大白话解析模拟退火算法Posted on 2010-12-20 17:01 苍梧 阅读(115198) 评论(81) 编辑 收藏) n# Y5 y' S) c: B" P! @) r
原文http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html 0 f# ]* d0 J8 k
优化算法入门系列文章目录(更新中): 一. 爬山算法 ( Hill Climbing ) 介绍模拟退火前,先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。 爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示:假设C点为当前解,爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索,因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。 图1 二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想 爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以图1为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解A后,会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点,于是就跳出了局部最大值A。 模拟退火算法描述: 若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解),则总是接受该移动 若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差),则以一定的概率接受移动,而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定) 这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程,这也是模拟退火算法名称的由来。 根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为P(dE),表示为: P(dE) = exp( dE/(kT) ) 其中k是一个常数,exp表示自然指数,且dE<0。这条公式说白了就是:温度越高,出现一次能量差为dE的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0(否则就不叫退火了),因此dE/kT < 0 ,所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。 随着温度T的降低,P(dE)会逐渐降低。 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程,我们以概率P(dE)来接受这样的移动。 关于爬山算法与模拟退火,有一个有趣的比喻: 爬山算法:兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法,它不能保证局部最优值就是全局最优值。 模拟退火:兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。 下面给出模拟退火的伪代码表示。 三. 模拟退火算法伪代码 [url=] [/url]5 J+ ?) v- K9 s2 c# D2 ~: \
代码/*- L; ^# e' `$ d2 F9 O: c8 ^5 ~
* J(y):在状态y时的评价函数值
- b, [* \& ~3 [% k2 M [8 ?# J* Y(i):表示当前状态( c5 C2 b2 t& x' M+ b/ q G
* Y(i+1):表示新的状态) U: p6 t8 o( } n, `3 w
* r: 用于控制降温的快慢9 a% T0 Z/ j3 Z% A5 v9 \) g& N
* T: 系统的温度,系统初始应该要处于一个高温的状态
8 V6 v( q. i7 E2 I* h* T_min :温度的下限,若温度T达到T_min,则停止搜索
% Z4 N. }& i1 T% G1 W& z5 Q*/
# w0 I' Z/ x, twhile( T > T_min )+ ~; l7 A; h% v- ? n
{
( i4 a9 k. k6 t; |8 @+ \# J T+ p' E dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; * a; K7 W) k' F8 Y
1 e& p3 V$ J( j- }) I& O4 q4 K0 Z
if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解,则总是接受移动* G- a6 T' p- ?; F
Y(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
) U2 p) Q4 S6 j; l else
0 O5 o; n; V# F* u4 R {
- o. K }. k9 S3 d1 i) w// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ,dE/T越大,则exp( dE/T )也( c* p" \. Y* h$ B. w
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
; |9 w5 p% {: U2 fY(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动
9 P( z! T& b2 [" m7 {; c }
$ g" W6 O7 q1 h- \. N T = r * T ; //降温退火 ,0<r<1 。r越大,降温越慢;r越小,降温越快
! t+ n; ]( [+ y* }$ W3 i6 K& T# z8 W /*
9 V- x5 C9 Y6 A/ y9 R9 C * 若r过大,则搜索到全局最优解的可能会较高,但搜索的过程也就较长。若r过小,则搜索的过程会很快,但最终可能会达到一个局部最优值
4 f$ }6 G% f8 _0 w. _ */
8 w' |" o" p$ P* F8 P( b6 S5 v, o i ++ ; [9 }$ e0 X+ M6 c
}1 c& ]. O( e5 i, ~
% U; C: S! S: N* I$ P( J0 s: _
4 S" i9 N g$ n[url=] [/url]
5 ~0 P: \0 Y; j6 }
* ] u$ @6 l; c四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题 旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) :有N个城市,要求从其中某个问题出发,唯一遍历所有城市,再回到出发的城市,求最短的路线。 旅行商问题属于所谓的NP完全问题,精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合,其时间复杂度是O(N!) 。 使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。(使用遗传算法也是可以的,我将在下一篇文章中介绍)模拟退火解决TSP的思路: 1. 产生一条新的遍历路径P(i+1),计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) ) 2. 若L(P(i+1)) < L(P(i)),则接受P(i+1)为新的路径,否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ,然后降温 3. 重复步骤1,2直到满足退出条件 产生新的遍历路径的方法有很多,下面列举其中3种: 1. 随机选择2个节点,交换路径中的这2个节点的顺序。 2. 随机选择2个节点,将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。 3. 随机选择3个节点m,n,k,然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。 五. 算法评价 模拟退火算法是一种随机算法,并不一定能找到全局的最优解,可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当,模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。 5 Y" H+ F& f+ S; d' H( Y
$ ?( T8 ~1 T/ W9 `
- H* D' O3 H% k- p( F% l; n! O" v, g
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