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十大算法介绍

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    发表于 2014-1-24 15:42 |只看该作者 |倒序浏览
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    一、蒙特卡罗算法
    0 z3 J0 J$ ~' p( V0 g1946年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
    & l8 x6 a' F2 I% L0 f% r/ F3 V共同发明了,蒙特卡罗方法。* g! ~3 W4 p6 ?/ a( I) }3 m; S8 j
    此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一 。" x9 H& F: Q! J$ ~% @8 S* n
    蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。0 _4 a: n  Y' d! x7 c( W& a: I
    蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
    4 F; V5 \1 p4 |$ A" b+ B当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。
    ) {( |0 a2 z! m9 F2 o& h有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法:
    0 |9 P% \5 u5 I. E0 N$ |5 A7 u假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如,积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。( P* h; L: }* F, f
    在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。! @: l) ?9 u/ c

    : e7 e/ ^. Y. B/ r, s' B' B蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。
    6 b! S/ p- R2 i4 e) `7 T# i/ C  P$ a6 D
    蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:
    ( |# H# J0 T7 ~: qI、  直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解。
    ; R8 }, s. o! P- Y: X* EII、 采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律。
    6 M; q, }" q3 D- I% N; MIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。等等。4 C  n- S( ]5 l
    二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法, T0 d  |& @# R% i' Q$ C9 r9 C/ ^
    我们通常会遇到大量的数据需要处理, 而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用Matlab作为工具。数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是98年数学建模美国赛A题,生物组织切片的三维插值处理,94年A题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有& t4 X4 r. [1 D% x6 q% J' M; u, f. W+ r
    吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
    2 m" s. x& X, c' f' \三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    3 J7 I  P% ^0 [( r$ z# |数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题,遇到这类问题,求解就是关键了,比如98年B题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。 / B2 W, L# R3 T7 }9 f4 d# `
    四、图论算法
    8 [' J: y9 X9 t* k5 A8 j这类问题算法有很多,
    - p* g' g7 Y% N$ A' i* T2 [包括: Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ,最大流,二分匹配等问题。
    # o( W. _  q$ M: p' w2 h) T关于此类图论算法,可参考Introduction to Algorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。同时,本BLOG内经典算法研究系列,对Dijkstra算法有所简单描述,# }  W, P- _9 ]8 A$ {* i# n
    经典算法研究系列:二、Dijkstra 算法初探。
    * G& L& }2 z+ x* S五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    5 M! m) f0 _2 i在数学建模竞赛中,如:92 年B题用分枝定界法, 97年B题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。
    % c0 C  j% a+ Y3 g1 Z这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,
    / B: w% b; ~( \) Z; G+ T8 C  o- K推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。3 X  V4 e- a3 r8 ]6 J6 `! Z7 E
    六、最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    / X; Y1 z- O! y% v8 y& L这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。5 a$ W8 G$ t' I6 r- G0 w
    在数学建模竞赛中:比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法,01年B题这种难题也可以使用神经网络,还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系,当时是86年刚提出BP算法,89年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。 1 l" v6 \5 q! Q
    03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。 : R6 w( F9 R% d  v* N0 T: s$ B5 S5 i
    另,本人对人工智能非常感兴趣,遗传算法已在本BLOG内有所阐述,
    . I4 P# L. C+ o' q3 B, I) e4 R七、网格算法和穷举法: g# Z7 y( D" W) }6 h# H# K6 s
    网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点,
    ' ^/ D- C. C: f7 y4 s# V就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ¢ ( b ? a ) =M ; …;b , h# v. ]  \( L: K% I( ]
    那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算,所以计算量很大。
    8 h! X1 A7 x3 A7 M, Q8 n8 q1 C$ K在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用 MATLAB 做网格,否则会算很久。 ) y  \5 b7 w. b: N- j4 M
    穷举法大家都熟悉,自不用多说了。   6 n1 s) H9 h, V( p
    八、一些连续离散化方法8 u! g& H9 b0 Y; ]0 n/ X+ N$ y
    大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。  
    2 G, u8 l* o: T1 v九、数值分析算法# R5 J: G9 W1 r& Y+ z" X. e
    数值分析(numerical analysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。 ; g$ u2 c5 y/ ]9 D
    十、图象处理算法0 a4 o( B$ H7 y  F
    在数学建模竞赛中:比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算, 03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
    zan
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