡献。
任意次方程
　　秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年。秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年英国人霍纳（W·G·Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术，列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法，给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。
! Y1 G! t# A5 S. {: n- U一次方程组解法
+ x: @9 d  q& d6 d% P3 s4 v- E　　此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢


（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。
三斜求积术
3 j5 `# H5 g1 |! p2 J3 w　　秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦（Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。
秦九韶与《数书九章》
　　秦九韶在《数书九章》序言中说，数学“大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。所谓“通神明”，即往来于变化莫测的事物之间，明察其中的奥秘；“顺性命”，即顺应事物本性及其发展规律。在秦九韶看来，数学不仅是解决实际问题的工具，而且应该达到“通神明，顺性

数书九章
% U% H) S9 |; h. o! H" I; f$ n命”的崇高境界。
　　《数书九章》全书共九章九类，十八卷，每类9题共计81个算题。该书著述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，是给出答案；“术曰”，是阐述解题原理与步骤；“草曰”，是给出详细的解题过程。另外，每类下还有颂词，词简意赅，用来记述本类算题主要内容、与国计民生的关系及其解题思路等。
6 l3 f( u$ N8 j; `6 a6 z% e$ ]　　全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类。题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献。《数书九章》在数学内容上颇多创新。中国算筹式记数法及其演算式在此得以完整保存；自然数、分数、小数、负数都有专条论述，还第一次用小数表示无理根的近似值；卷1大衍类中灵活运用最大公约数和最小公倍数，并首创连环求等，借以求几个数的最小公倍数；在《孙子算经》中“物不知数”问题的基础上总结成大衍求一术，使一次同余式组的解法规格化、程序化，比西方高斯创用的同类方法早500多年，被公认为“中国剩余定理”；卷17市物类给出完整的方程术演算实录，书中还继贾宪增乘开方法进而作正负开方术，使之可以对任意次方程的有理根或无理根来求解，比19世纪英国霍纳的同类方法早500多年。此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧洲最早是1559年布丢 （Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。；书中卷5田域类所列三斜求积公式与公元1世纪希腊海伦给出的公式殊途同归,秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算方法，至今仍有意义。；卷7、卷8测望类又使《海岛算经》中的测望之术发扬光大，再添光彩。
　　除此之外,秦九韶还提出了秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法。该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，用于减少CPU运算时间。
. a. F- J+ x5 Y7 c2 {% h　　《数书九章》是对《九章算术》的继承和发展，概括了宋元时期中国传统数学的主要成就，标志着中国古代数学的高峰。当它还是抄本时就先后被收入《永乐大典》和《四库全书》。1842年第一次印刷后即在民间广泛流传。秦九韶所创造的正负开方术和大衍求一术长期以来影响着中国数学的研究方向。焦循、李锐、张敦仁、骆腾凤、时曰醇、黄宗宪等数学家的著述都是在《数书九章》的直接或间接影响下完成的。秦九韶的成就也代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平，在世界数学史上占有崇高的地位
5 h6 X4 C+ K! w/ l3 z( E　　秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
秦九韶算法
　　把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+L+a[1]x+a[0]改写成如下形式：
6 N( N2 e4 u: P! E& A　　f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+L+a[1]x+a[0]
　　=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+L+a[1])x+a[0]
　　=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+L+a[2])x+a[1])x+a[0]
4 J& H# u2 g# @1 [+ R$ g　　=L
7 E" r! p# \# Z2 A" g　　=(L((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+L+a[1])x+a[0].
$ y5 g4 S4 X/ a/ Z3 c% m4 A　　求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即
! ~% D# J4 u. H- c* c- {7 p$ j　　v[1]=a[n]x+a[n-1]
0 H) m6 M, i( J  o8 h. @　　然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即
8 @) e# A* R7 O) w% c8 u' G" I1 v　　v[2]=v[1]x+a[n-2]
　　v[3]=v[2]x+a[n-3]
　　......
