各位高手，有8道基础菜鸟级的图论题亟待解决

东京流浪猫

1、        拥有p个顶点，q条边，r个区域，kge连结成分的平面图G，满足等式p-q+r-k=1。证明之。
* F7 X7 B! ^0 M2、        K是奇数，请证明k正则图的顶点数为偶数。
  a7 B  |2 Z* g" d! U' ^3、        G是连通图。请证明G的任意两条最长路径都通过某个共同顶点。
) K; d, h& s5 q  Q4 M' u4、        G是顶点数4个以上的2连通图。请证明以下两个命题等价:
  W6 Y0 |% \! b0 L9 H8 q          (1)        从G删除相邻连接的顶点后将是非连通图；
/ S: [/ M2 ]- x      (2)        两顶点之间相连的边收缩后的图不是2连通图。
0 v$ [, F& U7 i, `- M5、        请画一个不拥有1因子的3正则图。
. ^# j# a" c2 h3 m3 Y$ Z6、        请证明图K2，n的全域树的个数是n2n-1
7 I8 T' h$ _. Y0 {. I9 @7、        G是平面图。请证明G的任意平面图不持有相互邻接的5个面（包括外面）。
8、        请画出拥有8条边且不包含三角形的最小顶点数的图。并证明这个图是最小顶点数的图，且有2个存在。
" x" q1 _+ p  Q6 C& {5 c