大白话解析模拟退火算法Posted on 2010-12-20 17:01 苍梧 阅读(115198) 评论(81) 编辑 收藏
* `/ h3 K! K2 ~' v& p% | Y 原文http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html
' G4 B& q" E+ x+ Z( `* Z u优化算法入门系列文章目录(更新中): 一. 爬山算法 ( Hill Climbing ) 介绍模拟退火前,先介绍爬山算法。爬山算法是一种简单的贪心搜索算法,该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解,直到达到一个局部最优解。 爬山算法实现很简单,其主要缺点是会陷入局部最优解,而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示:假设C点为当前解,爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索,因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。 图1 二. 模拟退火(SA,Simulated Annealing)思想 爬山法是完完全全的贪心法,每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解,因此只能搜索到局部的最优值。模拟退火其实也是一种贪心算法,但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解,因此有可能会跳出这个局部的最优解,达到全局的最优解。以图1为例,模拟退火算法在搜索到局部最优解A后,会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点,于是就跳出了局部最大值A。 模拟退火算法描述: 若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) ) (即移动后得到更优解),则总是接受该移动 若J( Y(i+1) )< J( Y(i) ) (即移动后的解比当前解要差),则以一定的概率接受移动,而且这个概率随着时间推移逐渐降低(逐渐降低才能趋向稳定) 这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程,这也是模拟退火算法名称的由来。 根据热力学的原理,在温度为T时,出现能量差为dE的降温的概率为P(dE),表示为: P(dE) = exp( dE/(kT) ) 其中k是一个常数,exp表示自然指数,且dE<0。这条公式说白了就是:温度越高,出现一次能量差为dE的降温的概率就越大;温度越低,则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0(否则就不叫退火了),因此dE/kT < 0 ,所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。 随着温度T的降低,P(dE)会逐渐降低。 我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程,我们以概率P(dE)来接受这样的移动。 关于爬山算法与模拟退火,有一个有趣的比喻: 爬山算法:兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法,它不能保证局部最优值就是全局最优值。 模拟退火:兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间,它可能走向高处,也可能踏入平地。但是,它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。 下面给出模拟退火的伪代码表示。 三. 模拟退火算法伪代码 [url=] [/url]
' z: ?+ n$ P# J _7 n2 [ 代码/*
3 i, ^1 Y7 R l; _! A* E* J(y):在状态y时的评价函数值
1 R6 J K' ]) S* Y(i):表示当前状态. k" P+ H5 m! t# k
* Y(i+1):表示新的状态
: [ t. W) _- ]; ?/ n# Y& f! E' s* r: 用于控制降温的快慢
6 p. N7 Z" a5 e) u' x" ~- d" z* T: 系统的温度,系统初始应该要处于一个高温的状态& V' j$ U5 @; U
* T_min :温度的下限,若温度T达到T_min,则停止搜索
# Y; {7 f% q* @8 c' o) c*/( |2 n0 _5 I0 |( n; {( q; z' J- z
while( T > T_min )2 n1 X) `8 g |- `
{
" g* h) a5 Q2 n% }% M dE = J( Y(i+1) ) - J( Y(i) ) ; ; p; c1 t7 |, f
, [, Z5 F" \8 {
if ( dE >=0 ) //表达移动后得到更优解,则总是接受移动
- z/ X, R* t4 q7 u8 J$ A5 O5 nY(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动7 c7 n2 g! r2 U! p1 c' K
else
4 B- k+ z" v c9 i) _/ B7 I0 B0 p3 F {! h D9 w; \" w/ Z
// 函数exp( dE/T )的取值范围是(0,1) ,dE/T越大,则exp( dE/T )也* k6 I* n- E4 w/ G4 A3 @. O* a
if ( exp( dE/T ) > random( 0 , 1 ) )
, b/ t( W; \$ Q% Y( J: mY(i+1) = Y(i) ; //接受从Y(i)到Y(i+1)的移动, h5 Q% ~" A; L9 e' ^7 E- r
}
. Z! t, L& J$ B: ^! I4 `: R4 p! m T = r * T ; //降温退火 ,0<r<1 。r越大,降温越慢;r越小,降温越快
+ y. _& \% ]0 \# z /*
! ~$ D+ [9 x; T% S& p * 若r过大,则搜索到全局最优解的可能会较高,但搜索的过程也就较长。若r过小,则搜索的过程会很快,但最终可能会达到一个局部最优值. m4 ^6 U. L5 q, A9 K
*/: x n, y2 z9 o. e& t. M2 d# w
i ++ ;
+ V2 ^! [9 h. |9 Q# p4 g4 p}2 J7 L* a3 ?( f+ _/ m6 d
, V# q9 @/ `0 X' Z* t' w. O+ F! q* x8 W8 e
[url=] [/url]6 V+ ]8 d4 t+ D/ ]: e: Q
/ \6 W: g* D( g- _" Z9 O四. 使用模拟退火算法解决旅行商问题 旅行商问题 ( TSP , Traveling Salesman Problem ) :有N个城市,要求从其中某个问题出发,唯一遍历所有城市,再回到出发的城市,求最短的路线。 旅行商问题属于所谓的NP完全问题,精确的解决TSP只能通过穷举所有的路径组合,其时间复杂度是O(N!) 。 使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。(使用遗传算法也是可以的,我将在下一篇文章中介绍)模拟退火解决TSP的思路: 1. 产生一条新的遍历路径P(i+1),计算路径P(i+1)的长度L( P(i+1) ) 2. 若L(P(i+1)) < L(P(i)),则接受P(i+1)为新的路径,否则以模拟退火的那个概率接受P(i+1) ,然后降温 3. 重复步骤1,2直到满足退出条件 产生新的遍历路径的方法有很多,下面列举其中3种: 1. 随机选择2个节点,交换路径中的这2个节点的顺序。 2. 随机选择2个节点,将路径中这2个节点间的节点顺序逆转。 3. 随机选择3个节点m,n,k,然后将节点m与n间的节点移位到节点k后面。 五. 算法评价 模拟退火算法是一种随机算法,并不一定能找到全局的最优解,可以比较快的找到问题的近似最优解。 如果参数设置得当,模拟退火算法搜索效率比穷举法要高。 ( X8 _1 Q/ r6 f7 K# m
6 s9 v' m R4 U/ \
0 V4 L0 y" N9 ?0 ]3 `9 b' H
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