[转帖]中学数学建模教学的原则初探

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中学数学建模教学的原则初探

浙江衢州师范学校 王工一

  数学建模是由对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证步骤组成（必要时循环执行）的过程，可以说有数学应用的地方就有数学建模。现在，数学建模已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一。随着新颁发的《九年制义务教育初级中学数学教学大纲（试用）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》中对数学应用能力要求的提高，数学建模将在中学数学教学中越来越受到人们的重视。

  本文提出中学数学建模教学的五条原则，并对其作初步探讨，一孔之见，意在引玉。

1、教师意识先行原则

  实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容；有时过易，不被人们重视，而中学数学教科书中“现成”的数学建模内容又很少，再加上我国数学建模研究起步较晚，数学建模的氛围在中学尚不浓厚，在这种情况下，只有在教学活动中起主导作用的教师首先具有数学建模的自觉意识，从我做起，从小事做起，坚韧不拔、孜孜以求地去探索，有不达目的不罢休，题不惊人誓不休的气概，才能在教学过程中用自己的数学建模意识去薰陶学生，也才能在看似没有数学建模内容的地方，不满足于表层的感知，而是“如摘胡桃并栗，……三剥其皮，乃得佳味”，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会。比如不等式在工业生产的库存控制中的应用；几何图形在坐标设计中的广泛应用；指数函数在增长率，变形计算方面的应用和正、余弦函数在波动理论中的应用等等。

2、因材施教原则

  因材施教原则是教育教学的一条基本原则，在中学数学建模教学中可以分为因地施教、因时施教、因人施教。

2.1 因地施教

  数学建模是理论联系实际的典型。一个完整的数学建模过程，必然包括三大环节：1、从实际问题中抽象出数学模型；2、求解数学模型；3、用数学模型的解来解决实际问题。在这三大环节中，有实际问题的就有两个环节，所以实际问题在数学建模的教学中起着相当重要的作用。

  生活在五湖四海的的中学生，他们各自熟悉的实际问题是千差万别的，生活在大城市的中学生可能已在Internet网上驰骋过，但并不一定熟悉小麦和韭菜的区别，而生活在农村的学生也许正好相反。

  所以在建模教学中宜选择学生身边的实际问题，这样做至少有两点好处：一是容易使学生建立比较好的、考虑比较周到的数学模型（只有熟悉问题，才可能考虑周到）；二是容易使学生真正体会到数学的应用，否则还是纸上谈兵，数学建模只是形式而已，与做普通应用题毫无二致。

2.2 因时施教

  这里的“时”是指学生所处的不同时期、不同的年级，因为学生的数学基础知识是逐步学得的，人们在不同的年级所具有的能力、知识是不相同的。依据学习过程的认知论原则，教学必须应以发展为目标，因此进行数学建模教学的内容和方法也应有所区别，应该经历一个循序渐进、逐步提高的过程，应该随着学生年龄的增长，逐步提出更高的教学目标。比如，初中阶段的数学应用与建模主要应控制在“简单应用”和一部分“复杂应用”的水平上，教师可以通过一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。到了高中以后，学生较初中在数学知识、能力上都有较大的提高，因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解过程的指导中给学生更多的自由度（参考文献[1]中有很好的例子，在此不再赘述）。

2.3 因人施教

  因人施教是指根据每个人的原认知结构不同，而以不同的方法施教。原认知结构是指原认知中处于活跃的、敏感的部分，通俗地说，就是记得住、会运用的部分。不同年级的学生自然有不同的原认知结构，即使是同年级的学生，虽然他们头脑中的知识相同，技能培养和训练也大体一致，即原认知相同，但各人原认知中的活跃点、敏感点不同，即原认知结构不同，他们的解题方法技巧也会大相径庭。