　　v[n]=v[n-1]x+a[0]
　　这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值。
　　（注：中括号里的数表示下标）
1 }+ k9 S- F; M; C　　上述方法称为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法
　　该算法看似简单，其最大的意义在于将求n次多项式的值转化为求n个一次多项式的值。在人工计算时，利用秦九韶算法和其中的系数表可以大幅简化运算；对于计算机程序算法而言，加法比乘法的计算效率要高很多，因此该算法仍有极大的意义，用于减少CPU运算时间。
剩余定理
　　民间传说着一则故事——“韩信点兵”。
　　秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本
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中国剩余定理
来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。
　　首先我们先求3、5、7、的最小公倍数105（注：因为3、5、7为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），乘以10,然後再加23，得1073（人）。
　　在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：
" _# d& P/ {% T# u% |　　“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.
) G( W. q* p2 M　　这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.
* B6 \* O" e' |2 q4 m7 d　　① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
　　解：除以3余2的数有：
5 ^6 t& i6 b: R0 l+ \5 Y* C; f　　2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….
7 ?  m! f- f% f) z$ y　　它们除以12的余数是：
　　2，5，8，11，2，5，8，11，….
$ D3 K& g1 j) G: F/ h　　除以4余1的数有：
7 f( \. p% W9 Z- E. B1 |2 h　　1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….
　　它们除以12的余数是：
: |$ ?- f8 ~# E% L" [: X" n$ f　　1， 5， 9， 1， 5， 9，….
　　一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.
　　如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5+12×整数，
　　整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.
　　②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.
& B! e. }) ?2 R8 o　　解：先列出除以3余2的数：
　　2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，
7 Q  A4 R- ?% @  O5 B　　再列出除以5余3的数：
8 R' Z$ g& F) k5 u　　3， 8， 13， 18， 23， 28，….
　　这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…，
　　就得出符合题目条件的最小数是23.
; Y' }* i6 P1 z# k9 x　　事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.
