各位高手，有8道基础菜鸟级的图论题亟待解决

东京流浪猫

1、        拥有p个顶点，q条边，r个区域，kge连结成分的平面图G，满足等式p-q+r-k=1。证明之。
2、        K是奇数，请证明k正则图的顶点数为偶数。
4 T" Y7 k- G$ o& r3、        G是连通图。请证明G的任意两条最长路径都通过某个共同顶点。
4、        G是顶点数4个以上的2连通图。请证明以下两个命题等价:
          (1)        从G删除相邻连接的顶点后将是非连通图；
      (2)        两顶点之间相连的边收缩后的图不是2连通图。
( V! ?, C" f& j5、        请画一个不拥有1因子的3正则图。
5 ?: R9 z! @, i! [1 c2 E9 J6、        请证明图K2，n的全域树的个数是n2n-1
- V  Y+ J5 w2 `7 c7 k7、        G是平面图。请证明G的任意平面图不持有相互邻接的5个面（包括外面）。
8、        请画出拥有8条边且不包含三角形的最小顶点数的图。并证明这个图是最小顶点数的图，且有2个存在。