  北京140中学的丘开仕老师曾叫两位完全不知道贾宪----杨辉三角的小学生做这样一道题目：

  观察下面的数表，数表中1，4，6，4，1下面的一组数应是哪些数？

  结果两位小朋友都做出了正确答案，但方法却完全相异。

  其中一位小学生的解题方法是：

  （1）首先看到每一横行的两头都是1；（2）看到第二斜行和倒数第二行是自然数从小到大的排列；（3）每一横行各数字和是2的整数次幂。

  从这一过程可以看出，这位小学生的原认知结构中除了必要的观察力外，起决定性作用的是他熟悉的2的整数次幂，并会背2的1至5次幂。

  另一位小学生的解题方法是：下一行是上一行数的11倍，只要错位相加即可。

  即从这位小学生解题过程可以看出他的原认知结构中，对自然数乘以11的规律，即错位相加的规律很熟悉。

  由此可见，学生的原认知结构和他们的数学学习关系十分密切，原认知结构不同，解题思路，解题方法也会不同，真正制约学生解题的并不是原有知识水平，而是原认知结构。教师如果能了解学生的原认知结构，找出问题之间的联系，即使有相当难度的题目也可以被学生攻克。

3、授之以渔原则

  虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础。因此，在教学时，要充分强调过程的重要性，要授之以渔，尤其要注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力。

  比如笔者曾以一道开放题----“健力宝易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：

  先让学生测量出听装345ml健力宝易拉罐的高和底面直径（高约为12.3cm，底面直径为6.6cm）。然后围绕厂家为什么些采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论。有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率”）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）……虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用。

4、课内课外相统一原则

  和提高学生其它素质一样，培养学生的数学建模能力，也应向课堂四十五分钟要质量，数学应用和数学建模应与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来，而不要做成两套系统，这种结合可以向两个方向展开，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生，发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，在实际生活中的作用，抓住数学建模与学生观察所学知识的“切入点”，引导学生在学中用、在用中学。

  另一方面，由于数学建模是与实际问题密不可分的，仅仅在课堂上是学不好的，“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行”。还必须走出教室，到大自然中去锻炼、去学习，把课内课外有机地统一起来。

5、科学性原则

  数学建模非常有用，这是勿庸置疑的结论，但我们还应强调数学应用的科学性，“一好百好”的现象是应防止的。在数学教学中，也应向学生介绍“误用”或“滥用”数学的事例，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用（限于篇幅，在此不予展开，具体事例可参见参考文献[2]）。

主要参考文献

  1、张思明 中学数学建模教学的实践与探索 北京教育出版社，1998年9月第1版。

  2、徐勇 数学的误用或滥用 数学通报，1996年第6期。

浙江衢州师范学校 王工一

  数学建模是由对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证步骤组成（必要时循环执行）的过程，可以说有数学应用的地方就有数学建模。现在，数学建模已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一。随着新颁发的《九年制义务教育初级中学数学教学大纲（试用）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》中对数学应用能力要求的提高，数学建模将在中学数学教学中越来越受到人们的重视。

  本文提出中学数学建模教学的五条原则，并对其作初步探讨，一孔之见，意在引玉。

1、教师意识先行原则

  实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容；有时过易，不被人们重视，而中学数学教科书中“现成”的数学建模内容又很少，再加上我国数学建模研究起步较晚，数学建模的氛围在中学尚不浓厚，在这种情况下，只有在教学活动中起主导作用的教师首先具有数学建模的自觉意识，从我做起，从小事做起，坚韧不拔、孜孜以求地去探索，有不达目的不罢休，题不惊人誓不休的气概，才能在教学过程中用自己的数学建模意识去薰陶学生，也才能在看似没有数学建模内容的地方，不满足于表层的感知，而是“如摘胡桃并栗，……三剥其皮，乃得佳味”，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会。比如不等式在工业生产的库存控制中的应用；几何图形在坐标设计中的广泛应用；指数函数在增长率，变形计算方面的应用和正、余弦函数在波动理论中的应用等等。