+ [  c; A1 f4 F( _4 a/ W4 B! B* \  }4 E　　那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人
　　中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」
　　答曰：「二十三」
2 i) o& Y, S/ M　　术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」
　　孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
毁誉参半
1 }1 m& |) R* s$ {( g& L　　对于秦九韶究竟是何等样人，除了“伟大的数学家”之外，通常就讳莫如深了。用现代的眼光看，秦九韶可能是中国历史上少见的奇人之一。
　　关于秦九韶究竟是何等样人，其实宋人文献中留下了相当丰富的记载，主要可

四川安岳圆觉洞塑像
3 O- N  j7 |9 p* ]& \. |  F  q见于周密（人名）的《癸辛杂识续集》卷下和著名词人刘克庄文集中的“缴秦九韶知临江军奏状”。秦九韶18岁就统帅私人武装，为人“豪宕不羁”，如果将他和意大利文艺复兴时期的那些风云人物相比，竟有几分相似：他多才多艺，懂得星占、数学、音乐、建筑，还擅长诗文，会骑术、剑术、踢球等等。同时又利欲熏心，骄奢淫逸，热衷于做官，一心往上爬。秦九韶做过几任地方官，最后死在梅州任上。他最高做到大约相当于今天局级的官职。　秦九韶行为乖戾，出人意表，被他的同时代人认为是“不孝、不义、不仁、不廉”，平日横行乡里，恶霸一方，所以多次被褫去官职或取消任命。例如，在他担任地方长官的父亲宴客时，他带着妓女出席。又如，他竟能将他上司的田产“以术攫取之”，在其中建造他的超豪华庄园（他亲自设计那些奇特的房屋）。再如，他命令手下杀死自己的儿子，而且亲自设计了毒死、用剑自裁、溺死三种方案；当得知这名手下偷偷放了他儿子时，他竟巨额悬赏，满世界追杀儿子和这名手下。有一年夏天，秦九韶和一个他所宠爱的姬妾月夜在庭院中交欢，不意被一个汲水的仆役撞见，他认为那仆役有意窥探他的隐私，就诬告该仆役偷盗，将其送官，要求判仆役黥面流放。地方官认为该仆役罪不至此，没有按照秦九韶的要求判决，秦九韶为此怀恨地方官，竟企图将他毒死。当时的记载说秦九韶“多蓄毒药，如所不喜者，必遭其毒手”。
7 w# ]$ Z0 o3 W# S8 O/ y) {9 o　　这就是被刘克庄称为“暴如虎狼，毒如蛇蝎，非复人类”的秦九韶。毫无疑问，他是一个疯狂的恶棍，但与此同时，他确实也是一个天才的数学家。我们甚至可以推想，如果他有时间或精力写下音乐或建筑方面的著作，也可能又有某项历史性的贡献。可惜他的绝大部分时间和精力，看来都耗费在放纵物欲上了。
著作介绍
　　数书九章宋淳祜四至七年（公元1244至1247），秦九韶在湖州为母亲守孝三年期间，把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了举世闻名的数学巨著《数书九章》。 书成后，并未出版。原稿几乎流失，书名也不确切。后历经宋、元，到明建国，此书无人问津，直到明永乐年间，在解缙主编《永乐大典》时，记书名为《数学九章》。又经过一百多年，经王应麟抄录后，由王修改为《数书九章》。
　　全书不但在数量上取胜，重要的是在质量上也是拔尖的。从历史上来看，秦九韶的《数秦九韶纪念馆书九章》可与《九章算术》相媲美；从世界范围来看，秦九韶的《数书九章》也不愧为世界数学名著。
) i/ H5 ?' y2 z4 w+ X评价
　　秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新，既关心国计民生，体察民间疾苦，主张施仁政，又是支持和参与抗金、抗蒙战争的世界著名南宋数学家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国数学史、乃至世界数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。清代著名数学家陆心源（1834－1894）称赞说：“秦九韶能于举世不谈算法之时，讲求绝学，不可谓非豪杰之士。” 德国著名数学史家M．康托尔(Cantor，1829-1920)高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中国数学家是“最幸运的天才”。美国著名科学史家萨顿(G·Sarton，1884－1956)说过，秦九韶是“他那个民族，他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