2、因材施教原则

  因材施教原则是教育教学的一条基本原则，在中学数学建模教学中可以分为因地施教、因时施教、因人施教。

2.1 因地施教

  数学建模是理论联系实际的典型。一个完整的数学建模过程，必然包括三大环节：1、从实际问题中抽象出数学模型；2、求解数学模型；3、用数学模型的解来解决实际问题。在这三大环节中，有实际问题的就有两个环节，所以实际问题在数学建模的教学中起着相当重要的作用。

  生活在五湖四海的的中学生，他们各自熟悉的实际问题是千差万别的，生活在大城市的中学生可能已在Internet网上驰骋过，但并不一定熟悉小麦和韭菜的区别，而生活在农村的学生也许正好相反。

  所以在建模教学中宜选择学生身边的实际问题，这样做至少有两点好处：一是容易使学生建立比较好的、考虑比较周到的数学模型（只有熟悉问题，才可能考虑周到）；二是容易使学生真正体会到数学的应用，否则还是纸上谈兵，数学建模只是形式而已，与做普通应用题毫无二致。

2.2 因时施教

  这里的“时”是指学生所处的不同时期、不同的年级，因为学生的数学基础知识是逐步学得的，人们在不同的年级所具有的能力、知识是不相同的。依据学习过程的认知论原则，教学必须应以发展为目标，因此进行数学建模教学的内容和方法也应有所区别，应该经历一个循序渐进、逐步提高的过程，应该随着学生年龄的增长，逐步提出更高的教学目标。比如，初中阶段的数学应用与建模主要应控制在“简单应用”和一部分“复杂应用”的水平上，教师可以通过一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。到了高中以后，学生较初中在数学知识、能力上都有较大的提高，因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解过程的指导中给学生更多的自由度（参考文献[1]中有很好的例子，在此不再赘述）。

2.3 因人施教

  因人施教是指根据每个人的原认知结构不同，而以不同的方法施教。原认知结构是指原认知中处于活跃的、敏感的部分，通俗地说，就是记得住、会运用的部分。不同年级的学生自然有不同的原认知结构，即使是同年级的学生，虽然他们头脑中的知识相同，技能培养和训练也大体一致，即原认知相同，但各人原认知中的活跃点、敏感点不同，即原认知结构不同，他们的解题方法技巧也会大相径庭。

  北京140中学的丘开仕老师曾叫两位完全不知道贾宪----杨辉三角的小学生做这样一道题目：

  观察下面的数表，数表中1，4，6，4，1下面的一组数应是哪些数？

  结果两位小朋友都做出了正确答案，但方法却完全相异。

  其中一位小学生的解题方法是：

  （1）首先看到每一横行的两头都是1；（2）看到第二斜行和倒数第二行是自然数从小到大的排列；（3）每一横行各数字和是2的整数次幂。

  从这一过程可以看出，这位小学生的原认知结构中除了必要的观察力外，起决定性作用的是他熟悉的2的整数次幂，并会背2的1至5次幂。

  另一位小学生的解题方法是：下一行是上一行数的11倍，只要错位相加即可。

  即从这位小学生解题过程可以看出他的原认知结构中，对自然数乘以11的规律，即错位相加的规律很熟悉。

  由此可见，学生的原认知结构和他们的数学学习关系十分密切，原认知结构不同，解题思路，解题方法也会不同，真正制约学生解题的并不是原有知识水平，而是原认知结构。教师如果能了解学生的原认知结构，找出问题之间的联系，即使有相当难度的题目也可以被学生攻克。

3、授之以渔原则

  虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础。因此，在教学时，要充分强调过程的重要性，要授之以渔，尤其要注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力。

  比如笔者曾以一道开放题----“健力宝易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：

  先让学生测量出听装345ml健力宝易拉罐的高和底面直径（高约为12.3cm，底面直径为6.6cm）。然后围绕厂家为什么些采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论。有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率”）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）……虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用。