秦九韶纪念馆
　　安岳县秦九韶纪念馆被市委市政府命名为资阳首批爱国主义教育基地。
  h& `9 F& B: [6 z& i' v% x! j- P; C　　秦九韶纪念馆位于圆觉洞内，占地长宽均为81米，建筑面积1538平方米，为仿宋古建筑，馆内建有“数书九章”、“九韶故里”、天文台等景点。
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　　中世纪数学泰斗秦九韶/科学大师人生系列
* D# s% }7 j) u　　作者：徐品方//孔国平
/ J' {3 n/ c+ S　　基本信息
　　市场价： ￥25 元
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6 W+ Z( E  m) y8 l" Z$ }; K　　折扣：80折
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　　ISBN：9787030198839
　　出版社：科学
$ N5 I% x; I  c: i5 Z# c　　2007-08-01 第1版
8 ^8 l) c0 q: [4 f; z  d　　2007-08-01 第1次印刷
! h4 B7 @/ o+ H) G; _　　开 本：32开
" j$ S( ?. l% }0 `% T, ?　　页 数：296页
　　类 别： 历史.地理 -> 历史 -> 传记 58元免运费
　　内容提要
* x3 ]/ s! C% V) I8 |. G0 j( W　　秦九韶是中国古代最杰出的数学家之一，所著《数书九章》是宋元数学的巅峰之作，其中的一些成就具有世界意义。本书全面讲述了他的生平、成就和思想。作者在大量阅读原始资料并进行实地考察的基础上，生动地描述了秦九韶的传奇一生，对其人品和代表作《数书九章》，以及坎坷的仕途，都以史实为据，作了精细的讨论。本书向读者展示了秦九韶的人格魅力、奉献精神和科学思想，在对其成就的分析、评价方面也有独到见解。
/ s) k6 }4 N, `3 e　　本书适于科学史工作者、数学工作者及对数学感兴趣的具有中等以上文化的读者阅读。
5 o6 u- B  k2 ]: R) m　　目录
$ H2 o2 s" P- S2 f) h+ I　　前言
　　第一章 少儿时代
　　第二章 京都见闻
1 J% [: y& P3 {% a7 ?/ l　　第三章 从师太史
) |' i$ m& V* t, Z* |* G6 d　　第四章 学习古算
7 G& t% _2 L) s4 H2 }' N　　第五章 骈俪诗词
　　第六章 全才通才
　　第七章 石鱼题各
' ^3 W0 H9 E' [: B　　第八章 初人仕途
; Z. u, _. a3 _  W: e" v1 s　　第九章 官运亨通
　　第十章 著书立说
　　第十一章 神奇大衍
0 P5 y& \  d; O) I　　第十二章 正负开方
　　第十三章 矩阵妙用
9 N! Q% S% z; Z# J2 ]6 l　　第十四章 三斜求积
7 a0 M6 A/ t# l/ R. G6 g4 d　　第十五章 先进符号
　　第十六章 光辉思想
　　第十七章 社会缩影
　　第十八章 仕途不顺
　　第十九章 坎坷晚年
　　第二十章 后人评说
　　第二十一章 名播寰宇
　　参考文献
  S7 S2 R: o! ^& E　　附录一 秦九韶年表
　　附录二 《数书九章》原序与今译
+ G2 f0 H0 }5 [6 H9 W　　后记
1 n$ U/ l1 f* `; ?+ p, c" E　　导语
　　秦九韶一生坎坷，不仅宋史无传，其生卒年月不详，连其著作的名称和目录也成了悬案。长期以来，秦九韶本人也成为一个有争议的人物。本书以传记文学形式介绍了这一位数学家，以生动的事例对其名著《数书九章》及其人品，以及坎坷的仕途，都以史实为据，作了精细的研讨与评价。
　　前言
　　汤汤历史，浩瀚五千年；巍巍华夏，纵横一万里。忆昔日秦宋文明，汉唐昌盛。我们漫步在先辈留下的精神文化之中，发现南宋有一位鲜为人知的数学家秦九韶，是“他那个民族、他那个时代，甚至一切时代最伟大的数学家之一”(美国科学史家G.Sarton语)。