4、课内课外相统一原则

  和提高学生其它素质一样，培养学生的数学建模能力，也应向课堂四十五分钟要质量，数学应用和数学建模应与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来，而不要做成两套系统，这种结合可以向两个方向展开，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生，发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，在实际生活中的作用，抓住数学建模与学生观察所学知识的“切入点”，引导学生在学中用、在用中学。

  另一方面，由于数学建模是与实际问题密不可分的，仅仅在课堂上是学不好的，“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行”。还必须走出教室，到大自然中去锻炼、去学习，把课内课外有机地统一起来。

5、科学性原则

  数学建模非常有用，这是勿庸置疑的结论，但我们还应强调数学应用的科学性，“一好百好”的现象是应防止的。在数学教学中，也应向学生介绍“误用”或“滥用”数学的事例，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用（限于篇幅，在此不予展开，具体事例可参见参考文献[2]）。

主要参考文献

  1、张思明 中学数学建模教学的实践与探索 北京教育出版社，1998年9月第1版。

  2、徐勇 数学的误用或滥用 数学通报，1996年第6期。

  数学建模是由对实际问题进行抽象、简化，建立数学模型，求解数学模型，解释验证步骤组成（必要时循环执行）的过程，可以说有数学应用的地方就有数学建模。现在，数学建模已成为国际数学教育中稳定的内容和热点之一。随着新颁发的《九年制义务教育初级中学数学教学大纲（试用）》和《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》中对数学应用能力要求的提高，数学建模将在中学数学教学中越来越受到人们的重视。

  本文提出中学数学建模教学的五条原则，并对其作初步探讨，一孔之见，意在引玉。

1、教师意识先行原则

  实际应用的数学问题有时过难，不宜作为教学内容；有时过易，不被人们重视，而中学数学教科书中“现成”的数学建模内容又很少，再加上我国数学建模研究起步较晚，数学建模的氛围在中学尚不浓厚，在这种情况下，只有在教学活动中起主导作用的教师首先具有数学建模的自觉意识，从我做起，从小事做起，坚韧不拔、孜孜以求地去探索，有不达目的不罢休，题不惊人誓不休的气概，才能在教学过程中用自己的数学建模意识去薰陶学生，也才能在看似没有数学建模内容的地方，不满足于表层的感知，而是“如摘胡桃并栗，……三剥其皮，乃得佳味”，挖掘出训练数学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会。比如不等式在工业生产的库存控制中的应用；几何图形在坐标设计中的广泛应用；指数函数在增长率，变形计算方面的应用和正、余弦函数在波动理论中的应用等等。

2、因材施教原则

  因材施教原则是教育教学的一条基本原则，在中学数学建模教学中可以分为因地施教、因时施教、因人施教。

2.1 因地施教

  数学建模是理论联系实际的典型。一个完整的数学建模过程，必然包括三大环节：1、从实际问题中抽象出数学模型；2、求解数学模型；3、用数学模型的解来解决实际问题。在这三大环节中，有实际问题的就有两个环节，所以实际问题在数学建模的教学中起着相当重要的作用。

  生活在五湖四海的的中学生，他们各自熟悉的实际问题是千差万别的，生活在大城市的中学生可能已在Internet网上驰骋过，但并不一定熟悉小麦和韭菜的区别，而生活在农村的学生也许正好相反。

  所以在建模教学中宜选择学生身边的实际问题，这样做至少有两点好处：一是容易使学生建立比较好的、考虑比较周到的数学模型（只有熟悉问题，才可能考虑周到）；二是容易使学生真正体会到数学的应用，否则还是纸上谈兵，数学建模只是形式而已，与做普通应用题毫无二致。

2.2 因时施教

  这里的“时”是指学生所处的不同时期、不同的年级，因为学生的数学基础知识是逐步学得的，人们在不同的年级所具有的能力、知识是不相同的。依据学习过程的认知论原则，教学必须应以发展为目标，因此进行数学建模教学的内容和方法也应有所区别，应该经历一个循序渐进、逐步提高的过程，应该随着学生年龄的增长，逐步提出更高的教学目标。比如，初中阶段的数学应用与建模主要应控制在“简单应用”和一部分“复杂应用”的水平上，教师可以通过一些不大复杂的应用问题，带着学生一起来完成数学化的过程，给学生一些数学应用和数学建模的初步体验。到了高中以后，学生较初中在数学知识、能力上都有较大的提高，因此问题的设计应更有深度、广度，并在求解过程的指导中给学生更多的自由度（参考文献[1]中有很好的例子，在此不再赘述）。

2.3 因人施教

  因人施教是指根据每个人的原认知结构不同，而以不同的方法施教。原认知结构是指原认知中处于活跃的、敏感的部分，通俗地说，就是记得住、会运用的部分。不同年级的学生自然有不同的原认知结构，即使是同年级的学生，虽然他们头脑中的知识相同，技能培养和训练也大体一致，即原认知相同，但各人原认知中的活跃点、敏感点不同，即原认知结构不同，他们的解题方法技巧也会大相径庭。

  北京140中学的丘开仕老师曾叫两位完全不知道贾宪----杨辉三角的小学生做这样一道题目：

  观察下面的数表，数表中1，4，6，4，1下面的一组数应是哪些数？

  结果两位小朋友都做出了正确答案，但方法却完全相异。

  其中一位小学生的解题方法是：

  （1）首先看到每一横行的两头都是1；（2）看到第二斜行和倒数第二行是自然数从小到大的排列；（3）每一横行各数字和是2的整数次幂。

  从这一过程可以看出，这位小学生的原认知结构中除了必要的观察力外，起决定性作用的是他熟悉的2的整数次幂，并会背2的1至5次幂。

  另一位小学生的解题方法是：下一行是上一行数的11倍，只要错位相加即可。

  即从这位小学生解题过程可以看出他的原认知结构中，对自然数乘以11的规律，即错位相加的规律很熟悉。

  由此可见，学生的原认知结构和他们的数学学习关系十分密切，原认知结构不同，解题思路，解题方法也会不同，真正制约学生解题的并不是原有知识水平，而是原认知结构。教师如果能了解学生的原认知结构，找出问题之间的联系，即使有相当难度的题目也可以被学生攻克。

3、授之以渔原则

  虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础。因此，在教学时，要充分强调过程的重要性，要授之以渔，尤其要注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力。

  比如笔者曾以一道开放题----“健力宝易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：

  先让学生测量出听装345ml健力宝易拉罐的高和底面直径（高约为12.3cm，底面直径为6.6cm）。然后围绕厂家为什么些采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论。有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率”）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）……虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用。

4、课内课外相统一原则

  和提高学生其它素质一样，培养学生的数学建模能力，也应向课堂四十五分钟要质量，数学应用和数学建模应与现行数学教材有机结合，把应用和数学课内知识的学习更好地结合起来，而不要做成两套系统，这种结合可以向两个方向展开，一是向“源”的方向展开，即教师应特别注意向学生介绍知识产生，发展的背景；二是向“流”的方向深入，即教师要引导学生了解知识的功能，在实际生活中的作用，抓住数学建模与学生观察所学知识的“切入点”，引导学生在学中用、在用中学。

  另一方面，由于数学建模是与实际问题密不可分的，仅仅在课堂上是学不好的，“纸上得来终觉浅，觉知此事要躬行”。还必须走出教室，到大自然中去锻炼、去学习，把课内课外有机地统一起来。

5、科学性原则

  数学建模非常有用，这是勿庸置疑的结论，但我们还应强调数学应用的科学性，“一好百好”的现象是应防止的。在数学教学中，也应向学生介绍“误用”或“滥用”数学的事例，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用（限于篇幅，在此不予展开，具体事例可参见参考文献[2]）。

主要参考文献

  1、张思明 中学数学建模教学的实践与探索 北京教育出版社，1998年9月第1版。

  2、徐勇 数学的误用或滥用 数学通报，1996年第6期。

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