　　秦九韶的传世佳作《数书九章》(1247)是中国宋元数学的巅峰之作，代表了世界中世纪数学发展的最高水平，是继《九章算术》之后又一部具有创造性成就的数学经典。
5 B; `8 `( D2 m. T1 L1 q　　可是，秦九韶一生坎坷，不仅宋史无传，其生卒年月不详，连其著作的名称和目录也成了悬案。长期以来，秦九韶本人也成为一个有争议的人物。目前，国内还没有一本全面讲述秦九韶生平事迹和成就的著作，本书填补了此空白。本书重点刻画秦九韶学习、科研及入仕的曲折经历。对其名著《数书九章》及其人品，以及坎坷的仕途，都以史实为据，作了精细的研讨与评价。本书将以生动的事例启迪读者：斯人精神今发扬，勇攀高峰莫彷徨。
　　这是一本以传记文学形式介绍数学家的书。为了让不同文化层次的人了解秦九韶其人、其书，我们尽力做到通俗有趣、承高就低、雅俗共赏。
　　由于宋代离我们较远，秦九韶的资料稀少，还存在古文字的障碍及对秦九韶数学文化认识的分歧。因此，我们本着“攀山千条路，同仰一月高”的目的，力求客观评介秦九韶。愿本书得到读者的关注。
0 Z( T" q, x9 U2 g　　本书由徐品方和孔国平共同完成。先由徐品方写出初稿，孔国平将自己的同名作品与其融为一体，完成改稿、定稿工作。
　　在本书付梓之际，我们要特别感谢著名数学家、中国科学院吴文俊院士。他十分支持这一科研项目，于2004年11月给科学出版社总编辑写了一封亲笔信，希望该社出版此书。他说，孔国平、徐品方二人合写《中世纪数学泰斗——秦九韶》“既很得当又很及时。此书的出版，必会产生很好的社会效益，不仅有很高的科学价值而已”。还要感谢国家自然科学基金委员会的资助，感谢内蒙古师范大学科学史研究所李迪教授、中国科学院数学与系统科学研究院李文林研究员、中国科学院自然科学史研究所郭书春研究员及科学出版社侯俊琳先生的大力支持，感谢四川安岳中学周步骏先生、湖州师范大学韩祥临教授和民革中央杨齐先生(原解放军重庆通讯学院讲师)向我们提供有关秦九韶的精美照片。
　　后记
　　经过多年努力，本书终于与读者见面了。由于秦九韶的原始资料十分稀少，他的故乡——四川安岳县和他定居地浙江湖州的学者，曾进行了十分辛苦的实地考察。他们寻书访人、查县志等，但目前只找到不多的记载。秦九韶的名著《数书九章》是极其珍贵的宝藏，我们的许多材料都源于该书。我们对研究成果进行了梳理和再认识，尽可能地吸收他人的成果，对不同观点择善而从。
  P  D; @5 _- V) j　　我们撰写本书的初衷如下：作为一部全面的、总结性的著作，应包括秦九韶的生平事迹、主要贡献和思想方法。
　　为此，我们确定的研究目标有三个：
& g) C0 x0 f1 A  _　　一是在充分占有材料的基础上，理清秦九韶的人生轨迹，展示其人格魅力；
/ [; H: \! [" }( E( D. u3 \( y" P　　二是对其成就给出令人信服的评价；
　　三是阐明他取得伟大成就的思想基础。
　　首先是对秦九韶人品的评价。一些学者认为他成就突出，但人品不佳，即所谓“有才无德”。我们通过阅读原始资料和别人研究成果，认为秦九韶是一个关心国家安全和人民生活、具有奉献精神和人格魅力的学者。我们用活生生的事例，向读者展示了一个真实的秦九韶。
　　其次，对于《数书九章》成就的理论价值给出了恰如其分的说明。经过学术界多年的研究，对于该书中“有什么成就”的问题已基本搞清了。对于有争议的问题，我们也试图解决。
; Y. B( z5 J, h4 l　　第三，秦九韶之所以取得骄人的成就，除了天赋、勤奋和社会条件以外，主要原因是他掌握了先进的数学思想。他是靠哪些思想取得杰出成就的？我们也试图找出答案。
% t6 w$ {$ m+ p; S　　我们的初衷和目标是否达到？只有请读者评判了。
　　尽管我们做了不少工作，仍有一些问题难以解决，如秦九韶的卒年问题，“吴潜党人”是否包括秦九韶，以及秦九韶在梅州的任职情况，等等。
　　我们期待着与秦九韶有关的新发现，希望更多的人关注秦九韶并有新成果问世。
+ F! ~% N- b1 y" o% l) b- y$ _4 E　　精彩页
  K8 k" j. y* H8 _8 _1 H% ]; L& q2 \　　第一章 少儿时代
% t+ `9 e' _9 i: v" X6 F/ G　　我国的宋朝(960—1279)是一个政治、经济、科学、文化和技术高度发展的社会，同时也是人类历史上一个值得记取的辉煌朝代。写历史书的人习惯把宋朝分为北宋(960—1127)和南宋(1127—1279)两个阶段(共320年)。北宋建都汴梁(今河南省开封市)，称为东京；南宋定都临安(今浙江省杭州市)，称临安府。南宋疆域如图1.1所示。
　　与宋王朝并存的，还有各兄弟民族建立的一些国家，主要有辽、金和西夏。
　　辽国(916—1125)是以契丹族为主的政权，在今辽宁省辽河上游的西拉木伦河流域。金国(1115—1234)是以女真族为主的政权，在今东北长白山区和黑龙江流域一带。西夏国(1038—1227)是以党项族为主的政权。党项族是羌族的一支，在今陕西省、甘肃省和宁夏回族自治区的毗连地带。此外还有回纥(纥音hé，又称回鹘，分布在今西北鄂尔浑河流域)、吐蕃(蕃音bō，在今青藏高原)等族建立的政权。在中华广袤大地上，各族人民共同创造了华夏文明历史。
' E8 M3 [9 z9 {% i* |　　本书要讲的主人公，就是生活在南宋中期以后的伟大数学家秦九韶(1208—约1267)。
　　秦九韶，字道古，1208年生于南宋普州安岳(今四川安岳)。安岳县位于“天府之国”(指土地肥沃、物产丰富的地方)四川的东部，属四川盆地丘陵地区。连绵不断的小山丘与平地，被绿茵茵的稻田、麦地和郁郁葱葱的林木打扮得色彩缤纷、艳丽迷人，这是普州世世代代勤劳、聪慧人民的劳动结晶。
2 V8 a7 g! j; U. W, b) e9 @　　翻开今天的中国地图，在四川省的东部或者成都市的东南方向，即北纬30度与东经105度的交汇处，就可以看到这个美丽富饶的安岳县。在中国地图上我们可以有趣地发现，北纬30度纬线将今天2689平方公里的安岳县地域巧妙地平均分成南北两半。秦九韶无忧无虑、天真浪漫、欢快活泼的少儿时代就是在这儿度过的。
8 v$ o/ K8 G% M　　普州气候温和，物产丰富，是个产粮大仓和生猪大户，还盛产醇甜、浓香的通贤柚和柠檬等。
+ o/ s9 H+ s( j% S" @　　秦九韶的父亲名叫秦季槱(“槱”读yǒu)，字宏父，普州安岳人，因此秦九韶亦为普州安岳人。为什么秦九韶父子的名后面还有字呢？这是我国古代人的习惯(名字就是“名”和“字”的合称)。“名”是指幼年时所起的乳名，供长辈们呼唤；“字”是20岁时加的，供一般人称呼。有的人还有别号。例如，诸葛亮字孔明，号卧龙先生。“号”相当于今天的“笔名”。
　　秦九韶的祖先本不是普州人。他的世祖何时迁居普州安岳？没有史料可查。但秦九韶《数书九章》自序末尾署名为“鲁郡秦九韶”，而鲁郡在今山东省曲阜、滋阳一带。按照古代习惯，历史人物往往以其数百年前的远祖居住地作为自己的籍贯，表示自己不忘族望。如南北朝大数学家祖冲之(429—500)自称范阳人，实为江南人。因此，秦九韶的祖先可能为山东人，他们是从鲁郡搬迁到普州安岳的。
4 Q5 m8 W. N% |7 l9 [' \$ h/ Z　　秦季檩在绍熙四年(1193)与陈亮(1143—1194，南宋哲学家)、程璐(1164—1242)一起参加科举考试，成为同榜进士。进士是当时的最高学位，相当于今天的博士。当然，从本质上说，科举制与今天的学位制是不同的。中国封建王朝的科举考试是选拔官吏的一种制度，“科举”的本义是开科取士，后来逐渐形成一种固定的考试制度。它始于隋唐，历经两宋，盛于明清，于清光绪三十年(1904)结束。科举制长期以来被古代不少读书人奉为追求功名利禄、光宗耀祖的出路，一旦登上龙门，便被授以官职，这就是“读书做官”的渊源。
　　科举考试，各个朝代不完全相同。例如，在宋朝，每三年考一次，一般分两步进行：
　　第一步，“秋试”。先由各州县在秋季考选一次，考试及格的称为“贡士”或“举人”。
. p1 J! [  F& L& H2 f( C　　第二步，“省试”。秋试及格者，集中于首都京城，等到明年春季参加考试。考试及格者便由中央“尚书省”(执行政务的部门)排列名次发榜公布，统称“进士”。有时，省试之后在金銮殿举行“殿试”。它由皇帝亲自主持，甚至由皇帝亲自阅卷。殿试被录取的称为“金榜题名”，即用黄榜(亦称“黄甲”)公布殿试录取名单，并且分别等弟，予以相当的待遇和官职。如考取第一、第二名的为第一甲，赐以“进士及弟”名义；第三名为第二甲，赐以“进士出身”的名义；第四、五名为第三甲，赐以“进士同出身”的名义。
　　省试第一名又称为“省元”，殿试第一名称为“状元”。